Làm thử Đề cương ôn tập Giữa học kì 1 · Toán 11 · THPT Trần Phú – Hoàn Kiếm · 2025–2026, 3 câu miễn phí

airdu

Đang làm bài

Đề cương ôn tập Giữa học kì 1 · Toán 11 · THPT Trần Phú – Hoàn Kiếm · 2025–2026 · THỬ

Câu 1/229

Bản làm thử: 3 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 229 câu.Đăng ký miễn phí

Câu 1

0,033 điểm

Chương I · Phần I · Câu 1. Một đường tròn có bán kính $R=\dfrac{10}{\pi}$ , độ dài cung tròn $\dfrac{\pi}{2}$ là

**Chương I · Phần I · Câu 1.** Một đường tròn có bán kính $R=\dfrac{10}{\pi}$, độ dài cung tròn $\dfrac{\pi}{2}$ là

Phần thông tin chungNgữ cảnh chung cho câu 164 – 167 · chạm để mở lại

Chương II · Phần II · Câu 9. Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$ . Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Chia mỗi cạnh của hình $H_0$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài hình $H_0$ , sau đó xóa bỏ đoạn ở giữa, ta được hình $H_1$ (tham khảo hình vẽ).

Bước 2: Tiếp tục lặp lại quá trình trên với mỗi cạnh của hình $H_1$ , ta được hình $H_2$ . Sau nhiều bước thực hiện như trên, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Von Koch.

**Chương II · Phần II · Câu 9.** Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$. Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau: *Bước 1:* Chia mỗi cạnh của hình $H_0$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài hình $H_0$, sau đó xóa bỏ đoạn ở giữa, ta được hình $H_1$ (tham khảo hình vẽ). *Bước 2:* Tiếp tục lặp lại quá trình trên với mỗi cạnh của hình $H_1$, ta được hình $H_2$. Sau nhiều bước thực hiện như trên, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Von Koch.

Câu 165

0,028 điểm

Ý B. Với mọi số tự nhiên $n\ge2$ thì độ dài mỗi cạnh của hình $H_{n-1}$ gấp $3$ lần độ dài mỗi cạnh của hình $H_n$ .

**Ý B.** Với mọi số tự nhiên $n\ge2$ thì độ dài mỗi cạnh của hình $H_{n-1}$ gấp $3$ lần độ dài mỗi cạnh của hình $H_n$.

Câu này nằm trong bản đầy đủ

Đăng ký miễn phí để làm cả 229 câu, AI chấm và phân tích ngay.

Đăng ký miễn phí Đã có tài khoản? Đăng nhập

Phần thông tin chungNgữ cảnh chung cho câu 164 – 167 · chạm để mở lại

Chương II · Phần II · Câu 9. Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$ . Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

Câu 166

0,028 điểm

Ý C. Gọi $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$ lần lượt là số cạnh của các hình $H_1,H_2,\ldots,H_n,\ldots$ Khi đó dãy số $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội $q=4$ .

**Ý C.** Gọi $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$ lần lượt là số cạnh của các hình $H_1,H_2,\ldots,H_n,\ldots$ Khi đó dãy số $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội $q=4$.

Câu này nằm trong bản đầy đủ

Đăng ký miễn phí để làm cả 229 câu, AI chấm và phân tích ngay.

Đăng ký miễn phí Đã có tài khoản? Đăng nhập

Bảng câu hỏi

Đã làm 0/3 câu miễn phí

Chương I · Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

0/3

Chương I · Trắc nghiệm đúng/sai

Chương I · Trả lời ngắn và tự luận

Chương II · Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Chương II · Trắc nghiệm đúng/sai

Chương II · Trả lời ngắn và tự luận

Chương IV · Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Chương IV · Trắc nghiệm đúng/sai

Chương IV · Trả lời ngắn và tự luận

Đã trả lời

Đánh dấu xem lại

Chưa làm

Đăng ký miễn phí

Bản làm thử · 3 câu miễn phí trong 229 câu

Chương I · Phần I · Câu 1. Một đường tròn có bán kính $R=\dfrac{10}{\pi}$ , độ dài cung tròn $\dfrac{\pi}{2}$ là

\dfrac{5}{\pi}

\dfrac{\pi}{5}

Chương I · Phần I · Câu 2. Đổi số đo góc $-115^\circ$ sang rađian, ta được

\dfrac{23\pi}{36}\,\text{rad}

\dfrac{-23\pi}{36}\,\text{rad}

\dfrac{-13\pi}{36}\,\text{rad}

\dfrac{13\pi}{36}\,\text{rad}

Chương I · Phần I · Câu 5. Biết góc $mOn=\dfrac{\pi}{3}$ , hỏi góc lượng giác nào sau đây có cùng tia cuối với góc ở hình bên?

Chương I · Phần I · Câu 11. Biết $\tan\alpha=-2\sqrt2$ và $0<\alpha<\pi$ . Khi đó giá trị của $\cos\alpha$

Chương I · Phần I · Câu 13. Cho $\tan\alpha=3$ . Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{\sin\alpha-2\cos\alpha}{3\sin\alpha-\cos\alpha}$ .

Chương I · Phần I · Câu 14. Tìm giá trị của biểu thức $E=\dfrac{\sin^2\alpha-5\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha+3\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}$ khi $\tan\alpha=3$

Chương I · Phần I · Câu 15. Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Tính $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha$

Chương I · Phần I · Câu 16. Cho hai góc $\alpha,\beta$ thỏa mãn $\sin\alpha=\dfrac{5}{13},\ \left(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ và $\cos\beta=\dfrac{3}{5},\ \left(0<\beta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ . Tính $\cos(\alpha-\beta)$

Chương I · Phần I · Câu 17. Biết $\sin\alpha=-\dfrac{5}{13}$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ . Giá trị của $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)$ là

Chương I · Phần I · Câu 18. Biết $\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}$ . Giá trị của $\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Chương I · Phần I · Câu 19. Biết $\sin a=\dfrac{8}{17}$ , $\tan b=\dfrac{5}{12}$ và $a$ , $b$ là các góc nhọn thì $\tan(a+b)$

Chương I · Phần I · Câu 20. Cho $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ và $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ . Giá trị của $\sin2\alpha$ là

Chương I · Phần I · Câu 21. Biết $\tan\alpha=\sqrt5$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ . Giá trị của $\sin2\alpha$

Chương I · Phần I · Câu 22. Cho $\sin\alpha=\dfrac{2}{3}$ . Tính giá trị $\cos2\alpha$ .

Chương I · Phần I · Câu 24. Cho biết $\sin x-\cos x=\dfrac{1}{3}$ . Tính $\sin2x$ .

Chương I · Phần I · Câu 26. Biết $\cos2a=\dfrac{1}{3}$ . Giá trị của $\cos4a$ bằng

Chương I · Phần I · Câu 31. Cho $\sin2\alpha=\dfrac{3}{4}$ . Tính giá trị biểu thức $A=\tan\alpha+\cot\alpha$

Chương I · Phần I · Câu 34. Góc lượng giác $x$ thỏa mãn $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tan mx$ . Giá trị $\cos\left(\dfrac{150}{m}\right)^\circ$ bằng

Chương I · Phần I · Câu 35. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos2\alpha=-\dfrac{1}{3}$ . Tính $P=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)$ .

Chương I · Phần I · Câu 38. Biết $\cos a=\dfrac{1}{3}$ , $\cos b=\dfrac{1}{5}$ . Giá trị $\cos(a+b)\cdot\cos(a-b)$ bằng:

Chương I · Phần I · Câu 39. Cho $a$ , $b$ thỏa mãn $\sin a=\dfrac{\sqrt7}{4}$ và $\sin b=\dfrac{\sqrt3}{4}$ . Giá trị của $\sin(a+b)\sin(a-b)$ là:

Chương I · Phần I · Câu 40. Cho $\cos^2 a+\cos^2 b=\dfrac{2024}{2023}$ . Tính giá trị của biểu thức $T=\cos(a+b)\cdot\cos(a-b)$ .

Chương I · Phần I · Câu 42. Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ và hình chữ nhật $ABCD$ như hình vẽ bên dưới. Biết $AB=\dfrac{\pi}{3}$ , diện tích $S$ của hình chữ nhật $ABCD$ là

Chương I · Phần I · Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos2x-\cos x=0$ trên khoảng $(0;2\pi)$ bằng $T$ . Khi đó $T$ có giá trị là:

Chương I · Phần I · Câu 50. Nghiệm của phương trình $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ là:

Chương I · Phần II · Câu 1. Cho $\alpha\in\left(\dfrac{47\pi}{2};24\pi\right)$ .

Ý A. $\sin\alpha>0$ .

Chương I · Phần II · Câu 1. Cho $\alpha\in\left(\dfrac{47\pi}{2};24\pi\right)$ .

Ý B. Khi $\cot\alpha=-3$ thì $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ .

Chương I · Phần II · Câu 1. Cho $\alpha\in\left(\dfrac{47\pi}{2};24\pi\right)$ .

Ý C. Nếu $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\dfrac{1}{4}$ thì $\sin\alpha-\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{2}$ .

Chương I · Phần II · Câu 1. Cho $\alpha\in\left(\dfrac{47\pi}{2};24\pi\right)$ .

Ý D. Nếu $\sin^2\alpha=\dfrac{9}{25}$ thì $\dfrac{\tan\alpha+\cot\alpha-1}{\tan\alpha-\cot\alpha+1}=\dfrac{13}{5}$ .

Chương I · Phần II · Câu 2. Cho $\sin x+\cos x=m$ và $\pi<x<\dfrac{3\pi}{2}$ .

Ý B. Nếu $m=-\dfrac{2}{3}$ thì $\cos x=-\dfrac{2+\sqrt{14}}{6}$ .

Chương I · Phần II · Câu 2. Cho $\sin x+\cos x=m$ và $\pi<x<\dfrac{3\pi}{2}$ .

Ý C. Nếu $\tan x=\dfrac{1}{2}$ thì $m=-\dfrac{1}{\sqrt5}$ .

Chương I · Phần II · Câu 2. Cho $\sin x+\cos x=m$ và $\pi<x<\dfrac{3\pi}{2}$ .

Ý D. Nếu $T=\sin^6 x+\cos^6 x$ thì $T=\dfrac{-3m^4+6m^2+1}{4}$ .

Chương I · Phần II · Câu 3. Cho $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$ .

Ý A. $\cos2\alpha=-\dfrac{1}{8}$ .

Chương I · Phần II · Câu 3. Cho $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$ .

Ý B. Nếu $\alpha\in(0^\circ;180^\circ)$ thì $\sin\dfrac{\alpha}{2}+\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt7}{2}$ .

Chương I · Phần II · Câu 3. Cho $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$ .

Ý C. Nếu $\alpha\in(90^\circ;180^\circ)$ thì $\tan2\alpha=3\sqrt7$ .

Chương I · Phần II · Câu 3. Cho $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$ .

Ý D. $\cos8\alpha=\dfrac{449}{512}$ .

Chương I · Phần II · Câu 4. Cho phương trình lượng giác $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$ $(*)$ .

Ý A. Phương trình $(*)$ tương đương $\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}$ .

Chương I · Phần II · Câu 4. Cho phương trình lượng giác $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$ $(*)$ .

Ý B. Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có $3$ nghiệm.

Chương I · Phần II · Câu 4. Cho phương trình lượng giác $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$ $(*)$ .

Ý C. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\dfrac{3\pi}{2}$ .

Chương I · Phần II · Câu 4. Cho phương trình lượng giác $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$ $(*)$ .

Ý D. Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\dfrac{11\pi}{12}$ .

Chương I · Phần II · Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Ý A. GTLN của hàm số trên đoạn $[-\pi;\pi]$ là $1$ .

Chương I · Phần II · Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Ý B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};0\right)$ .

Chương I · Phần II · Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Ý C. Chu kì của hàm số đã cho là $T=2\pi$ .

Chương I · Phần II · Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Ý D. Khi $x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\pi\right)$ thì $y<0$ .

Chương I · Phần II · Câu 6. Trong hình vẽ dưới đây, ba điểm $M$ , $N$ , $P$ nằm ở đầu các cánh quạt của tuabin gió. Biết các cánh quạt dài $31\,$ m, độ cao của điểm $M$ so với mặt đất là $30\,$ m, góc giữa các cánh quạt là $\dfrac{2\pi}{3}$ và số đo góc $(OA,OM)$ là $\alpha$ .

Ý A. $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{61}}{31}$ .

Ý B. Giá trị sin của góc lượng giác $(OA,ON)$ là một số âm.

Ý C. Chiều cao của các điểm $N$ và $P$ so với mặt đất (theo đơn vị mét) khoảng $89{,}76\,$ m.

Ý D. Chiều cao của các điểm $P$ so với mặt đất (theo đơn vị mét) khoảng $52{,}87\,$ m.

Ý A. Phương trình $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ có nghiệm $\left[\begin{array}{l}x=\pi+k2\pi\\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}\end{array}\right.\ (k\in\mathbb{Z})$ .

Ý B. Phương trình $\sin x=m-1$ có nghiệm khi $-1\le m\le 1$ .

Ý C. Tổng các nghiệm của phương trình $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\dfrac{7\pi}{6}$ .

Ý D. Phương trình $\cos2x(\cos4x-1)=0$ có nghiệm $x=\dfrac{a\pi}{b}$ trong khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a+b=5$ .

Chương I · Phần II · Câu 8. Cho $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ với $\dfrac{5\pi}{2}<\alpha<3\pi$ .

Ý A. $\sin\alpha<0$ .

Chương I · Phần II · Câu 8. Cho $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ với $\dfrac{5\pi}{2}<\alpha<3\pi$ .

Ý B. $\cos(\pi-\alpha)>0$ .

Chương I · Phần II · Câu 8. Cho $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ với $\dfrac{5\pi}{2}<\alpha<3\pi$ .

Ý C. Biết $(\sin\alpha+2\cos\alpha)^2=\dfrac{a+b\sqrt{15}}{16}$ với $a,b\in\mathbb{Z}$ . Giá trị $a+b=57$ .

Chương I · Phần II · Câu 8. Cho $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ với $\dfrac{5\pi}{2}<\alpha<3\pi$ .

Ý D. Giá trị của biểu thức $2\cos\alpha-3\cos(\pi-\alpha)+5\sin\left(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\right)+\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)$ bằng $-\sqrt{15}$ .

Chương I · Phần III · Câu 1. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$ , biết $\cos\alpha=-\dfrac{1}{3}$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ .

Chương I · Phần III · Câu 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$ , biết $\tan\alpha=-2$ và $\dfrac{5\pi}{2}<\alpha<3\pi$ .

Chương I · Phần III · Câu 3. Cho $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ . Tính $\tan\alpha$ biết $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{1}{5}$ .

Chương I · Phần III · Câu 4. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe $55\,$ cm. Nếu xe chạy với vận tốc $30\,$ km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)

Chương I · Phần III · Câu 6. Tìm số nghiệm của phương trình $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ , biết $x\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{9\pi}{4}\right]$ .

Chương I · Phần III · Câu 7. Trên một mảnh đất hình vuông $ABCD$ , anh Bi đặt một chiếc đèn pin tại vị trí $A$ chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc $C$ . Anh Bi nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia $AM$ và $AN$ , ở đó các điểm $M$ , $N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC$ , $CD$ sao cho $BM=\dfrac{1}{2}BC$ , $DN=\dfrac{1}{3}DC$ .

a) Tính $\tan(\widehat{BAM}+\widehat{DAN})$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Chương I · Phần III · Câu 8. Cho $\left(\cos^4 x-\sin^4 x\right)^2=\dfrac{1}{3}$ . Tính các giá trị lượng giác sau: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-4x\right)$ , $\cos8x$ .

Chương I · Phần III · Câu 9. Cho $\alpha\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\dfrac{41}{50}$ . Biết $\sin\alpha-\cos\alpha=\dfrac{\sqrt a}{b}$ với $a\in\mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?

Chương I · Phần III · Câu 10. Số giờ có ánh sáng mặt trời của hai thành phố A và B ở vĩ độ $40^\circ$ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi các hàm số $g(t)=3\sin\left[\dfrac{\pi}{182}(t-80)\right]+12$ và $h(t)=3\sin\left[\dfrac{\pi}{186}(t-74)\right]+12$ (với $t\in\mathbb{Z}$ , $1\le t\le365$ ). Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu trong năm thì hai thành phố này có cùng số giờ có ánh sáng mặt trời?

Chương I · Phần III · Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos2x+\sin x+1$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{4};\pi\right]$ bằng bao nhiêu?

Chương I · Phần III · Câu 12. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là $HK=20\,$ m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí $C$ . Gọi $A$ , $B$ lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được. Tính số đo góc $\widehat{ACB}$ (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là $CK=32\,$ m, $AH=6\,$ m, $BH=24\,$ m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục, đơn vị độ).

Chương I · Phần III · Câu 13. Cho tam giác $ABC$ . Tính $P=\dfrac{\sin^3\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}{2\cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos^3\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}{2\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\sin(B+C)}{\cos A}\cdot\dfrac{\cot A}{2}$

Chương I · Phần III · Câu 14. Một vòng quay Mặt Trời quay quanh trục mỗi vòng hết $15$ phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách $h\,(\text{m})$ từ một cabin $M$ trên vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức $h(t)=a\sin\left(\dfrac{2\pi}{15}t-\dfrac{\pi}{2}\right)+b$ , với $t$ là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút $(t\ge0)$ . Biết rằng khi lên đến vị trí cao nhất cabin $M$ cách mặt đất $114{,}5\,$ m và khi xuống đến vị trí thấp nhất cabin $M$ cách mặt đất $0{,}5\,$ m. Có bao nhiêu thời điểm cabin $M$ đạt được chiều cao $86\,$ m trong vòng quay đầu tiên tính từ thời điểm $t=0$ (phút)?

Chương I · Phần III · Câu 15. Tổng các nghiệm của phương trình $2\cos^2 x+\sqrt3\sin2x=3$ trên $\left(0;\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

Chương I · Phần III · Câu 16. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính $2{,}5\,$ m; trục của nó đặt cách mặt nước $2\,$ m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách $h$ (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm $A$ trên guồng đến mặt nước là $h=|y|$ , trong đó $y=2+2{,}5\sin2\pi\left(x-\dfrac{1}{4}\right)$ với $x$ là thời gian quay của guồng $(x\ge0)$ , tính bằng phút; ta quy ước rằng $y>0$ khi gầu ở trên mặt nước và $y<0$ khi gầu ở dưới mặt nước. Chiếc gầu cách mặt nước $2$ mét lần đầu tiên khi nào?

Chương I · Phần III · Câu 17. Phương trình $\cot\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0;2025\pi]$ ?

Chương I · Phần III · Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin2x-2m\sin x-\cos x+m=0$ có đúng $5$ nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

Chương I · Phần III · Câu 19. Giải các phương trình sau:

a) $(\sin x+\cos x)(2\sin x+1)=2+2\sin2x$ .

b) $\dfrac{1}{\tan x}+\dfrac{\sin x}{\cos x-1}=1-2\sin x$ .

c) $\sqrt2\sin3x+\sin5x+\sin x=0$ .

d) $\dfrac{(1+\cos2x)\sin2x}{1-\sin x}=2(\sin x+\sin3x)(1+\sin x)$ .

Chương II · Phần I · Câu 5. Trong các dãy $(u_n)$ sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?

Chương II · Phần I · Câu 7. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_n=2\cdot3^n$ với $n\in\mathbb{N}^*$ . Công thức truy hồi của dãy số là:

Chương II · Phần I · Câu 15. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là $u_n=3n+4$ với $n\in\mathbb{N}^*$ . Gọi $S_n$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chương II · Phần I · Câu 19. Cho một cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và tổng $100$ số hạng đầu bằng $24850$ . Giá trị biểu thức $S=\dfrac{1}{u_1u_2}+\dfrac{1}{u_2u_3}+\ldots+\dfrac{1}{u_{49}u_{50}}$ là

Chương II · Phần I · Câu 20. Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

Chương II · Phần I · Câu 21. Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân với $u_n\ne0$ , $n\in\mathbb{N}^*$ . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

Chương II · Phần II · Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{1}{2^n}$ .

Ý A. Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Chương II · Phần II · Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{1}{2^n}$ .

Ý B. Số thứ $8$ của dãy số là $\dfrac{1}{128}$ .

Chương II · Phần II · Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{1}{2^n}$ .

Ý C. Số $64$ thuộc dãy số $(u_n)$ .

Chương II · Phần II · Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{1}{2^n}$ .

Ý D. Dãy số $(u_n)$ là một dãy số bị chặn.

Chương II · Phần II · Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}$

Ý A. Số thứ $5$ trong dãy số là $11$ .

Chương II · Phần II · Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}$

Ý B. Dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

Chương II · Phần II · Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}$

Ý C. Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

Chương II · Phần II · Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}$

Ý D. Công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n=2n+1$ .

Chương II · Phần II · Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{n-1}{n+1}$ .

Ý A. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}$ .

Chương II · Phần II · Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{n-1}{n+1}$ .

Ý B. $\dfrac{u_{2024}}{u_{2023}}<1$ .

Chương II · Phần II · Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{n-1}{n+1}$ .

Ý C. Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Chương II · Phần II · Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\dfrac{n-1}{n+1}$ .

Ý D. Dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

Chương II · Phần II · Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $\begin{cases}u_2+u_5=42\\ u_4+u_9=66\end{cases}$

Ý A. Số hạng $u_1=25$ .

Chương II · Phần II · Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $\begin{cases}u_2+u_5=42\\ u_4+u_9=66\end{cases}$

Ý B. Tổng $u_3+u_{10}=66$ .

Chương II · Phần II · Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $\begin{cases}u_2+u_5=42\\ u_4+u_9=66\end{cases}$

Ý D. Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $300$ .

Ý A. Dãy số $(u_n)$ với $\dfrac{-2}{3};\dfrac{-1}{3};0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};1;\dfrac{4}{3}$ là cấp số cộng với $u_1=\dfrac{-2}{3};\ d=\dfrac{1}{3}$ .

Ý B. Dãy số $(u_n)$ với $u_n=7-3n$ là cấp số cộng với $u_1=4;\ d=-3$ .

Ý C. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1+2u_5=0$ và $S_4=14$ . Số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng là $u_1=8,\ d=-3$ .

Ý D. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=-1;\ d=2;\ S_n=483$ . Số các số hạng của cấp số cộng là $21$ .

Ý A. Dãy số $4;\,2;\,\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{4};\ldots$ là một cấp số nhân với công bội $q=\dfrac{1}{2}$ .

Ý B. Dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát là một cấp số nhân với công bội $q=3$ .

Ý C. Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q<0$ và $u_2=4$ , $u_4=9$ . Khi đó $u_1=-\dfrac{8}{3}$ .

Ý D. Các số $2;\,8;\,x;\,128$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Khi đó $x=32$ .

Chương II · Phần II · Câu 7. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_4-u_2=36\\ u_5-u_3=72\end{cases}$

Ý A. Công bội của cấp số nhân là $q=3$ .

Chương II · Phần II · Câu 7. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_4-u_2=36\\ u_5-u_3=72\end{cases}$

Ý B. Số hạng thứ $6$ của cấp số nhân là $u_6=192$ .

Chương II · Phần II · Câu 7. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_4-u_2=36\\ u_5-u_3=72\end{cases}$

Ý C. Tổng $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $186$ .

Chương II · Phần II · Câu 7. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_4-u_2=36\\ u_5-u_3=72\end{cases}$

Ý D. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n=6\cdot3^{n-1}$ .

Chương II · Phần II · Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\begin{cases}u_4+u_6=-540\\ u_3+u_5=180\end{cases}$

Ý A. Công bội của cấp số nhân là $q=-3$ .

Chương II · Phần II · Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\begin{cases}u_4+u_6=-540\\ u_3+u_5=180\end{cases}$

Ý B. Số $486$ là số thứ $5$ trong cấp số nhân.

Chương II · Phần II · Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\begin{cases}u_4+u_6=-540\\ u_3+u_5=180\end{cases}$

Ý C. Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $1256$ .

Chương II · Phần II · Câu 8. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\begin{cases}u_4+u_6=-540\\ u_3+u_5=180\end{cases}$

Ý D. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n=2\cdot(-3)^{n-1}$ .

Chương II · Phần II · Câu 9. Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$ . Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

Ý A. Độ dài mỗi cạnh của hình $H_1$ là $\dfrac{a}{3}$ .

Chương II · Phần II · Câu 9. Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$ . Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

Ý B. Với mọi số tự nhiên $n\ge2$ thì độ dài mỗi cạnh của hình $H_{n-1}$ gấp $3$ lần độ dài mỗi cạnh của hình $H_n$ .

Chương II · Phần II · Câu 9. Cho hình $H_0$ là một tam giác đều cạnh $a$ . Người ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

Ý D. Chu vi của hình bông tuyết Von Koch $H_{16}$ lớn hơn $100$ lần chu vi của hình $H_0$ .

Chương II · Phần III · Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_n=\dfrac{n^2+3n+7}{n+1}$ .

a) Tìm số hạng thứ năm của dãy số $(u_n)$ .

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?

Chương II · Phần III · Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=1\\ u_n=u_{n-1}+3\ \ \forall n\ge2\end{cases}$

a) Tìm số hạng thứ ba của dãy số $(u_n)$ .

b) Tính tổng của $100$ số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ .

Chương II · Phần III · Câu 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{cases}$

a) Xác định công sai và công thức của số hạng tổng quát $u_n$ .

b) Số $37$ có thuộc cấp số cộng không? Nếu thuộc thì $37$ là số hạng thứ mấy?

c) Tính $S=u_1+u_4+u_7+\ldots+u_{2026}$ .

Chương II · Phần III · Câu 4. Cho một cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ , $S_{100}=14950$ . Tính $P=\dfrac{1}{u_1u_2}+\dfrac{1}{u_2u_3}+\ldots+\dfrac{1}{u_{70}u_{71}}$

Chương II · Phần III · Câu 5. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng $20$ và tổng các bình phương của chúng bằng $120$ .

Chương II · Phần III · Câu 6. Xác định cấp số nhân $(u_n)$ biết:

a) $\begin{cases}u_3=15\\ u_5=135\\ u_6<0\end{cases}$

b) $\begin{cases}u_1+u_5=164\\ u_2+u_3+u_4=78\end{cases}$

Chương II · Phần III · Câu 7. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases}u_4=\dfrac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{cases}$

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số. Số $\dfrac{2}{6561}$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

b) Tính tổng $10$ số hạng đầu của cấp số.

Chương II · Phần III · Câu 8. Cho $3$ số dương có tổng là $65$ lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và $19$ đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm $3$ số đó.

Chương II · Phần III · Câu 9. Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng $30$ bậc. Bậc dưới cùng cần $100$ viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Chương II · Phần III · Câu 10. Bạn Bông tiết kiệm để mua một hộp trang điểm. Trong tuần đầu tiên, Bông để dành $42$ đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, bạn đã thêm $8$ đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Hộp trang điểm Bông cần mua có giá $400$ đô la. Hỏi bắt đầu từ tuần thứ bao nhiêu thì bạn ấy có đủ tiền để mua hộp trang điểm đó?

Chương II · Phần III · Câu 11. Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là $240$ triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm $5\%$ lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm (làm tròn đến triệu đồng và chỉ điền số, không điền đơn vị đi kèm).

Chương II · Phần III · Câu 12. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong ống nghiệm, cứ $20$ phút vi khuẩn đó lại phân đôi một lần. Nếu ban đầu có $20$ vi khuẩn, tính số lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau $2$ giờ.

Chương II · Phần III · Câu 13. Quốc Khánh gửi $80$ triệu đồng vào ngân hàng, kỳ hạn $1$ năm với lãi suất $4{,}6\%$ một năm theo hình thức lãi kép. Biết trong $3$ năm, Quốc Khánh không rút tiền ra hoặc gửi thêm tiền. Sau $3$ năm Quốc Khánh rút toàn bộ số tiền về. Tính số tiền Quốc Khánh nhận được. (đơn vị: triệu đồng, làm tròn kết quả đến hàng triệu)

Sau một kỳ hạn gửi tiết kiệm, khách hàng sẽ nhận được một khoản tiền lãi. Nếu cộng số tiền lãi này vào số tiền gốc ban đầu để tiếp tục gửi tiết kiệm thì tiền lãi của kỳ hạn tiếp theo được gọi là lãi kép. Chu kỳ này lặp lại càng nhiều thì số tiền lãi càng cao.

Chương II · Phần III · Câu 14. Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp $900$ hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có $1$ hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn $2$ hộp so với hàng trên nó. Hỏi hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Chương II · Phần III · Câu 15. Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc lớn nhất bằng $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc của tứ giác đó.

Chương II · Phần III · Câu 16. Một cấp số cộng có chẵn số hạng. Tổng các số hạng thứ lẻ là $24$ , tổng các số hạng thứ chẵn là $30$ . Biết rằng số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là $\dfrac{21}{2}$ . Cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

Chương IV · Phần I · Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ , $M$ là trung điểm $AB$ ; $N$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $DN=\dfrac{1}{3}AD$ . Mặt phẳng $(CMN)$ cắt $BD$ tại $K$ . Tính tỉ số $\dfrac{DK}{BK}$ .

Chương IV · Phần I · Câu 6. Chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ , $N$ , $P$ là trung điểm $AB$ , $AD$ , $SC$ . Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $SD$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\dfrac{QD}{QS}$ .

Chương IV · Phần II · Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ .

Ý A. Đường thẳng $AG$ cắt đường thẳng $MN$ .

Chương IV · Phần II · Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ .

Ý B. Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(MCD)$ .

Chương IV · Phần II · Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ .

Ý C. Đường thẳng $AG$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ .

Chương IV · Phần II · Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ .

Ý D. Mặt phẳng $(ABG)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến là đường thẳng $AC$ .

Chương IV · Phần II · Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ với $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ , $N$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Gọi $O=AC\cap BD$ và $K=AN\cap CD$ .

Ý A. $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Chương IV · Phần II · Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ với $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ , $N$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Gọi $O=AC\cap BD$ và $K=AN\cap CD$ .

Ý B. Giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ là điểm nằm trên cạnh $SO$ .

Chương IV · Phần II · Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ với $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ , $N$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Gọi $O=AC\cap BD$ và $K=AN\cap CD$ .

Ý C. $KM$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SCD)$ .

Chương IV · Phần II · Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ với $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ , $N$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Gọi $O=AC\cap BD$ và $K=AN\cap CD$ .

Ý D. Giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AMN)$ là điểm nằm trên cạnh $KM$ .

Chương IV · Phần II · Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ . Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn $AD$ , $AB$ cắt $CD$ tại $K$ , điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ .

Ý A. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SK$ .

Chương IV · Phần II · Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ . Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn $AD$ , $AB$ cắt $CD$ tại $K$ , điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ .

Ý B. Giao tuyến $(d)$ của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ .

Chương IV · Phần II · Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ . Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn $AD$ , $AB$ cắt $CD$ tại $K$ , điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ .

Ý C. $KM$ cắt $SC$ tại $N$ , khi đó $3$ đường thẳng $AM$ , $KN$ , $d$ đồng quy.

Chương IV · Phần II · Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ . Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn $AD$ , $AB$ cắt $CD$ tại $K$ , điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ .

Ý D. Nếu $AD=2BC$ và $M$ là trung điểm $SD$ thì $N$ là trung điểm $SC$ .

Chương IV · Phần II · Câu 4. Trong không gian cho ba đường thẳng $a$ , $b$ và $c$ phân biệt.

Ý C. Nếu đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ , đường thẳng $b$ và đường thẳng $c$ chéo nhau thì đường thẳng $a$ và đường thẳng $c$ chéo nhau hoặc cắt nhau.

Chương IV · Phần II · Câu 4. Trong không gian cho ba đường thẳng $a$ , $b$ và $c$ phân biệt.

Ý D. Nếu đường thẳng $a$ cắt $b$ , hai đường thẳng $b$ và $c$ chéo nhau thì $a$ và $c$ chéo nhau hoặc song song với nhau.

Chương IV · Phần III · Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Lấy $M$ , $N$ , $K$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $AD$ , $SA$ .

a) Xác định giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNK)$ và $(SAC)$ .

b) Xác định giao điểm của $MK$ và mặt phẳng $(SBD)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$ , $M$ là điểm thuộc miền trong tam giác $ACD$ ; $E$ là điểm thuộc $BM$ .

a) Xác định giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(ABM)$ và $(BCD)$ .

b) Xác định giao điểm của $DE$ và mặt phẳng $(ABC)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $SB$ , $SD$ .

a) Tìm giao điểm của $SC$ và $(AMN)$ .

b) Tìm giao điểm của $DM$ và $(SAC)$ .

c) Tìm giao tuyến của $(AMN)$ và $(ABCD)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ và $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ , $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$ . Tìm giao tuyến của mặt phẳng

a) $(MNP)$ và $(SBC)$ .

b) $(MNP)$ và $(SDC)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ , $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ cắt $BC$ . Gọi $I$ là điểm nằm bên trong tam giác $BCD$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) $(MNI)\cap(ABD)$ .

b) $(MNI)\cap(ACD)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm $M$ là trung điểm $SA$ . Tìm giao điểm của $SD$ và $(MBC)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ , $P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SA$ , $AD$ , $BC$ . Xác định $K$ là giao điểm của đường thẳng $MP$ và mặt phẳng $(SBN)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ . Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ , trên cạnh $SC$ lấy điểm $N$ , sao cho $MN$ không song song với $AC$ . Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$ . Tìm giao điểm của mặt phẳng $(OMN)$ với các đường thẳng $AC$ , $BC$ và $AB$ .

Chương IV · Phần III · Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AC$ , $K$ là điểm thay đổi trên cạnh $AD$ .

a) Xác định $Q$ là giao điểm của $(MNK)$ và $BD$ . Tìm vị trí của $K$ để tứ giác $MNKQ$ là hình bình hành.

b) Khi điểm $K$ không là trung điểm cạnh $AD$ . Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và mặt phẳng $(MNK)$ . Chứng minh $NK$ , $MI$ , $CD$ đồng quy tại $O$ .

c) Gọi $d$ là giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(ABO)$ và $(MNK)$ . Chứng minh $d$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ .

Chương IV · Phần III · Câu 10. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BP=\dfrac{1}{3}BC$ . Gọi $J$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $(MNP)$ . Tìm $k$ , biết $\overrightarrow{AJ}=k\cdot\overrightarrow{DJ}$ .