Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 1 · Toán 8 · THCS Thăng Long (Hà Nội) · 2025–2026

Bài 1. Thu gọn các đơn thức:

a) $(-2xy^2z)\left(\dfrac34x^2yz^3\right)$; b) $(xy^2)(-2xy^3)$;

c) $\dfrac15x^2y^3z\left(\dfrac12xyz\right)^3$; d) $\dfrac13axy(axy^2)^2$, với $a$ là hằng số.

Bài 2. Tìm đa thức $M$ và cho biết bậc của $M$:

a) $(3x-x^3y^2-x^2y+2-x)-M=-(7x^2y+xyz-3x+4)$;

b) $M-(5x^2y^2-x^2y+xy^2-1)=4x^2y-xy^2+2x-3$;

c) $(3xyz-3x+5xy-1)+M=5x^2+xyz-5xy$;

d) $M+(3xz-3x^3+5x^4y^3-1)=5x^3+xz-3x^4y^3$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $(5xy-10x^3+y)\cdot\dfrac25x^2yz$; b) $-2xy(x^3y-3x^2y^2+8xy^3)$;

c) $(2y^2-6z)\left(\dfrac12y+z\right)$; d) $-2(2xy-1)(3x+2y)$;

e) $-18x^2y^3z:(-4x^2y)$; f) $(12x^2y^2z^2-6x^2y^5z^3-3x^3yz^3):(-xyz)$.

Bài 4. Rút gọn:

a) $A=x^2(x-y^2)-xy(1-yx)-x^3+4x^3y^6:10xy^4$;

b) $B=x(x+3y+1)-2y(x-1)-(y+x+1)x$;

c) $C=x(x^2-y)+3y(x+2y)-(6y+x)(y-x^2)$;

d) $D=(6x+4)\cdot\dfrac12xy^2-(2x^2y-3)(y+1)-2xy(x+y)$;

e) $M=(x-2)(x+2)+(x-1)^2+2x$;

f) $N=(x+3)^2-(x-3)(3+x)+(x^4-12x^2):(-x^2)$;

g) $Q=x(x-3)^2-(x-2)(x+2)-x^3$.

Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

$M=5x(x-5y)+(y-5x)(-5y)-1-5(x^2-y^2)$;

$N=(3x+5)^2+(3x-5)^2-2(3x-5)(3x+5)$;

$E=(2x-y)^2+(3x+y)^2+2(2x-y)(3x+y)-25(1+x)(x-1)$.

Bài 6. Tìm $x$:

a) $x(x-3)-(x+1)(x-2)=5$; b) $x^2-6x+9=0$; c) $4x^2-25=0$; d) $4x(x-7)-4x^2=56$;

e) $(2x+1)^2-4(x+2)^2=9$; f) $(3x+1)^2-5(x-2)(x+2)=21$;

g) $2x(x+3)-3(x-1)(x+1)=x+1-x(x-2)$;

h) $(2x+1)^2+(x+3)^2-5(x-7)(x+7)=0$.

Bài 7. Một sân vận động hình chữ nhật có chiều dài $5x+3y$ m và chiều rộng $5x-3y$ m. Người ta làm lối đi rộng $3$ m xung quanh sân, phần còn lại trồng cỏ. Tính số tiền trồng cỏ khi $x=12$, $y=3$, biết giá trồng $1\,m^2$ cỏ là $50\,000$ đồng.

Bài 8. Mỗi chiếc bánh crepe giá $x$ đồng, mỗi chiếc bánh đồng xu giá $y$ đồng.

a) Viết biểu thức tổng số tiền mua $15$ bánh crepe và $24$ bánh đồng xu.

b) Tính số tiền khi giá tương ứng là $25\,000$ đồng và $20\,000$ đồng mỗi chiếc.

Bài 9. Bạn Nam làm một khung ảnh hình chữ nhật và dùng dây dài $60$ cm trang trí quanh khung. Khung nên có kích thước nào để diện tích ảnh trong khung lớn nhất?

Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có):

$A=x^2-2x+9$; $B=x^2+6x-3$; $C=(x-1)(x-3)+9$;

$D=-x^2-4x+7$; $E=5-4x^2+4$; $F=x^2+y^2-8x+2y+20$.

Bài 11.* Cho ba số nguyên $a,b,c$ có tổng chia hết cho $6$. Chứng minh $M=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc$ chia hết cho $6$.

Bài 12.* Cho $x,y\in\mathbb R$ thỏa mãn $x^2+5y^2-4xy-4x+2y+13=0$. Tính $M=(x-9)^{2023}+(y-2)^{2024}$.

Bài 13.* Cho $x,y\in\mathbb R$ thỏa mãn $x^2+y^2+xy-3x-3y+3=0$. Chứng minh $P=(3x+2y-6)^{1010}+(x-y+1)^{1011}+2021$ là một số nguyên.

Bài 1. Trong hoạt động ngoại khóa, lớp 8A thiết kế lều trại tam giác $ABC$ như hình. Cửa vào là hình chữ nhật $MNPQ$. Đèn LED được chăng theo đường nét đứt $BMNPQC$; $BC=6$ m và cửa cao $2$ m. Tính độ dài dây LED cần dùng.

Bài 2. Một đội công nhân trồng cây trên đoạn đường $AB$ gặp chướng ngại vật che tầm nhìn. Họ dựng các điểm $C,D,E,F$ như hình rồi trồng tiếp trên đoạn $FE\perp DE$. Vì sao bốn điểm $A,B,E,F$ thẳng hàng?

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$. Lấy $E$ sao cho $N$ là trung điểm $ME$. Chứng minh: a) $AECM$ là hình bình hành; b) $AEMB$ là hình bình hành; c) $AECB$ là hình thang.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Kẻ $HM\perp AB$, $HN\perp AC$ ($M\in AB,N\in AC$).

a) Xác định và chứng minh dạng tứ giác $AMHN$.

b) Lấy $D$ sao cho $M$ là trung điểm $DH$, lấy $E$ sao cho $N$ là trung điểm $HE$. Chứng minh $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $BDEC$ là hình thang. d) Chứng minh $DE=MN+AH$.

Bài 5. Cho hình bình hành $ABCD$, $AC$ cắt $BD$ tại $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $OD,OB$. $AM$ cắt $DC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại $F$.

a) Chứng minh $AMCN$ là hình bình hành. b) Chứng minh $E,O,F$ thẳng hàng. c) Chứng minh $AC,BD,EF$ đồng quy. d) Tìm điều kiện để $AMCN$ là hình chữ nhật.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB<AC$, đường cao $AH$, trung tuyến $AE$. Gọi $D,F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB,AC$, $O=AE\cap DF$.

a) Chứng minh $ADEF$ là hình chữ nhật. b) $DF\parallel BC$. c) $BDFE$ là hình bình hành. d) $F$ là trung điểm $AC$. e) $DFEH$ là hình thang cân. f) Lấy $M,N$ sao cho $F$ là trung điểm $EM$ và $BN$; chứng minh $A,N,M$ thẳng hàng.

Bài 7. Cho hình thoi $ABCD$, $O$ là giao điểm hai đường chéo. Trên $AB,BC,CD,DA$ lấy $M,N,P,Q$ sao cho $AM=CN=CP=QA$. Chứng minh: a) $BMDP$ là hình bình hành; b) $N,O,Q$ thẳng hàng; c) $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Bài 8. Cho hình vuông $ABCD$, $O$ là giao điểm hai đường chéo. Đường thẳng qua $O$ cắt $AD$ tại $P$, cắt $BC$ tại $Q$.

a) Chứng minh $AP=CQ$. b) Qua $P$ kẻ $Px\perp AC$, qua $Q$ kẻ $Qy\perp BD$; gọi $M=Px\cap Qy$, $E=Px\cap OA$, $F=Qy\cap OB$. Xác định dạng tứ giác $OFME$. c) Chứng minh $M$ nằm trên $AB$.

Bài 9. Cho tam giác nhọn $ABC$, $AB<AC$. Các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$, $M$ là trung điểm $BC$. Đường qua $B$ vuông góc $AB$ và đường qua $C$ vuông góc $AC$ cắt nhau tại $K$.

a) Chứng minh $BHCK$ là hình bình hành. b) $H,M,K$ thẳng hàng. c) Trên tia $HG\perp BC$ lấy $I$ sao cho $HG=GI$; chứng minh $BIKC$ là hình thang cân. d) Gọi $J$ là trung điểm $AH$; chứng minh $JM\perp EF$.

Bài 10. Cho hình thang cân $ABCD$, $AB\parallel CD$, $AB<CD$. Gọi $O=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$. Chứng minh: a) $\triangle OAB$ cân tại $O$; b) $\triangle ABD=\triangle BAC$; c) $EC=ED$; d) $O,E$ và trung điểm $DC$ thẳng hàng.

Bài 11. Cho hình vuông $ABCD$. Trên $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy $M,N,P,Q$ sao cho $AM=BN=CP=DQ$. Chứng minh $MNPQ$ là hình vuông.