Làm thử Hướng dẫn ôn tập Giữa kì 1 · Toán 9 · THCS Chu Văn An (Hà Nội) · 2025–2026

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $9x^2(2x-3)=0$.

b) $(4x+2)(x^2+1)=0$.

c) $(2-x)(x+1)=(x-2)(3x+5)$.

d) $4x^2+15x-4=0$.

e) $\dfrac{5x+1}{3}+\dfrac{6-x}{2}=x+1$.

f) $\dfrac{2}{3x}-\dfrac{1}{2x}=\dfrac{3}{4x^2}$.

g) $\dfrac{4x}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{8x-7}{3x-6}$.

h) $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1-x}{x+2}=\dfrac{3x^2+3x+6}{x^2-4}$.

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases}x+3y=4\\3x-4y=-1\end{cases}$.

b) $\begin{cases}3(x+1)+2y=13\\2(x+1)-y=4\end{cases}$.

c) $\begin{cases}2(x-1)-5(y+3)=3\\x+2y=-0{,}6\end{cases}$.

d) $\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\dfrac34\\2x-y+3=7\end{cases}$.

e) $\begin{cases}3x+12y=-5\\x+4y=3\end{cases}$.

f) $\begin{cases}12x-4y=-16\\3x-y=-4\end{cases}$.

g) $\begin{cases}\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac4{15}\\\dfrac2x-\dfrac3y=\dfrac1{30}\end{cases}$.

h) $\begin{cases}\dfrac1{x-y}+\dfrac1{2x+y}=2\\\dfrac3{x-y}-\dfrac2{2x+y}=-2\end{cases}$.

Bài 3.

3.1. Chứng minh:

a) $1-5a\ge 1-5b$ với $a\le b$.

b) $3(b-1)>3(a-1)$ với $a<b$.

3.2. Cho $a<b$, hãy so sánh:

a) $a+b+10$ và $2a+10$.

b) $-(a+2b)+5$ và $-3a+5$.

3.3. Hãy so sánh $a$ và $b$, biết:

a) $-a-b+2>-2a+2$.

b) $2a+b-9\ge 3b-9$.

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a) $(x-2)^2+1>2(x-3)-x(3-x)$.

b) $(x^2+1)(x-6)\le (x-2)^3$.

c) $\dfrac{2(1-2x)}3\ge\dfrac{3(2-x)}2$.

d) $\dfrac{3x+1}{4}-\dfrac{5x+1}{6}\le\dfrac{x+4}{3}$.

e) $\dfrac{x-3}{2}+\dfrac{3x+2}{-4}>\dfrac13$.

f) $\dfrac{x+1}{x-3}<1$.

Bài 5. Trong giờ học Toán, bạn Mai vẽ đồ thị của một hàm số bậc nhất nhưng quên ghi công thức. Biết đồ thị là đường thẳng $(d):y=ax+b$ ($a\ne0$) đi qua $A(2;1)$ và $B(4;-2)$. Hãy tìm $a,b$ và xác định công thức hàm số.

Bài 6. Hai người thợ cùng làm một công việc trong $16$ giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình $3$ giờ rồi nghỉ, sau đó người thứ hai làm tiếp $6$ giờ thì cả hai làm được $25\%$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Bài 7. Bác Bình có $750$ triệu đồng để đầu tư vào hai khoản: kinh doanh và gửi tiết kiệm ngân hàng kì hạn $12$ tháng. Lãi suất lần lượt là $7\%$ và $6\%$ một năm. Tính số tiền đầu tư vào mỗi khoản, biết mỗi năm bác thu được $48$ triệu đồng tiền lãi.

Bài 8. Tập thể dục, thể thao là hoạt động rất có ích cho sức khỏe. Bạn Hùng trung bình tiêu thụ $12$ calo cho mỗi phút chạy bộ và $4$ calo cho mỗi phút đi bộ. Sáng nay, Hùng mất $1$ giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết $560$ calo. Hỏi sáng nay, Hùng thực hiện mỗi hoạt động đó trong bao nhiêu phút?

Bài 9. Một ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn $10$ km thì đến sớm $3$ giờ; nếu chạy chậm hơn $10$ km/h thì đến chậm $5$ giờ. Tính tốc độ, thời gian dự định và chiều dài quãng đường $AB$.

Bài 10. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng $5$ m. Nếu giảm chiều rộng $4$ m và giảm chiều dài $5$ m thì diện tích giảm $180$ m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Bài 11. Một ca nô chạy trên một khúc sông trong $7$ giờ, trong đó xuôi dòng $108$ km và ngược dòng $63$ km. Lần khác, cũng trong $7$ giờ, ca nô xuôi dòng $81$ km và ngược dòng $84$ km. Tính tốc độ dòng nước và tốc độ riêng của ca nô, biết các tốc độ không đổi.

Bài 12. Một hãng taxi công nghệ tính giá cước như sau:

• Mức 1: giá mở cửa cho $1$ km đầu tiên là $20\,000$ đồng.
• Mức 2: từ trên $1$ km đến $25$ km.
• Mức 3: từ trên $25$ km.

Anh Bình đi $37$ km phải trả $542\,000$ đồng, còn chị Mai đi $40$ km phải trả $579\,500$ đồng. Tính giá cước mức 2 và mức 3.

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$), đường cao $AH$. Vẽ $HM\perp AB$ tại $M$, $HN\perp AC$ tại $N$.

a) Biết $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính $BC,AH$ và số đo các góc $B,C$ (làm tròn đến độ).

b) Chứng minh $AM\cdot AB=HB\cdot HC$.

c) Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MN$, cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $D$ là trung điểm của $BC$.

Bài 14. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Từ trung điểm $E$ của $AC$, kẻ $EF\perp BC$ ($F\in BC$).

a) Cho $BC=20$ cm, $\sin C=0{,}6$. Giải tam giác $ABC$ (số đo góc làm tròn đến phút).

b) Chứng minh $AC^2=2\cdot CF\cdot CB$.

c) Chứng minh $AF^2=EB\cdot\cos C$.

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $BC=11$ cm, $\widehat{ABC}=38^\circ$, $\widehat{ACB}=30^\circ$. Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$.

a) Tính $AN$.

b) Tính chu vi tam giác $ABC$.

(Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười của centimet.)

Bài 16. Một học sinh dùng giác kế, đứng cách gốc cây $4$ m rồi chỉnh mặt thước ngắm cao bằng mắt mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi đường ngắm từ mắt đến ngọn cây so với phương nằm ngang) và góc hạ (góc tạo bởi đường ngắm từ mắt đến gốc cây so với phương nằm ngang). Khi đó góc nâng là $52^\circ$, góc hạ là $21^\circ$. Hãy tính chiều cao của cây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hình cho thấy mắt người tại $O$, ngọn cây $A$, gốc cây $B$ và hai đường ngắm $OA,OB$.

Bài 17. Hai con thuyền ở vị trí $P,Q$ cách nhau $300$ m và thẳng hàng với $B$, chân tháp hải đăng. Từ $P,Q$, người ta nhìn thấy ngọn $A$ khi $\widehat{BPA}=14^\circ$, $\widehat{BQA}=42^\circ$. Đặt $h=AB$.

a) Tính $BQ$ và $BP$ theo $h$.

b) Tính chiều cao tháp hải đăng (làm tròn đến hàng phần trăm của mét).

Hình cho thấy thứ tự $P,Q,B$ trên cùng đường thẳng và các tia nhìn $PA,QA$ lên đỉnh $A$.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BB'$ và $CC'$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,B',C'$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$.

b) Biết $AB=AC=10$ cm, $BC=12$ cm. Chứng tỏ $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ trên.

Bài 19. Cho đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $A,B$ thuộc $(O)$. Qua $A,B$, vẽ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $OA,OB$, cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh $O,A,B,M$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $MA=MB$.

c) Chứng minh $MO$ là đường trung trực của $AB$.

d) Gọi $H=OM\cap AB$. Chứng minh khi $A,B$ di chuyển trên $(O)$ thì $OH\cdot OM$ không đổi.

Bài 20.

20.1. Chứng minh:

a) $\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\ge\dfrac8{(a+b)^2}$ với $a,b>0$.

b) $\dfrac1{1+a^2}+\dfrac1{1+b^2}\ge\dfrac2{1+ab}$ với $ab>1$.

20.2. Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$. Ba cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}+\dfrac{c}{1-c}=\dfrac32$. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

20.3. Một con đường gồm ba đoạn $AB,BC,CD$ bao quanh hồ nước như hình. Biết $AB=10$ m, $BC=13$ m, $CD=15$ m, $\widehat{ABC}=70^\circ$ và $BC\perp CD$. Tính $AD$ (làm tròn đến hàng phần trăm của mét).

20.4. Một sợi dây thép dài $1$ m được cắt làm hai đoạn, mỗi đoạn uốn thành một vòng tròn. Cắt thế nào để hai hình tròn có tổng diện tích nhỏ nhất?

Hình 20.3 cho thấy đường gấp khúc $A-B-C-D$ bao quanh hồ với các kích thước nêu trên.