Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 1 · Toán 9 · THCS Lê Lợi - Hà Đông · 2025–2026

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\begin{cases}-2x+5y=12\\2x+3y=4\end{cases}$; 2) $\begin{cases}5x-7y=9\\5x-3y=1\end{cases}$; 3) $\begin{cases}-4x+3y=0\\4x-5y=-8\end{cases}$; 4) $\begin{cases}4x+3y=0\\x+3y=9\end{cases}$;

2. $\begin{cases}3x+2y=7\\2x-3y=-4\end{cases}$; 6) $\begin{cases}4x+3y=6\\-5x+2y=4\end{cases}$; 7) $\begin{cases}3x-5y=2\\-6x+10y=-4\end{cases}$; 8) $\begin{cases}2x+3y=1\\-x-1{,}5y=1\end{cases}$;

3. $\begin{cases}x-3y=2\\-2x+5y=1\end{cases}$; 10) $\begin{cases}4x+y=-1\\7x+2y=-3\end{cases}$; 11) $\begin{cases}x-y=-2\\2x-2y=8\end{cases}$; 12) $\begin{cases}3x+y=3\\-2x-3y=5\end{cases}$.

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases}2(x+y)+3(x-y)=4\\(x+y)+2(x-y)=5\end{cases}$; b) $\begin{cases}2(x-2)+3(1+y)=-2\\3(x-2)-2(1+y)=-3\end{cases}$; c) $\begin{cases}2(2x-3)-(y+2)=4\\3(2x-3)-2(y+2)=-5\end{cases}$;

d) $\begin{cases}4(1-3x)+3(2y-7)=6\\2(1-3x)+(2y-7)=4\end{cases}$; e) $\begin{cases}3(2x-5)+(2-3y)=3\\(2x-5)-\dfrac12(2-3y)=3{,}5\end{cases}$; g) $\begin{cases}\dfrac3{2x-y}-\dfrac6{x+y}=-1\\\dfrac1{2x-y}-\dfrac1{x+y}=0\end{cases}$;

i) $\begin{cases}\dfrac1{x-1}-\dfrac2y=2\\\dfrac2{x-1}-\dfrac1y=-1\end{cases}$; f) $\begin{cases}\dfrac2{x-2}+\dfrac2{y-1}=2\\\dfrac2{x-2}-\dfrac3{y-1}=1\end{cases}$; h) $\begin{cases}\dfrac2{x-1}+\dfrac4{3y+1}=6\\-\dfrac5{x-1}+\dfrac8{3y+1}=3\end{cases}$.

Bài 6. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\dfrac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Bài 9. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Bài 12. Tìm các hệ số $x,y$ trong các phản ứng hoá học đã được cân bằng sau:

a) $2\mathrm{Fe}+y\mathrm{Cl}_2\to x\mathrm{FeCl}_3$;

b) $x\mathrm{FeCl}_3+\mathrm{Fe}\to y\mathrm{FeCl}_2$;

c) $4\mathrm{Al}+x\mathrm{O}_2\to y\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3$.

Bài 13. Cân bằng các phương trình hoá học sau bằng phương pháp đại số:

a) $\mathrm{Ag}+\mathrm{Cl}_2\to\mathrm{AgCl}$; b) $\mathrm{CO}_2+\mathrm{C}\to\mathrm{CO}$; c) $\mathrm{Fe}+\mathrm{Cl}_2\to\mathrm{FeCl}_3$; d) $\mathrm{SO}_2+\mathrm{O}_2\xrightarrow[\mathrm{V}_2\mathrm{O}_5]{t^\circ}\mathrm{SO}_3$.

Bài 14. Giải các phương trình:

a) $(2x+3)(5-x)=0$; b) $(x+2)(3-3x)=0$; c) $(2x-5)(x+7)=x(x+7)$; d) $(3x-2)^2-25=0$; e) $(x-4)^2=5x-20$; f) $(2x-1)^2+(2-x)(2x-1)=0$; g) $x(2x-1)+5(2x-1)=0$; h) $x(3x+5)-6x-10=0$.

Bài 15. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{5(x-1)}{x+1}$; b) $\dfrac{x+2}{x-1}-\dfrac1x=\dfrac1{x^2-x}$; c) $\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{x-1}{x}=\dfrac2{x^2+x}$;

d) $\dfrac{3x-2}{x+7}=\dfrac{6x+1}{2x-3}$; e) $\dfrac{2x+1}{x+1}+\dfrac2x=\dfrac2{x^2+x}$; g) $\dfrac1x+\dfrac3{x-2}=\dfrac{10}{x^2-2x}$.

Bài 16. Giải các bất phương trình sau:

a) $3(x-2)-5\geq3(2x-1)$; b) $-5(x-2)+2(x-3)\geq7$; c) $4x-7\geq5(2x-3)+4$;

d) $\dfrac{4x-1}{3}-\dfrac{3x+2}{2}\leq\dfrac{2x-3}{4}$; e) $\dfrac{3x+2}{4}-\dfrac{x-2}{3}>\dfrac{4x+1}{12}$; g) $\dfrac{5x-1}{4}+\dfrac{2x-1}{3}\geq\dfrac{3x}{2}$;

i) $\dfrac{x+2}{5}\geq\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{7x+5}{10}$; f) $\dfrac{x-3}{3}-\dfrac{x-1}{6}\leq-\dfrac{x+2}{4}$; k) $\dfrac{x(x+1)}{12}-\dfrac{x-1}{8}\leq\dfrac{2x^2+3}{24}+\dfrac{5x}{6}$.

Bài 20. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) $a^2+b^2\geq2ab$, với mọi $a,b$; b) $(a+b)^2\geq4ab$, với mọi $a,b$; c) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$, với mọi $a,b,c,d$; d) $\dfrac ab+\dfrac ba\geq2$ với $a,b>0$; e) $\dfrac1a+\dfrac1b\geq\dfrac4{a+b}$ với $a,b>0$.

Bài 21.

a) Cho $a,b\geq0$ thoả mãn $a^2+b^2=9$. Tìm GTNN của $A=a+3b$.

b) Cho $a,b>0$ thoả mãn $a^2+b^2=18$. Tìm GTLN của $B=a+b+ab$.

c) Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $C=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}$.

d) Cho $a,b>0$ thoả mãn $a+b\leq1$. Tìm GTNN của $D=\dfrac2{a^2+b^2}+\dfrac3{ab}$.

e) Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=5$. Tìm GTNN của $E=3a^2+3b^2+c^2$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính độ dài các cạnh $AC$ và $BC$ biết: a) $AB=12$ cm, $\tan B=\dfrac34$; b) $AB=15$ cm, $\cos B=\dfrac5{13}$; c) $AB=2\sqrt3$ cm, $\cot B=\sqrt3$.

Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

$A=\sin10^\circ+\sin40^\circ-\cos50^\circ-\cos80^\circ$;

$B=\cos15^\circ+\cos35^\circ-\sin55^\circ-\sin75^\circ$.

Bài 4. Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết: a) $BC=20$ cm, $\widehat B=30^\circ$; b) $AB=12$ cm, $\widehat C=60^\circ$; c) $AB=12$ cm, $BC=20$ cm.

Bài 5. Cho hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$). Vẽ $BH\perp CD$ ($H\in CD$). Biết $BH=12$ cm, $DH=16$ cm, $CH=9$ cm, $AD=14$ cm.

a) Tính độ dài $DB,BC$. b) Chứng minh tam giác $DBC$ vuông. c) Tính các góc của hình thang $ABCD$ (làm tròn đến độ).

Bài 6. Cho tam giác $ABD$ có $AB=15$ cm, $AD=20$ cm, $BD=25$ cm. Vẽ $AM\perp BD$.

a) Chứng minh tam giác $ABD$ vuông. Tính $AM,BM,MD$.

b) Kẻ tia $Bx\parallel AD$, đường thẳng qua $M$ vuông góc với $BD$ cắt $Bx$ tại $C$. Chứng minh $AB^2=AD\cdot BC$.

c) Kẻ $CE\perp AD$ cắt $BD$ tại $I$. Chứng minh $BM^2=MI\cdot MD$.

d) Chứng minh $S_{AMB}=S_{MCD}$.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AK$.

a) Giải tam giác $ACK$ biết $\widehat C=30^\circ$, $AK=3$ cm.

b) Chứng minh $AK=\dfrac{BC}{\cot B+\cot C}$.

c) Biết $BC=5$ cm, $\widehat B=68^\circ$, $\widehat C=30^\circ$. Tính $S_{ABC}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

d) Vẽ hình chữ nhật $CKAD$, $DB$ cắt $AK$ ở $N$. Chứng minh $\dfrac1{AK^2}=\dfrac{\cot^2\widehat{ACB}}{DN^2}+\dfrac1{DB^2}$.

Bài 12. Một người đứng trên tháp B (H4) của ngọn hải đăng cao 75 m quan sát hai lần một con tàu đang đi về hướng ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy tàu tại C với góc hạ là 20°, lần thứ hai người đó nhìn thấy tàu tại D với góc hạ là 30°. Hỏi con tàu đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Hình H4 biểu diễn hải đăng AB, hai vị trí tàu C, D và hai tia nhìn; nhãn chiều cao trong hình chỉ in riêng chữ số “7”.