Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 1 · Toán 9 · THCS Nghĩa Tân - phường Nghĩa Đô · 2025–2026

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1. $x(x+2)-2x(x-3)=5-x^2$; 2) $(x-2)(x+3)+(x-1)(5-x)=x+13$; 3) $(x-2)^2+3(x-1)=5x+1$; 4) $(x-4)^2+(x-2)^2=20$; 5) $(x-1)^3+3(x^2+1)=2x+4$;

2. $1+\dfrac{14}{(x-4)^2}=\dfrac{-9}{x-4}$; 7) $5+\dfrac{96}{x^2-16}=\dfrac{2x-1}{x+4}-\dfrac{3x-1}{4-x}$; 8) $\dfrac5{x-1}+\dfrac{x}{x+1}=\dfrac5{x^2-1}$; 9) $\dfrac1{x^2-1}+\dfrac5{x+1}-\dfrac1{x-1}=1$; 10) $\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+5}=2$.

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\begin{cases}x-3y=2\\-2x+5y=1\end{cases}$; 2) $\begin{cases}-2x+3y=8\\2x+y=0\end{cases}$; 3) $\begin{cases}3x+2y=5\\2x-3y=-1\end{cases}$; 4) $\begin{cases}0{,}8x+0{,}8y=480\\0{,}9x+0{,}75y=480\end{cases}$;

2. $\begin{cases}0{,}75x+0{,}75y=375\\0{,}8x+1{,}1y=460\end{cases}$; 6) $\begin{cases}x+y=500\\0{,}1x+0{,}25y=95\end{cases}$; 7) $\begin{cases}\dfrac12x-\dfrac32y=2\\\dfrac23x+\dfrac43y=1\end{cases}$;

3. $\begin{cases}3(x+y)-2(x-y)=9\\2(x+y)+(x-y)=-1\end{cases}$; 9) $\begin{cases}(x+4)(y+4)=xy+216\\(x+2)(y-5)=xy-50\end{cases}$.

Bài 7. Một người vào siêu thị để mua hai loại hàng. Nếu thuế giá trị gia tăng (VAT) là 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai thì người đó phải trả tổng cộng 2.170.000 đồng; nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2.180.000 đồng. Hỏi nếu không có thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Bài 9. Nhằm động viên khen thưởng các em đạt danh hiệu học sinh giỏi cấp thành phố năm học 2024–2025, một trường trung học cơ sở đã tổ chức chuyến tham quan ngoại khóa tại một điểm du lịch với mức giá ban đầu là 375.000 đồng một người. Biết công ty du lịch đã giảm 10% chi phí cho mỗi giáo viên và giảm 30% chi phí cho mỗi học sinh, số học sinh tham gia gấp 4 lần số giáo viên và tổng chi phí tham quan sau khi giảm giá là 12.487.500 đồng. Tính số giáo viên và số học sinh tham gia chuyến đi.

Bài 10. Chị Lan và chị Thu đi mua áo sơ mi và quần tây tại một cửa hàng thời trang. Chị Lan mua 3 chiếc áo sơ mi và 2 chiếc quần tây với giá tiền tổng cộng là 2,25 triệu đồng. Chị Thu mua 2 chiếc áo sơ mi và 1 chiếc quần tây với giá tiền tổng cộng là 1,25 triệu đồng. Xác định giá bán mỗi chiếc áo sơ mi và mỗi chiếc quần tây biết rằng tất cả các áo sơ mi đều đồng giá và tất cả các quần tây đều đồng giá.

Bài 18. Một con thuyền di chuyển từ điểm A của bờ bên này sang điểm B ở bờ bên kia của một con sông. Do nước chảy mạnh nên thuyền di chuyển bị lệch một góc 25 độ và vị trí đến là C cách B 50 m như hình vẽ. a) Tính chiều rộng khúc sông (làm tròn đến hàng đơn vị). b) Nếu con thuyền đi với tốc độ 20 m/phút thì con thuyền đi mất bao nhiêu phút để sang được bờ bên kia (kết quả làm tròn đến phút). Hình vẽ biểu diễn tam giác vuông ABC, AB là chiều rộng sông, BC = 50 m và góc BAC = 25°.

Bài 19. Ngọn hải đăng Hòn Dấu (Hải Phòng) cao 130 m so với mực nước biển. Một người đứng trên mũi tàu đang tiến về phía chân ngọn hải đăng. Khi tàu ở vị trí C người đó nhìn thấy ngọn hải đăng với phương tạo với phương ngang một góc 10°. Người đó tiếp tục điều khiển con tàu tiến về chân ngọn hải đăng; 10 phút sau người đó đến vị trí D và nhìn thấy ngọn hải đăng với hướng nhìn tạo với phương ngang một góc 48°. a) Khi ở vị trí D người đó còn cách chân ngọn hải đăng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần trăm)? b) Nếu vẫn giữ nguyên tốc độ di chuyển thì con tàu phải đi bao nhiêu phút nữa mới đến được chân ngọn hải đăng (làm tròn đến hàng phần trăm)? Hình vẽ biểu diễn hải đăng AB cao 130 m và hai vị trí tàu C, D.

Bài 20. Một chiếc máy bay cất cánh với vận tốc 320 km/h và bay lên theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc 28°. a) Khi máy bay bay được 3 km thì máy bay ở độ cao bao nhiêu km so với mặt đất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)? b) Khi thực hiện các chuyến bay quốc tế, để đảm bảo an toàn và tiết kiệm nhiên liệu, máy bay thường giữ độ cao hành trình là 10 600 m. Nếu giữ nguyên tốc độ bay cất cánh thì sau khi cất cánh bao nhiêu phút máy bay đạt độ cao hành trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Hình vẽ biểu diễn đường bay BC tạo với mặt đất BA góc 28° và độ cao AC.

Bài 21. Bạn An đang ở trên tầng thượng của một tòa chung cư quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà mình. An nhìn thấy bố đang điều khiển xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng 30°. Sau 120 giây, An quan sát thấy bố với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng 60°. Hỏi sau bao nhiêu giây nữa thì bố sẽ đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy của bố An không đổi. Hình vẽ biểu diễn đỉnh A, chân tòa nhà B và hai vị trí C, D của xe máy.

Bài 22. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, phân giác $AD$ của góc $BAC$ ($H,D$ thuộc $BC$). a) Cho $AB=9$ m, $AC=12$ m. Tính $BC$ và số đo góc $B$ (kết quả làm tròn đến phút). b) Chứng minh $\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{AC}{BA}$ và $DC\cdot BH=DB\cdot AH$. c) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Chứng minh $\sin\widehat{AMH}=2\sin\widehat C\sin\widehat B$.

Bài 23. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=12$ cm, $AC=16$ cm; đường cao $AH$. a) Tính $BC$, góc $B$, góc $C$. b) Tính $AH,BH,CH$. c) Kẻ $HE\perp AB$, $HF\perp AC$, trung tuyến $AM$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $AM\perp EF$ và $AE\cdot AB=AC^2\sin^2C$. Kết quả độ dài làm tròn đến một chữ số thập phân, số đo góc làm tròn đến độ.

Bài 24. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. a) Tính $BC,CH,\widehat{ABC}$ (góc làm tròn đến độ). b) Vẽ $HE\perp AB$ ($E\in AB$), $HF\perp AC$ ($F\in AC$). Chứng minh $AE\cdot AB=AF\cdot AC$, từ đó suy ra $\triangle AEF\sim\triangle ACB$. c) Gọi $K$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AK\perp EF$.

Bài 25. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. 1) Cho biết $AB=3$ cm, $AC=4$ cm. Tính $BC,HB,HC,AH$. 2) Vẽ $HE\perp AB$ tại $E$, $HF\perp AC$ tại $F$. a) Chứng minh $AE\cdot EB=EH^2$. b) Chứng minh $AE\cdot AB+AF\cdot FC=AH^2$. 3) Chứng minh $BE=BC\cos^3B$.

Bài 26. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$), có $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ ($D\in AC$), kẻ $CK\perp BD$ tại $K$, kẻ $DH\perp BC$ tại $H$. 1) Chứng minh $\triangle BHD\sim\triangle BKC$, từ đó suy ra $BD\cdot BK=BH\cdot BC$. 2) Chứng minh $\triangle DAB\sim\triangle DKC$, từ đó suy ra $AD\cdot CD=DK\cdot BD$. Chứng minh $\widehat{DAK}=\widehat{DBC}$. 3) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Chứng minh $K,P,Q$ thẳng hàng.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. 1) Nếu $BH=3{,}6$ cm, $BC=10$ cm, tính $AB,AC,AH$. 2) Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle AED$. 3) Chứng minh: a) $BC=AB\cos B+AC\cos C$; b) $S_{ADE}=S_{ABC}\sin^2B\sin^2C$.

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB$ và $AC$. a) Chứng minh $AM\cdot AB=AN\cdot AC$. b) Chứng minh $\triangle ANM\sim\triangle ABC$. c) Cho $\sin B+2\sin C=\dfrac95$, diện tích hai tam giác $AMN$ và $ABC$ lần lượt là $S_1,S_2$. Tính giá trị lớn nhất của $T=\sqrt{\dfrac{S_1}{S_2}}$.

Bài 29. Cho tam giác $ABC$ nhọn có ba đỉnh nằm trên $(O)$, kẻ các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, kẻ đường kính $AK$ của $(O)$. a) Chứng minh các điểm $A,D,H,E$ cùng thuộc một đường tròn. b) Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành. c) Chứng minh $ED=BC\cos\,$. d) Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ trên $BC$, chứng minh $H,I,K$ thẳng hàng. e) Chứng minh $AH=2OI$.

Bài 30. Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm $M$ sao cho $MA>MB$. Từ một điểm $K$ trên đoạn $AO$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$; đường thẳng này cắt $AM$ tại $D$ và cắt nửa $(O)$ tại $C$. $AC$ cắt $BM$ tại $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $AM$ và $BC$. a) Chứng minh bốn điểm $C,H,M,F$ cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh $HC\cdot HB=HM\cdot HA$. c) Gọi $I$ là trung điểm của $FH$. Chứng minh $CO\perp CI$.

Bài 31. Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm $M$ sao cho $MA>MB$. Từ một điểm $K$ trên đoạn $AO$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$; đường thẳng này cắt $AM$ tại $D$ và cắt $MB$ tại $E$. a) Chứng minh bốn điểm $K,D,M,B$ cùng thuộc một đường tròn. b) $BD$ cắt nửa đường tròn tại $N$. Chứng minh ba điểm $E,N,A$ thẳng hàng. c) Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $MO$ cắt $ED$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $ED$.

Bài 32. Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$ và hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. a) Chứng minh $B,D,C,E$ cùng nằm trên một đường tròn; xác định tâm $I$ của đường tròn đó. b) Chứng minh $AB\cdot AE=AC\cdot AD$. c) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Chứng minh tứ giác $BHCK$ là hình bình hành. d) Xác định tâm $O$ của đường tròn đi qua $A,B,K,C$. e) Chứng minh $OI\parallel AH$.

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn, các đường cao $BD,CE$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $ED$. a) Chứng minh bốn điểm $B,E,D,C$ cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh $MN\perp ED$.

Bài 34. Cho $(O;R)$ đường kính $AB$ cố định. Một đường kính $CD$ quay quanh $O$. a) Chứng minh tứ giác $ACBD$ là hình chữ nhật. b) Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$, nó cắt $AC$ và $AD$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $\widehat{APQ}=\widehat{ADC}$. c) Gọi $K$ là trung điểm của $PB$, đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $OK$ cắt $PB$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BQ$ và $CK\parallel DH$.

Bài 35. Một cửa hàng buôn giày nhập một đôi với giá là $40$ đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá $x$ đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $(120-x)$ đôi. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất? Hình minh hoạ là ảnh các đôi giày được trưng bày trên kệ.

Bài 36. Một nhà sản xuất trung bình bán được $1000$ ti vi mỗi tuần với giá $14$ triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $500$ nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng $100$ ti vi mỗi tuần. Nếu hàm chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-3x$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số ti vi bán ra ở tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán (triệu đồng) như thế nào để lợi nhuận lớn nhất?

Bài 37. Một nhà in có các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và $90$ triệu nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết thì số tiền lãi khi in $x$ cuốn tạp chí là $L(x)=-0{,}0001x^2+1{,}8x-1000$. Hỏi phải cần in bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất?

Bài 38. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có $n$ con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng $P(n)=480-20n$ (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Bài 40. Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “Thủy động học” (ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, l đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương được gọi là có dạng thủy động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất). Hình vẽ biểu diễn tiết diện mương hình chữ U có đáy rộng x và hai thành cao y.

Bài 41. Một bức tường cao 2 m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2 m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình minh họa). Kí hiệu khoảng cách BC là x (m). Tìm x để độ dài của chiếc thang là ngắn nhất. Hình vẽ biểu diễn bức tường AB cao 2 m, khoảng BE = 2 m đến tòa nhà và thang là đường thẳng từ C qua A đến D.

Bài 42. Một tấm bìa carton dạng tam giác (kí hiệu $ABC$) có diện tích không đổi là $S$. Tại một điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ người ta cắt theo hai đường thẳng lần lượt song song với hai cạnh $AB$ và $AC$ để phần bìa còn lại là một hình bình hành ($AEDF$). Kí hiệu độ dài các cạnh $BC,CD$ lần lượt là $a$ cm, $x$ cm (như hình vẽ). Tìm $x$ theo $a$ để diện tích hình bình hành $AEDF$ là lớn nhất.