Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 1 · Toán 9 · THCS Phước Nguyên · 2025–2026

Câu 1. Giải các phương trình sau:

1. $9x^2(2x-3)=0$; 2) $(x-1)(3x-6)=0$; 3) $(x+2)(3-3x)=0$.

2. $(2x-7)(x+13)=0$; 5) $(2x+3)(5-x)=0$; 6) $(3x-5)(2x+9)=0$.

3. $(3x-2)(4x+5)=0$; 8) $(2x+5)(1-3x)=0$; 9) $6(x-2)(x-4)(1-7x)=0$.

4. $(2x+3)^2=(x-5)^2$; 11) $4x^2-1=(2x+1)(3x-5)$; 12) $2x(x+7)+9(x+7)=0$.

5. $(2x+3)^2=(x-7)^2$; 14) $4x^2-1=(2x+1)(3x-5)$; 15) $16x^2-25=(4x-5)(2x+1)$.

6. $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}+7$; 17) $\dfrac{1-x}{x+1}+3=\dfrac{2x+3}{x+1}$; 18) $\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{3x+3}=\dfrac16$.

7. $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac1x$; 20) $\dfrac{x+3}{x-1}+\dfrac{x-2}{x}=2$; 21) $\dfrac1x+\dfrac3{x-2}=\dfrac{10}{x(x-2)}$.

8. $\dfrac2{x+1}-\dfrac1{x-2}=\dfrac{3x-11}{(x+1)(x-2)}$; 23) $\dfrac2{x-2}+\dfrac3{x-3}=\dfrac{3x-20}{(x-2)(x-3)}$; 24) $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+2)}$.

9. $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac6x=\dfrac9{x^2-2x}$; 26) $\dfrac{x-5}{x}+\dfrac{x-3}{x+5}=\dfrac{x-25}{x^2+5x}$; 27) $\dfrac{x-1}{x-5}-\dfrac{4x}{x+5}=\dfrac{9x-5}{x^2-25}$.

Câu 2. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\begin{cases}x-2y=1\\3x+4y=7\end{cases}$; 2) $\begin{cases}5x-2y=8\\2x+y=7\end{cases}$; 3) $\begin{cases}2x+3y=5\\4x+y=10\end{cases}$.

2. $\begin{cases}2x+y=18\\3x-5y=7\end{cases}$; 5) $\begin{cases}7x-2y=21\\3x+y=16\end{cases}$; 6) $\begin{cases}9x+y=23\\x-2y=0\end{cases}$.

3. $\begin{cases}x+2y=3\\4x-3y=1\end{cases}$; 8) $\begin{cases}x-y=1\\2x+3y=13\end{cases}$; 9) $\begin{cases}x+y=4\\2x+3y=10\end{cases}$.

4. $\begin{cases}x+2y=3\\(x+2)(y-1)=(x+1)(y-3)\end{cases}$.

5. $\begin{cases}3(x+1)+2(x+2y)=4\\4(x+1)-(x+2y)=9\end{cases}$.

6. $\begin{cases}2(x+1)+3(x+y)=15\\4(x-1)-(x+2y)=0\end{cases}$.

7. $\begin{cases}(x+1)(y-1)=x(y-2)\\(2x-1)(y-2)=2xy-3x\end{cases}$.

8. $\begin{cases}(2x-3)(2y+4)=4x(y-3)+54\\(x+1)(3y-3)=3y(x+1)-12\end{cases}$.

9. $\begin{cases}y+2=4(x+1)(y+1)\\x+y+xy=-\dfrac34\end{cases}$.

10. $\begin{cases}\dfrac1{x+1}+\dfrac1{y+1}=1\\xy+x=3\end{cases}$; 17) $\begin{cases}3y=xy+5\\\dfrac2x+\dfrac2{y+1}=2\end{cases}$; 18) $\begin{cases}3{,}2x-1{,}56y=8\\2{,}7x+3{,}21y=-3\end{cases}$.

Câu 3.

a) Cho hệ phương trình $\begin{cases}5x+2y=8\\2x-y=m\end{cases}$. Giải hệ phương trình khi $m=5$.

b) Cho hệ phương trình $\begin{cases}mx+y=3\\2x-y=1\end{cases}$. Giải hệ phương trình khi $m=-1$.

c) Cho hệ phương trình $\begin{cases}-2x+3y=m\\mx+2y=1+m\end{cases}$. Giải hệ phương trình khi $m=-3$.

d) Cho hệ phương trình $\begin{cases}2x+my=3\\mx-y=2\end{cases}$. Giải hệ phương trình khi $m=-2$.

Câu 4. Tìm các giá trị của $a$ và $b$ để hệ phương trình:

a) $\begin{cases}ax-2y=b\\2x+2by=a\end{cases}$ có nghiệm là $(2;1)$.

b) $\begin{cases}-x+by=2a\\bx+ay=2\end{cases}$ có nghiệm là $(3;1)$.

Câu 5. Tìm các hai số $a$ và $b$ để đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm:

a) $A(3;4)$ và $B(-2;5)$; b) $C(-3;1)$ và $D(-1;-2)$.

c) $E\left(\dfrac12;-\dfrac13\right)$ và $F\left(-\dfrac14;-\dfrac23\right)$; d) $M(0{,}5;-1)$ và $N(-1{,}5;-3)$.

Câu 6. Tìm các hệ số $x,y$ trong các phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:

a) $x\mathrm{Al}+3\mathrm{O}_2\to y\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3$; b) $x\mathrm{Fe}+y\mathrm{O}_2\to \mathrm{Fe}_3\mathrm{O}_4$.

c) $2\mathrm{Al}+x\mathrm{HCl}\to y\mathrm{AlCl}_3+3\mathrm{H}_2$; d) $\mathrm{KClO}_3\to x\mathrm{KCl}+y\mathrm{O}_2$.

Câu 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau bốn giờ bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong hai giờ và mở vòi thứ hai trong ba giờ thì được $\dfrac35$ bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Câu 11: Hai công nhân phải làm số sản phẩm như nhau trong cùng một thời gian. Thực tế nếu người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm hai sản phẩm thì sẽ làm xong sớm hơn dự định hai giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng thêm bốn sản phẩm thì sẽ làm xong sớm hơn dự định ba giờ và thêm 6 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm theo kế hoạch mỗi công nhân phải làm.

Câu 20. Chứng minh:

a) $-\dfrac{2009}{2010}>-\dfrac{2010}{2009}$; b) $\dfrac{20}{2}<\dfrac{40}{13}$.

Câu 22. Cho $a\ge 2$. Chứng minh rằng $(a+1)^2\ge 4a+1$.

Câu 23. Xác định vế trái và vế phải của bất đẳng thức $(a-b)^2\ge 0$.

Câu 24. Xác định vế trái và vế phải của bất đẳng thức $3(a^2+b^2+c^2)\ge(a+b+c)^2$.

a) $a+2024<b+2024$; b) $a-2025\ge b-2025$; c) $a-(-4)\le b+4$.

Câu 30. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

Câu 31. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2+\dfrac34\ge(a+b+c)^2$ với mọi $a,b,c$.

Câu 32. Chứng minh rằng $2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c)$ với mọi $a,b,c$.

Câu 33. Giải các bất phương trình sau:

1. $x-9\le0$; 2) $2x+3<0$; 3) $1-4x<0$.

2. $6x-8\ge0$; 5) $3x+1\le16$; 6) $-2x-2>8$.

3. $3x+2>2x+3$; 8) $5x+4<-3x-2$; 9) $\dfrac{4x-5}{3}>\dfrac{7-x}{5}$.

4. $\dfrac{x-6}{3}\le\dfrac{2x+1}{4}$; 11) $\dfrac{x-6}{3}\le\dfrac{2x+1}{4}$; 12) $x-\dfrac{2x+1}{2}<2x-\dfrac23$.

5. $2x+3(x+1)>5x-(2x-4)$; 14) $(x+1)(2x-1)<2x^2-4x+1$; 15) $\dfrac{-3x+2}{x^2+1}>0$.

6. $\dfrac{-x^2+x-1}{2x-3}<0$; 17) $(x^2-4x+5)(2x-2)<0$; 18) $(x+1)^2+2x^2<(2x+3)^2-(x-3)^2$.

a) $2x-3<4-x$; b) $x(x+1)-x(x-7)>3x$; c) $x^2-x+5\le(x+4)(x-1)$.

a) $(2x+1)(x+3)>0$; b) $(x-4)(2x+3)<0$; d) $x(2x+7)\le0$.

a) $\dfrac{3x+3}{2}<3+\dfrac{x-3}{3}$; b) $x-\dfrac{x+1}{4}\le\dfrac18$; d) $\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{3x+2}{4}<\dfrac12$.

Câu 35. Cho $m<n$, hãy so sánh:

a) $2m-1$ và $2m-1$; b) $5-3m$ và $5-3n$.

c) $3m-1$ và $3n+1$; d) $-5m-10$ và $-5(m+n)-10$.

Câu 36. Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $\dfrac{-x+1}{x+8}+\dfrac{x-1}{x+3}$ nhận giá trị âm?

Câu 38. Đổi tỉ số lượng giác của các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^\circ$:

$\sin82^\circ$; $\cos47^\circ$; $\sin48^\circ$; $\cos55^\circ$; $\sin47^\circ42'$; $\tan62^\circ$; $\cot82^\circ27'$.

Câu 39. Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) $\dfrac{\sin39^\circ}{\cos51^\circ}$; b) $\sin47^\circ30'-\cos42^\circ30'$.

c) $\tan73^\circ-\cot17^\circ$; d) $\cot44^\circ\cdot\tan46^\circ$.

Câu 40. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A=\dfrac{\sin35^\circ}{\cos55^\circ}$; b) $B=\dfrac{\tan20^\circ}{\cot70^\circ}$.

Câu 42. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $BH$. Biết $\widehat A=50^\circ$, $BH=2{,}3$. Tính chu vi của tam giác $ABC$.

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 44. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Tính $\sin B$, $\sin C$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a) $AB=13$, $BH=5$; b) $BH=3$, $CH=4$.

Câu 45. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $AH=2$ cm; $BH=1$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Câu 46. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB:AC=3:4$ và đường cao $AH$ bằng $9$ cm. Tính độ dài đoạn thẳng $HC$.

Câu 47. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3$ cm, $\widehat B=60^\circ$. Tính độ dài cạnh đối của $B$.

Câu 48. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Cho biết $CH=6$ cm và $\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Tính độ dài đường cao $AH$.

Câu 49. Cho $\triangle ABC$. Biết $AB=21$ cm, $AC=28$ cm, $BC=35$ cm.

a) Chứng minh $\triangle ABC$ vuông;

b) Tính $\sin B$, $\sin C$.

Câu 53. Các tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn tháp hợp với mặt đất một góc $35^\circ$ và bóng của ngọn tháp trên mặt đất dài $20$ m. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 54. Cho hình vẽ. Biết $AB=9$ cm; $AC=6{,}4$ cm; $AN=3{,}6$ cm; $\widehat{AND}=90^\circ$; $\widehat{DAN}=34^\circ$.

Hãy tính: $CN$, $\widehat{ABN}$, $\widehat{CAN}$, $AD$. (Số đo góc làm tròn đến phút, độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.)

Bản in ghi “Cho hình vẽ” nhưng tệp nguồn không hiển thị hình; các dữ kiện chữ còn lại được giữ nguyên ở trên.

Câu 55. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ACB}=60^\circ$, cạnh $BC=10$ cm. Tia phân giác của góc $BAC$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB$, $F$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AC$.

a) Tứ giác $AEDF$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích tứ giác $AEDF$.

Câu 56. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Vẽ $HE$ vuông góc với $AB$ tại $E$, $HF$ vuông góc với $AC$ tại $F$.

a) Giả sử cho $AB=15$ cm, $BC=25$ cm. Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$, $AH$, $HC$; góc $ABC$ (kết quả làm tròn đến độ).

b) Chứng minh $EA\cdot EB+FA\cdot FC=AH^2$ và $BE=BC\cdot\cos^3B$.

Câu 58. Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, biết $\widehat P=40^\circ$, $MP=7$ cm. Tính độ dài cạnh huyền $PN$ và cạnh góc vuông $MN$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 59. Một học sinh đo được bóng của cột điện trên mặt đất là $4{,}8$ m và góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất khoảng $36^\circ6'$ (như hình vẽ). Tính chiều cao của cột điện đó. (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 60. Bác An đặt một chiếc thang dài $4$ m dựa vào tường sao cho góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất khoảng $68^\circ$ (như hình vẽ). Tính khoảng cách $BH$ từ chân thang đến chân tường. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.)

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 61. Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang dành cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc không quá $\dfrac1{12}$ (Hệ số góc là tang của góc tạo bởi cầu thang với mặt phẳng nằm ngang). Để phù hợp với tiêu chuẩn ấy thì chiều cao tối đa của cầu thang là bao nhiêu khi biết đáy của cầu thang có độ dài $4$ m?

Câu 62. Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}.$

Câu 63. Trong Hình 1, mặt tiền mái nhà có chiều rộng $BC=3$ cm và hai bên mái $AB,AC$ cùng bằng $1{,}8$ m.

a) Tính chiều cao $AH$ của mái nhà.

b) Tính góc $BAC$ tạo bởi hai mép của mái nhà.

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 64. Trong Hình 2, một người đứng từ sân thượng tòa nhà và quan sát một người đi xe máy từ vị trí $C$ đến vị trí $D$.

a) Giải tam giác vuông $ABD$.

b) Tính vận tốc của xe máy, biết thời gian xe đi từ $C$ đến $D$ là $6{,}5$ giây.

(Làm tròn số đo góc đến độ và độ dài đoạn thẳng đến hàng phần mười mét.)

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 65. Một chiếc thang dài $3{,}5$ m. Cần đặt chân thang cách chân tường mộtkhoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là $70^\circ$ (để thang không bị đổ khi sửdụng). Kết quả làm tròn đến dm.

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 66. Bậc cửa nhà bác Nam cao $6$ dm. Để đưa xe máy vào nhà bác cần đặt một chiếc cầu sắt để dắt xe sao cho góc giữa mặt cầu và mặt đất khoảng $30^\circ$. Hỏi mặt cầu dài bao nhiêu cm?

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 67. Lúc 10 giờ sáng, bóng của một cột cờ trên sân đo được dài $12$ m. Tính chiều cao của cột cờ, biết tại thời điểm đó thì tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc khoảng $40^\circ$ (làm tròn đến mét).

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 68. Một chiếc tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước một góc $20^\circ$.

Một lúc sau, tàu ở độ sâu $300$ m so với mặt nước biển. Hỏi tàu đã di chuyển bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)?

Hình kèm theo giữ nguyên các điểm, góc, độ dài và ký hiệu của bản in.

Câu 70. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat B=60^\circ$, $\widehat C=40^\circ$, $BC=25$ cm.

a) Tính đường cao $AH$ và $AC$.

b) Tính diện tích $\triangle ABC$.

Câu 71. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3$ cm, $AC=4$ cm.

a) Giải $\triangle ABC$.

b) Chứng minh rằng $AB\cdot\cos B+AC\cdot\cos C=BC$.

c) Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle ABC$. Từ $H$ kẻ $HM\perp AB$. Chứng minh $BM=BC\cdot\cos^3B$.

Câu 72. Hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$) có $\widehat D=90^\circ$, $\widehat C=38^\circ$, $AB=3{,}5$, $AD=3{,}1$. Tính diện tích hình thang đó.