Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 2 · Toán 11 · THPT Hướng Hóa (Quảng Trị) · 2025-2026

Phần IV - Câu 1. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{2}+2}}$ với $a>0$.

Phần IV - Câu 2. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{a^{\sqrt{5}+1}\cdot a^{2-\sqrt{5}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{2}+2}}$ với $a>0$.

Phần IV - Câu 3. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{a^{\sqrt{7}+1}\cdot a^{2-\sqrt{7}}}{\left(a^{2-\sqrt{3}}\right)^{2+\sqrt{3}}}$ với $a>0$.

Phần IV - Câu 4. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{a^{\sqrt{6}-1}\cdot a^{5-\sqrt{6}}}{\left(a^{3-\sqrt{6}}\right)^{3+\sqrt{6}}}$ với $a>0$.

Phần IV - Câu 5. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{a^{\sqrt{7}+3}\cdot a^{4-\sqrt{7}}}{\left(a^{3+\sqrt{4}}\right)^{3-\sqrt{4}}}$ với $a>0$.

Phần IV - Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $60^\circ$. Tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$.

Phần IV - Câu 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, $SC\perp(ABCD)$ và $SC=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[B,SA,C]$.

Phần IV - Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$. Tính góc phẳng nhị diện $[A,SC,B]$.

Phần IV - Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2a$ và $A'B=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[B',AC,B]$.

Phần IV - Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a$, $AD=2a$, $AA'=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[A',BD,A]$.

Phần IV - Câu 11. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc phẳng nhị diện $[M,BD,A]$.

Phần IV - Câu 12. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ cân tại $A$, góc $BAC$ bằng $120^\circ$ và $AB=2a$. Hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$, biết $AA'=a\sqrt{2}$. a) Chứng minh $A'A\perp BC$. b) Tính góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Phần IV - Câu 13. Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB\perp(BCD)$, các tam giác $BCD$ và $ACD$ là những tam giác nhọn. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $BCD$, $ACD$. Chứng minh rằng: a) $AD\perp CH$. b) $HK\perp(ACD)$.

Phần IV - Câu 14. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và các cạnh đều bằng $a$. a) Chứng minh rằng $SO\perp BC$. b) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $OM$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin\alpha$.

Phần IV - Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$ và $SD$. Chứng minh rằng: a) $SA\perp BD$. b) $(SAC)\perp(AHK)$.

Phần IV - Câu 16. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. a) Chứng minh $DC'\perp(A'D'CB)$. b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng $(ABCD)$ và mặt phẳng $(A'BD)$.

Phần IV - Câu 17. Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\,m$. Biết bề rộng tấm ván là $1\,m$, bề dài tấm ván là $3{,}5\,m$. Tính góc giữa đường thẳng nối hai đỉnh chéo nhau của tấm ván với mặt phẳng đáy.

Phần IV - Câu 18. Một cái lều có dạng hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên $AA'$ vuông góc với đáy. Cho biết $AB=AC=2{,}4\,m$, $BC=2\,m$, $AA'=3\,m$. a) Tính góc giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$; $A'B'$ và $AC$. b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $ABB'$ trên mặt phẳng $(BB'C'C)$.

Phần IV - Câu 19. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao $98\,m$ và cạnh đáy $180\,m$. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

Phần IV - Câu 20. Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao $6\,m$, hai chân thang cách nhau $80\,cm$, hai ngọn thang cách nhau $60\,cm$. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang, tính gần đúng theo đơn vị độ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Phần IV - Câu 21. Hình 19 minh họa một cánh cửa và khung cửa. Cánh cửa có dạng hình chữ nhật $BCMN$ và khung cửa có dạng hình chữ nhật $ABCD$, ở đó $AB=BN$. Góc mở cửa là góc nhị diện $[A,BC,N]$. Biết chiều rộng $BN$ của cửa là $1{,}2\,m$. Khi góc mở cửa có số đo bằng $60^\circ$ thì khoảng cách giữa $A$ và $N$ bằng bao nhiêu?