Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 2 · Toán 12 · THPT Trần Phú – Hoàn Kiếm (Hà Nội) · 2025-2026, 3 câu miễn phí

Đang làm bài

Đề cương ôn tập Giữa kì 2 · Toán 12 · THPT Trần Phú – Hoàn Kiếm (Hà Nội) · 2025-2026 · THỬ

Câu 1/30·Đã trả lời 0/30

Bản làm thử: 3 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 159 câu.Đăng ký miễn phí

Câu 1

0.04 điểm

Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)=2x+4$ là

2x^2+4x+C

x^2+4x+C

x^2+C

2x^2+C

Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)=(2x-3)^2$ thỏa mãn $F(-1)=-17$ là

\dfrac{(2x-3)^3}{3}+\dfrac43

\dfrac43x^3-6x^2+9x-\dfrac23

\dfrac43x^3-6x^2+9x+\dfrac83

\dfrac43x^3-6x^2+9x+\dfrac23

Tìm nguyên hàm của $f(x)=\dfrac1{5x-2}$ .

\int\dfrac{dx}{5x-2}=\dfrac15\ln|5x-2|+C

\int\dfrac{dx}{5x-2}=\ln|5x-2|+C

\int\dfrac{dx}{5x-2}=-\dfrac12\ln|5x-2|+C

\int\dfrac{dx}{5x-2}=5\ln|5x-2|+C

Biết $\int(\dfrac1{2x}+x^5)\,dx=a\ln|x|+bx^6+C$ với $a,b\in\mathbb Q$ . Tính $a^2+b$ .

Cho $F$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac1{2x-3}$ , biết $F(2)=1$ . Tính $F(3)$ .

Một nguyên hàm của $f(x)=x^{1/3}+2x$ có dạng $F(x)=ax^{4/3}+bx^2$ . Tính $T=4a+b$ . [Đính chính lỗi in của nguồn: nguồn không có phương án $T=4$ ; phương án D được sửa từ $3$ thành $4$ .]

Một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)=\sin x+\dfrac1{\cos^2x}$ thỏa mãn $F(\pi/4)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ là

Biết $F$ là một nguyên hàm của $f(x)=e^{2x}$ và $F(0)=0$ . Tính $F(\ln3)$ .

Một viên đạn bắn thẳng đứng từ mặt đất có vận tốc $v(t)=25-9{,}8t$ (m/s). Độ cao lớn nhất là

Cho $\int_{-1}^{2}f(x)dx=3$ , $\int_{-1}^{2}g(x)dx=-1$ . Tính $I=\int_{-1}^{2}[x+2f(x)-3g(x)]dx$ .

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb R$ . Tính $\int_1^2(2+f(x))dx$ .

Cho $f$ liên tục trên $[-6,11]$ , $\int_{-6}^{11}f(x)dx=8$ và $\int_2^6f(x)dx=3$ . Tính $P=\int_{-6}^{2}f(x)dx+\int_6^{11}f(x)dx$ .

Biết $\int_1^3\dfrac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$ với $a,b,c\in\mathbb Z$ , $c<9$ . Tính $S=a+b+c$ .

Tính $\int_{-2}^{3}|x-1|dx$ .

Cho $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0,\\e^{2x},&x<0.\end{cases}$ Tính $I=\int_{-1}^{2}f(x)dx$ .

Vật chuyển động với vận tốc $v(t)=3t^2+5$ (m/s). Quãng đường từ giây thứ $4$ đến giây thứ $10$ là

Lợi nhuận biên là $P'(x)=-0{,}0004x+9{,}3$ (triệu đồng). Tính độ thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $125$ .

Chất điểm A có $v_A(t)=\dfrac1{120}t^2+\dfrac{58}{45}t$ . Chất điểm B xuất phát chậm hơn A $3$ giây từ trạng thái nghỉ, gia tốc không đổi, và đuổi kịp A sau khi B đi $15$ giây. Vận tốc B lúc đuổi kịp là

Trong $3$ giờ, đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh $I(2,9)$ và đi qua $(0,6)$ . Tính quãng đường.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=-x^3+12x$ và $y=-x^2$ .

Cho $f$ liên tục; đồ thị nằm phía trên $Ox$ trên $[-1,1]$ và phía dưới $Ox$ trên $[1,2]$ . Công thức diện tích đúng là

Diện tích giữa $y=x^3-3x+2$ và $y=-2x^2+2x+8$ trên đoạn giao điểm $[-1,2]$ được tính bởi

Đồ thị đoạn thẳng của $f$ đi qua $(-3,-1),(-1,1),(1,0),(3,4)$ . Tính $\int_{-3}^{3}f(x)dx$ .

Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3$ , $y=-2x+3$ và trục hoành có diện tích

Quay miền giới hạn bởi $y=\sin x$ , $Ox$ , $x=0$ , $x=\pi$ quanh $Ox$ . Thể tích là

Vật thể nằm giữa $x=0$ và $x=3$ ; thiết diện vuông góc $Ox$ tại $x$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{9-x^2}$ . Tính thể tích.

Quay miền giới hạn bởi $y=2x-x^2$ và $y=0$ quanh $Ox$ . Tính thể tích.

Quay miền giới hạn bởi $y=x^2+1$ , $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ quanh $Ox$ . Tính thể tích.

Một cái bát sâu $5$ cm có lòng là khối tròn xoay theo đường sinh $y=\sqrt{2x}+2$ . Dung tích gần nhất là

Lòng chậu là khối tròn xoay theo $y=\sqrt{x+1}$ , bán kính đáy $1$ dm và miệng $2$ dm. Tính dung tích.

Cho $f(x)=\dfrac{3x^5-2x^3+x^2+x+4}{x^3}$ trên $\mathbb R\setminus\{0\}$ .

Khẳng định: $f(x)=3x^2-2+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}+\dfrac4{x^3}$ .

Cho $f(x)=\dfrac{3x^5-2x^3+x^2+x+4}{x^3}$ trên $\mathbb R\setminus\{0\}$ .

Khẳng định: $\int f(x)dx=x^3-2x+\ln|x|-\dfrac1x-\dfrac1{2x^2}+C$ .

Cho $f(x)=\dfrac{3x^5-2x^3+x^2+x+4}{x^3}$ và $F(-1)=0$ .

Khẳng định: $F(x)=x^3-2x+\ln|x|-\dfrac1x-\dfrac1{2x^2}-\dfrac32$ .

Cho $G'=f$ , $G(1)=0$ , $G(-3)-G(3)=2$ .

Khẳng định: Từ $G(-2)=\dfrac ab+\dfrac1{\log_c e}$ suy ra $a+b+c=1093$ .

Cây cà chua cao ban đầu $5$ cm, có tốc độ $v(t)=-0{,}1t^3+t^2$ .

Khẳng định: $h(t)=-\dfrac{t^4}{40}+\dfrac{t^3}{3}$ với $t\ge0$ .

Cây cà chua cao ban đầu $5$ cm, $v(t)=-0{,}1t^3+t^2$ .

Khẳng định: Chiều cao tối đa của cây là $88{,}4$ cm (làm tròn $0{,}1$ cm).

Cây cà chua cao ban đầu $5$ cm, $v(t)=-0{,}1t^3+t^2$ .

Khẳng định: Khi cây phát triển nhanh nhất, chiều cao đạt khoảng $54{,}4$ cm.

Cho $f(x)=|x-1|$ .

Khẳng định: Trên $(1,+\infty)$ , $F(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+2$ là một nguyên hàm.

Cho $f(x)=|x-1|$ .

Khẳng định: Trên $(-\infty,1)$ , $G(x)=\dfrac{x^2}{2}-x-1$ là một nguyên hàm.

Cho $f(x)=|x-1|$ và $F(2)=3$ .

Khẳng định: $F(4)=7$ .

Cho $f(x)=|x-1|$ và $F(0)=1$ .

Khẳng định: $F(-2)+F(4)=4$ .

Cho $f,g$ liên tục, $\int_1^2f=5$ , $\int_1^2g=-\dfrac12$ .

Khẳng định: $\int_1^2(f-g)dx=\dfrac{11}{2}$ .

Cho $f,g$ liên tục và $\int_1^3[g(x)+2x+3]dx=10$ .

Khẳng định: $\int_1^3g(x)dx=3$ .

Cho $f(x)=e^{3x}$ và $F(0)=\dfrac13$ .

Khẳng định: $F(1/3)=e$ .

Cho $f(x)=2x+1$ , $g(x)=x-2$ .

Khẳng định: Nếu $\int_3^5\dfrac{f(x)}{g(x)}dx=a+b\ln c$ thì $a+b+c=11$ .

Lợi nhuận biên $P'(x)=-0{,}0008x+10{,}4$ .

Khẳng định: $P(x)=-0{,}0008x^2+10{,}4x$ .

Lợi nhuận biên $P'(x)=-0{,}0008x+10{,}4$ .

Khẳng định: Lợi nhuận của $50$ sản phẩm đầu tiên là $519$ triệu đồng.

Lợi nhuận biên $P'(x)=-0{,}0008x+10{,}4$ .

Khẳng định: Độ thay đổi lợi nhuận từ $50$ lên $55$ sản phẩm là $49{,}79$ triệu đồng.

Lợi nhuận biên $P'(x)=-0{,}0008x+10{,}4$ .

Khẳng định: Nếu độ tăng lợi nhuận từ $50$ lên $a$ lớn hơn $517$ triệu thì giá trị nhỏ nhất của $a$ là $100$ .

Ô tô có $v(t)=2{,}01t-0{,}025t^2$ , $0\le t\le10$ .

Khẳng định: $s(t)=2{,}01-0{,}05t$ .

Ô tô có $v(t)=2{,}01t-0{,}025t^2$ .

Khẳng định: Quãng đường trong $3$ giây là $8{,}82$ m.

Ô tô có $v(t)=2{,}01t-0{,}025t^2$ .

Khẳng định: Quãng đường đi trong giây thứ $9$ xấp xỉ $15{,}277$ m.

Ô tô có $v(t)=2{,}01t-0{,}025t^2$ .

Khẳng định: Trong $10$ giây đầu, khi vận tốc lớn nhất thì gia tốc là $1{,}51$ m/s².

Hình phẳng giới hạn bởi $y=3^x$ , $y=x$ , $x=0$ , $x=1$ .

Khẳng định: $S=\int_0^1|3^x-x|dx$ .

Hình phẳng giới hạn bởi $y=3^x$ và $y=x$ trên $[0,1]$ .

Khẳng định: $S=\int_0^1(x-3^x)dx$ vì $3^x>x$ .

Hình phẳng giới hạn bởi $y=3^x$ và $y=x$ trên $[0,1]$ .

Khẳng định: $S=\dfrac2{\ln3}-\dfrac12$ .

Đồ thị $f'$ cắt $Ox$ tại $a<b<c$ , với $f'\ge0$ trên $[a,b]$ , $f'\le0$ trên $[b,c]$ .

Khẳng định: Các dấu của $f'$ trên hai đoạn lần lượt là không âm và không dương.

Đồ thị $f'$ cắt $Ox$ tại $a<b<c$ .

Khẳng định: $f$ nghịch biến trên $[a,b]$ và đồng biến trên $[b,c]$ .

Gọi $S_1,S_2$ là diện tích giữa $f'$ và $Ox$ trên $[a,b]$ , $[b,c]$ .

Khẳng định: $S_1=f(a)-f(b)$ và $S_2=f(a)-f(c)$ .

Gọi $S_1,S_2$ là diện tích giữa $f'$ và $Ox$ trên $[a,b]$ , $[b,c]$ .

Khẳng định: $f(b)>f(c)>f(a)$ .

Khối chóp đều đáy vuông cạnh $L$ , cao $h$ ; trục $Ox$ đi từ đỉnh đến tâm đáy.

Khẳng định: Đáy nằm trên mặt phẳng song song với trục $Ox$ .

Khối chóp đều đáy vuông cạnh $L$ , cao $h$ .

Khẳng định: Mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại hoành độ $x$ cắt khối chóp theo hình vuông cạnh $a$ .

Khối chóp đều đáy vuông cạnh $L$ , cao $h$ .

Khẳng định: Diện tích thiết diện là $S(x)=\dfrac{L}{h}x^2$ .

Khối chóp đều đáy vuông cạnh $L$ , cao $h$ .

Khẳng định: Thể tích khối chóp là $V=\dfrac13L^2h$ .

Giọt nước tròn xoay có đường sinh từng đoạn như hình nguồn.

Khẳng định: $f$ liên tục tại $x=0{,}6$ .

Giọt nước tròn xoay có đường sinh $f$ trên $[-2,4{,}6]$ .

Khẳng định: Diện tích thiết diện qua trục là $S=2\int_{-2}^{4,6}f(x)dx$ cm².

Giọt nước tròn xoay có đường sinh $f$ trên $[-2,4{,}6]$ .

Giọt nước có khối lượng riêng $2{,}6$ g/cm³.

Khẳng định: Khối lượng giọt nước là $102{,}22$ g (làm tròn $0{,}01$ g).

Nếu $F'(x)=\dfrac1{2x}$ và $F(1)=1$ thì $F(4)$ bằng bao nhiêu? Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Cho $f,g$ liên tục trên $\mathbb R$ . Biết $\int_2^7[2f(x)+3g(x)]\,dx=1$ và $\int_2^7[f(x)-2g(x)]\,dx=4$ . Tính $\int_2^7f(x)\,dx-3\int_7^2g(x)\,dx$ .

Cho $f(x)=\begin{cases}x^2-1,&x\ge2,\\x^2-2x+3,&x<2.\end{cases}$ Tính $I=\dfrac12\int_1^3f(x)\,dx$ . Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Cho $f$ xác định trên $\mathbb R\setminus\{0\}$ , thỏa mãn $f'(x)=\dfrac{x+1}{x^2}$ , $f(-2)=\dfrac32$ và $f(2)=2\ln2-\dfrac32$ . Tính $f(-1)+f(4)$ , viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=e^{x^2}x^3-4x$ . Hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=2^x+3x^2$ và $F(1)=\dfrac2{\ln2}$ . Tính $F(2)$ , làm tròn đến hàng phần mười.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40$ cm được thiết kế như hình, với các đường cong $y=\dfrac1{20}x^2$ và $y=\sqrt{20x}$ . Tính diện tích phần tô đậm.

Một chiếc xe chuyển động theo đồ thị vận tốc đường gấp khúc trên hệ trục $Otv$ như hình. Mỗi đơn vị trên $Ot$ ứng với $1$ phút và mỗi đơn vị trên $Ov$ ứng với $0{,}4$ km/phút. Tính quãng đường xe đi trong $7$ phút.

Cho $f(x),g(x)$ lần lượt là hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình. Biết diện tích hình $S$ tô màu bằng $\dfrac{250}{81}$ . Tính $\int_0^2f(x)\,dx$ , làm tròn đến một chữ số thập phân.

Một vật chuyển động trong $3$ giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) như hình. Trong giờ đầu, đồ thị là một phần parabol có đỉnh $I(2;9)$ ; hai giờ còn lại là đoạn thẳng song song trục hoành. Tính quãng đường vật đi trong $3$ giờ, làm tròn đến hàng phần trăm.

Một cổng hình parabol có $GH=4$ m, $AB=4$ m, $AC=BD=0{,}9$ m. Hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá $1\,300\,000$ đồng/m $^2$ ; phần để trắng trang trí hoa có giá $800\,000$ đồng/m $^2$ . Tính tổng chi phí.

Một sân bóng đá mini hình chữ nhật rộng $30$ m, dài $50$ m được chia thành phần tô màu và không tô màu như hình. Phần tô màu gồm hai miền bằng nhau, đường cong $AIB$ là parabol đỉnh $I$ ; cỏ phần tô màu giá $160$ nghìn đồng/m $^2$ , phần còn lại giá $120$ nghìn đồng/m $^2$ . Tính tổng số tiền, đơn vị triệu đồng.

Một mô hình đường hầm dài $5$ cm. Thiết diện vuông góc mặt đáy là parabol có cạnh đáy gấp đôi chiều cao; chiều cao thiết diện tại vị trí cách lối vào lớn hơn một đoạn $x$ là $y=3-\dfrac25x$ cm. Tính thể tích bên trong, làm tròn đến hàng đơn vị.

Một dầm cầu dài theo phương vuông góc mặt cắt $2$ m; biên dưới gồm hai nhánh $y=\dfrac13\sqrt{5+x}$ trên $[-5;0]$ và $y=\dfrac13\sqrt{5-x}$ trên $[0;5]$ , hai đầu ở $x=\pm5{,}5$ , biên trên $y=1$ . Mỗi mét khối bê tông nặng $2500$ kg. Tính khối lượng dầm theo tấn, làm tròn đến hàng phần mười.

Mặt phẳng $(P):2x-3y+4z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Vectơ nào là pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ ?

Mặt phẳng $x+y+z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng $2x+3y+z+2=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng $\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac z3=1$ có một vectơ pháp tuyến là

Điểm nào thuộc $(P):x+y-z+1=0$ ?

Điểm nào thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?

Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ là

Mặt phẳng qua $A(1,2,-3)$ có pháp tuyến $(2,-1,3)$ là

Mặt phẳng qua $A(1,-2,3)$ vuông góc với vectơ $(-1,2,3)$ là

Qua $A(0,-3,2)$ và song song với $(P):2x-y+3z+5=0$ là mặt phẳng

Mặt phẳng qua $A(0,1,1)$ và vuông góc đường thẳng $AB$ , $B(1,2,3)$ , là

Qua $A(-1,1,1)$ và vuông góc $BC$ với $B(2,1,0)$ , $C(1,-1,2)$ là

Mặt phẳng trung trực của $AB$ với $A(-1,2,0)$ , $B(3,0,2)$ là

Mặt phẳng qua $M(2,-1,4)$ song song $(P):3x-2y+z+1=0$ là

Mặt phẳng qua $A(3,0,0)$ , $B(0,1,0)$ , $C(0,0,-2)$ là

Mặt phẳng qua $A(0,2,1)$ , $B(3,0,1)$ , $C(1,0,0)$ là

Mặt phẳng qua $A(1,0,1)$ , $B(-1,2,2)$ và song song $CD$ với $C(3,1,1)$ , $D(4,1,1)$ là

Qua $A(1,2,-1)$ , $B(-1,0,1)$ và vuông góc $(P):x+2y-z+1=0$ là

Mặt phẳng qua O và vuông góc cả $3x-2y+2z+7=0$ và $5x-4y+3z+1=0$ là

[Đính chính lỗi in của nguồn: phương án A được sửa từ $2x-y-2z=0$ thành $2x+y-2z=0$ .]

Mặt phẳng Q song song $x+2y-2z+1=0$ và cách $M(1,-2,1)$ một khoảng 3 là

[Đính chính lỗi in của nguồn: phương án D được sửa thành cặp hằng số $+14$ và $-4$ .]

Qua $B(1,-1,0)$ , $C(2,-1,-1)$ và cách $M(-2,1,3)$ một khoảng $\sqrt2$ là

Mặt phẳng qua $A(2,3,5)$ và chứa trục $Ox$ là

Khoảng cách từ $A(1,-2,3)$ đến $(P):3x+4y+2z+4=0$ là

Góc giữa $x+y-z-11=0$ và $2x+2y-2z+7=0$ bằng

Mặt phẳng $2x+y+z-2=0$ song song với mặt phẳng nào?

Cho $(P):mx+(m-1)y+z-10=0$ , $(Q):2x+y-2z+3=0$ . Giá trị $m$ để hai mặt phẳng vuông góc là

Cho $A(0,3,1)$ , $B(1,0,-1)$ , $C(-2,1,1)$ ; $(P)$ qua $A,B,C$ .

Khẳng định: Trọng tâm là $G(-1/3,4/3,1/3)$ .

Cho $A(0,3,1)$ , $B(1,0,-1)$ , $C(-2,1,1)$ .

Khẳng định: Mặt phẳng qua A và vuông góc BC là $3x-y-2z-5=0$ .

Cho $(P)$ qua $A(0,3,1),B(1,0,-1),C(-2,1,1)$ .

Khẳng định: $(1,-2,2)$ là một pháp tuyến của $(P)$ .

Cho $(P)$ qua $A(0,3,1),B(1,0,-1),C(-2,1,1)$ .

Khẳng định: $(P)$ đi qua $M(-2,5,3)$ .

Cho $A(1,3,4)$ , $B(2,-1,5)$ , $(Q):2x-3y+z+1=0$ .

Khẳng định: $(-4,6,-2)$ là một pháp tuyến của Q.

Cho $A(1,3,4)$ , $B(2,-1,5)$ .

Khẳng định: Trung điểm AB là $(3/2,1,9/2)$ .

Qua $A(1,3,4)$ và song song $(Q):2x-3y+z+1=0$ .

Khẳng định: Mặt phẳng là $-2x+3y-z+3=0$ .

Mặt phẳng qua $A(1,3,4)$ , $B(2,-1,5)$ và vuông góc Q.

Khẳng định: Phương trình là $-x+y+5z-22=0$ .

Cho $A(1,2,5)$ , $(α):x+2y+2z-6=0$ .

Khẳng định: $(1,2,2)$ là pháp tuyến của α.

Qua A và song song α.

Khẳng định: Mặt phẳng β có phương trình $x+2y+2z+15=0$ .

Qua O,A và vuông góc α.

Khẳng định: Mặt phẳng γ có phương trình $2x-y=0$ .

Đường thẳng AO cắt α tại M.

Khẳng định: $M=(2/5,4/5,2)$ .

Cho $A(1,2,-2)$ , $B(2,1,2)$ , $C(3,-2,1)$ .

Khẳng định: $AB\times AC$ là một pháp tuyến của mặt phẳng ABC.

Cho $A(1,2,-2)$ , $B(2,1,2)$ , $C(3,-2,1)$ .

Khẳng định: Mặt phẳng ABC là $13x+5y-2z+27=0$ .

Qua $A(1,2,-2)$ và nhận $BC$ làm pháp tuyến.

Khẳng định: Phương trình có dạng $(x+1)-3(y+2)-(z-2)=0$ .

E,F,K là hình chiếu của $A(1,2,-2)$ lên các trục.

Khẳng định: Mặt phẳng EFK là $x+y/2-z/2=1$ .

Cho $A(1,2,1)$ , $B(-2,1,3)$ , $C(2,-1,1)$ , $D(0,3,1)$ .

Khẳng định: Mặt phẳng ABC là $3x+y+5z-10=0$ .

Mặt phẳng chứa AB và song song CD.

Khẳng định: Một pháp tuyến là $(4,-2,7)$ .

Xét các mặt phẳng qua A,B và cách đều C,D.

Khẳng định: Có đúng hai mặt phẳng như vậy và cả hai qua $M(1,2,1)$ .

Tòa nhà có $B(4k,3k,2k)$ , $k>0$ , và B thuộc $z=3$ .

Khẳng định: $B=(6,4{,}5,3)$ .

Mặt phẳng CBEF là $z-3=0$ .

Khẳng định: $(0,1,-3)$ là một pháp tuyến.

Với O,A,B,C của mô hình tòa nhà.

Khẳng định: Mặt phẳng AOBC là $2y-3z=0$ .

Với D,O,B,E của mô hình tòa nhà.

Khẳng định: $(2,0,-1)$ là một pháp tuyến của DOBE.

Hình chóp đáy vuông cạnh 2 với hệ trục như hình.

Khẳng định: $C=(1,2,0)$ .

Hình chóp có $S=(0,0,2)$ và đáy như hình.

Khẳng định: Trọng tâm tam giác SCD là $(0,2/3,2/3)$ .

Hình chóp với tọa độ như hình.

Khẳng định: Mặt phẳng SBD là $2x+2y+z-2=0$ .

Hình chóp với C và mặt phẳng SBD.

Khẳng định: $d(C,(SBD))=2/3$ .

Cho $(P):x+2y-2z-3=0$ , $(Q):x+2y-2z+9=0$ .

Khẳng định: P đi qua $M(1,2,1)$ .

Cho P,Q như trên.

Khẳng định: $d(O,Q)=3$ .

Khẳng định: Mặt phẳng cách đều chúng là $x+2y-2z+3=0$ .

Lập phương cạnh 2 với $A(0,0,0),B(2,0,0),B'(2,0,2),D'(0,2,2)$ .

Khẳng định: Mặt phẳng $A'BD$ là $x+y+z=2$ .

Trong hình lập phương trên.

Khẳng định: $AC'$ là một pháp tuyến của $A'BD$ .

Trong hình lập phương, M là trung điểm $BB'$ .

Khẳng định: $d(C,(A'MD))=4/3$ .

Trong hình lập phương trên.

Khẳng định: $K(4,4,-2)$ thuộc mặt phẳng $(A'MC)$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(2;0;1)$ và hai vectơ $\vec a=(1;-3;2)$ , $\vec b=(-1;-1;2)$ . Mặt phẳng $(Q)$ chứa $A$ và nhận $\vec a,\vec b$ làm cặp vectơ chỉ phương có phương trình $ax+by+cz-3=0$ . Tính $a+b+c$ .

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;-2)$ , $B(-3;1;1)$ , $C(5;5;-5)$ có dạng $ax+by+cz+5=0$ . Tính $a+b+c$ .

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $x+2y-2z-7=0$ và cách điểm $A(2;-3;4)$ một khoảng bằng $3$ . Tính tích hai hệ số tự do của hai phương trình tổng quát có thể có của $(P)$ , biết hoành độ của vectơ pháp tuyến của $(P)$ bằng $1$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(-1;2;0)$ , $B(1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-5=0$ . Mặt phẳng đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình $2x-ay-bz+c=0$ . Tính $a+2b+3c$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;2;3)$ , $B(3;4;4)$ . Tìm $m$ để khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $2x+y+mz-1=0$ bằng độ dài $AB$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;2;3)$ , $B(5;-4;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ đi qua $Ox$ sao cho $d(B,(P))=2d(A,(P))$ . Mặt phẳng $(P)$ cắt $AB$ tại $I(a;b;c)$ nằm giữa $A,B$ . Tính $a+b+c$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho $(P):3x+4y-12z+5=0$ và $A(2;4;-1)$ . Lấy $M$ trên $(P)$ . Gọi $B$ sao cho $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$ . Tính khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ .

Cho $A(3;-1;2)$ , $B(2;3;-3)$ , $C(-2;1;-2)$ và mặt phẳng $(Oyz)$ . Gọi $M(a;b;c)\in(Oyz)$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Tính $a-2b+c$ .

Trong không gian $Oxyz$ , một tấm pin nằm trên $(P):6x+5y+z+2=0$ ; tấm pin khác nằm trên $(Q)$ đi qua $M(1;1;1)$ và song song với $(P)$ . Phương trình $(Q)$ có dạng $ax+by+cz-12=0$ . Tính $a+b+c$ .

Hai học sinh chuyền bóng. Quả bóng lệch sang phải và rơi tại vị trí cách bạn nam $3$ m, cách bạn nữ $5$ m như hình. Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất; $(P)$ có dạng $ax+3y=0$ . Tìm $a$ .

Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , tính góc giữa mặt phẳng nghiêng $(P):4x+11z+5=0$ và mặt sàn $(Q):z-1=0$ . Làm tròn đến hàng đơn vị của độ.

Một ngôi nhà được mô hình hóa trong không gian $Oxyz$ như hình với $O(0;0;0)$ , $A(6;0;0)$ , $C(0;4;0)$ , $D(0;0;4)$ , $E(6;0;4)$ , $M(6;2;6)$ , $N(0;2;6)$ . Khoảng cách từ điểm $B$ đến mái nhà $(DEMN)$ bằng $a\sqrt2$ . Tìm $a$ .