Làm thử Phiếu ôn tập Giữa kì 2 · Toán 8 · THCS Mỹ Đình 2 (Hà Nội) · 2025–2026

Dạng I · Bài 1. Rút gọn các phân thức: a) $\dfrac{3x(1-x)}{2(x-1)}$; b) $\dfrac{3(x-y)(x-z)^2}{6(x-y)(x-z)}$; c) $\dfrac{x^2-16}{4x-x^2}$.

Dạng I · Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị: a) $A=\dfrac{(2x^2+2x)(x-2)^2}{(x^3-4x)(x+1)}$ với $x=\dfrac12$; b) $B=\dfrac{x^3-x^2y+xy^2}{x^3+y^3}$ với $x=-5$, $y=10$.

Dạng I · Bài 3. Thực hiện các phép tính: a) $\dfrac1{1-x}+\dfrac{2x}{x^2-1}$; b) $\dfrac3{2x+6}-\dfrac{x-6}{2x^2+6x}$; c) $\dfrac1{xy-x^2}-\dfrac1{y^2-xy}$; d) $\dfrac{5x+10}{4x-8}\cdot\dfrac{4-2x}{x+2}$; e) $\dfrac{1-4x^2}{x^2+4x}:\dfrac{2-4x}{3x}$; f) $\dfrac{5x-15}{4x+4}:\dfrac{x^2-9}{x^2+2x+1}$; g) $\dfrac{2x}{x^2+2xy}-\dfrac y{xy-2y^2}+\dfrac4{x^2-4y^2}$; h) $\left(\dfrac{3x}{1-3x}+\dfrac{2x}{3x+1}\right):\dfrac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}$.

Dạng II · Bài 1. Cho $A=\dfrac4{x+1}-1$ và $B=\dfrac{9-x^2}{x^2+2x+1}$ với $x\ne\pm3$, $x\ne-1$. a) Tính $A$ khi $x=1$. b) Rút gọn $P=\dfrac AB$. c) Tìm $x$ nguyên để $P$ nhận giá trị nguyên.

Dạng II · Bài 2. Cho $P=\dfrac{x^2+2x}{2x+10}+\dfrac{x-5}{x}+\dfrac{50-5x}{2x(x+5)}$. a) Tìm điều kiện xác định. b) Rút gọn $P$. c) Tìm $x$ để $P=0$; $P=\dfrac14$. d) Tìm $x$ để $P>0$; $P<0$.

Dạng II · Bài 3. Cho $P=\dfrac{x+2}{x+3}-\dfrac5{x^2+x-6}+\dfrac1{2-x}$. a) Tìm điều kiện xác định. b) Rút gọn $P$. c) Tìm $x$ để $P=-\dfrac34$. d) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ có giá trị nguyên dương.

Dạng II · Bài 4. Cho $A=\dfrac{x-1}{x^2}$ và $B=\dfrac1x-\dfrac{x}{2x+1}+\dfrac{2x^2-3x-1}{x(2x+1)}$ với $x\ne0$, $x\ne-\dfrac12$, $x\ne1$. a) Tính $A$ tại $x=3$. b) Rút gọn $B$. c) Đặt $C=A:B$. Chứng minh $C\ge-1$.

Dạng II · Bài 5. Cho $A=\dfrac{x}{x-4}$ và $B=\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac4{1-x^2}$ với $x\ne1$, $x\ne-1$, $x\ne4$. a) Tính $A$ khi $x=2$. b) Chứng minh $B=\dfrac{x-4}{x+1}$. c) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P=A\cdot B$ là số nguyên.

Dạng II · Bài 6. Cho $A=\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x-1}{x+2}+\dfrac{x^2+4x}{4-x^2}$ với $x\ne\pm2$. a) Rút gọn $A$. b) Tính $A$ khi $x=4$. c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Dạng III · Bài 1. Để đo chiều rộng khúc sông $AB$, người ta dựng các điểm $C,D,E$ như hình, biết $BC=80$ m, $DE=27$ m, $CD=37$ m. Tính chiều rộng $AB$ của khúc sông, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Dạng III · Bài 2. Một cột điện $AB$ có bóng trên mặt đất dài $5$ m; cùng lúc đó một cây cọc $DE$ cao $1$ m có bóng $DF$ dài $0{,}7$ m. Tính chiều cao cột điện, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Dạng III · Bài 3. Bóng của cột cờ trong sân trường trên mặt đất có độ dài $AC=6{,}4$ m. Biết chiều cao cột cờ $AB=12$ m. Tính khoảng cách $BC$ từ đỉnh cột cờ đến đỉnh bóng.

Dạng IV · Bài 1. Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB<AC$), đường cao $AH$. Từ $H$ vẽ $HE\perp AB$ tại $E$, $HF\perp AC$ tại $F$. a) Chứng minh $\triangle AEH\sim\triangle AHB$. b) Chứng minh $AH^2=AE\cdot AB$. c) Chứng minh $AH^2=AF\cdot AC$. d) Chứng minh $HF^2=AF\cdot CF$.

Dạng IV · Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H\in BC$), biết $BH=4$ cm, $CH=9$ cm. a) Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle HBA$, suy ra $AB^2=BH\cdot BC$. b) Tính $AB,AC$. c) Đường phân giác $BD$ cắt $AH$ tại $E$ ($D\in AC$). Chứng minh $\dfrac{EA}{EH}=\dfrac{DC}{DA}$.

Dạng IV · Bài 3. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. a) Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle HAC$. b) Chứng minh $\triangle AHB\sim\triangle CHA$. c) Từ $H$ kẻ $HK\perp AC$ tại $K$. Chứng minh $\triangle AKH\sim\triangle AHC$. d) Chứng minh $HB\cdot HC=AK\cdot AC$.

Dạng IV · Bài 4. Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB<AC$). Vẽ các đường cao $AH,BK$ cắt nhau tại $I$. a) Chứng minh $\triangle BKC\sim\triangle AHC$. b) Chứng minh $BK\cdot AC=AH\cdot BC$. c) Chứng minh $AK\cdot AC=AI\cdot AH$. d) Chứng minh $BI\cdot BK=BH\cdot BC$.

Dạng IV · Bài 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $D$ nằm giữa $B,C$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $AD$. a) Chứng minh $\triangle ABD\sim\triangle CHD$, suy ra $AD\cdot DH=BD\cdot CD$. b) Chứng minh $\triangle BDH\sim\triangle ADC$. c) Hạ $DE\perp AC$ tại $E$. Chứng minh $AD\cdot AH+CB\cdot CD=AC^2$. d) Khi $\widehat{ADC}=120^\circ$, so sánh $S_{BDH}$ và $S_{ADC}$.

Dạng IV · Bài 6. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. a) Chứng minh $\triangle ABH\sim\triangle CBA$. b) Gọi $E$ tùy ý trên $AB$; đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $HE$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $AE\cdot CH=AH\cdot FC$. c) Tìm vị trí $E$ trên $AB$ để tam giác $EHF$ có diện tích nhỏ nhất.

Dạng IV · Bài 7. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, đường cao $BD$ ($D\in AC$). Kẻ $DE\perp BC$ tại $E$. a) Chứng minh $\triangle BDE\sim\triangle BCD$. b) Kẻ $DF\perp AB$ tại $F$. Chứng minh $BD^2=BF\cdot BA$. c) Chứng minh $\widehat{BFE}=\widehat{BCA}$. d) Vẽ $CG\perp AB$ tại $G$. Đoạn $EF$ cắt $GD$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm $GD$.

Dạng IV · Bài 8. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Vẽ đường cao $AH$ ($H\in BC$). Lấy $D$ sao cho $H$ là trung điểm $BD$. a) Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle HBA$. b) Qua $C$ dựng đường thẳng vuông góc với tia $AD$, cắt $AD$ tại $E$. Chứng minh $AH\cdot CD=CE\cdot HD$. c) Chứng minh $\triangle HDE\sim\triangle ADC$ và $BD\cdot AC=2AD\cdot HE$.

Dạng IV · Bài 9. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB<AC$. Lấy $H$ trên $AC$, $H$ khác $A,C$. Gọi $E$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$. a) Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle EHC$. b) Chứng minh $\widehat{HBC}=\widehat{EAC}$. c) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BH$. Chứng minh $AB\cdot HI=AI\cdot HE$. d) Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $K$. Lấy $M$ thuộc tia đối của tia $KI$ sao cho $KM=KI$. Tìm vị trí $H$ trên $AC$ để diện tích tứ giác $MACB$ gấp $4$ lần diện tích tứ giác $IHCE$.

Dạng IV · Bài 10. Cho tam giác nhọn $ABC$. Trên $AB$ lấy $D$ không trùng $A,B$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song $BC$ cắt $AC$ tại $E$. Qua $C$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $DE$ tại $F$. Nối $BF$ cắt $AC$ tại $H$. a) Chứng minh $\triangle ABC\sim\triangle CFE$. b) Chứng minh $\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{EF}{DF}$. c) Qua $E$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $AF$ tại $I$. Chứng minh $\dfrac1{IE}=\dfrac1{AD}+\dfrac1{CF}$.

Dạng V · Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$ không âm, ta có $\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$.

Dạng V · Bài 2. a) Tìm giá trị lớn nhất của $A=\dfrac{2x^2-4x+7}{x^2-2x+2}$. b) Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}=2024$. Tính $P=\dfrac{y^2}{x+y}+\dfrac{z^2}{y+z}+\dfrac{x^2}{z+x}-2023$.

Dạng V · Bài 3. Mặt bàn hình chữ nhật có đường chéo $60$ cm. Chọn kích thước mặt bàn để diện tích lớn nhất; làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Dạng V · Bài 4. Một cửa hàng bán $1000$ sản phẩm mỗi năm. Mỗi lần đặt hàng tốn $50$ USD; chi phí lưu kho là $2$ USD cho mỗi sản phẩm mỗi năm. Mỗi lần nên đặt bao nhiêu sản phẩm để tổng chi phí đặt hàng và lưu kho thấp nhất?

Dạng V · Bài 5. Một công ty nhận đơn sản xuất $10,000$ quả bóng. Mỗi máy giống nhau sản xuất $40$ quả/giờ; chi phí thiết lập một máy là $200$ nghìn đồng và một kỹ thuật viên giám sát toàn bộ máy có chi phí $180$ nghìn đồng/giờ. Công ty nên dùng bao nhiêu máy để chi phí sản xuất thấp nhất?

Dạng V · Bài 6. Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loài cá ở góc hồ. Lưới là một đường thẳng nối bờ ngang với bờ dọc và đi qua cọc $A$. Khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là $5$ m, đến bờ dọc là $12$ m. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu?

Dạng V · Bài 7. Một trang tạp chí cần diện tích in chữ $384$ cm². Lề trên và dưới đều $3$ cm; lề trái và phải đều $2$ cm. Tìm chiều ngang và chiều dọc của trang để diện tích giấy nhỏ nhất.