Làm thử Đề cương ôn tập giữa học kỳ II · Toán 9 · THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) · 2025-2026

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2025 – 2026)

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ và $B=\dfrac{x+\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$ với $x>0$, $x\ne4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$.

c) Tìm số nguyên dương $x$ lớn nhất để $\dfrac{A}{B}<\dfrac12$.

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2024 – 2025)

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{x}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\dfrac{2x-3}{x-3\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0$, $x\ne9$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$.

c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $A-B<0$.

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2023 – 2024)

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{x+2}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3-\sqrt{x}}{x-1}$ với $x>0$, $x\ne1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$.

c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $A\cdot B=4$.

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2022 – 2023)

Cho các biểu thức $A=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\dfrac{x+4}{x-4}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge0$, $x\ne4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

c) Tìm số nguyên dương $x$ lớn nhất thỏa mãn $A-B<\dfrac32$.

(Đề minh họa thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2024 – 2025)

Cho các biểu thức $A=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}+3}{4-x}$ với $x>0$, $x\ne4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{x-4}$.

c) Xét biểu thức $P=A\cdot B$. Chứng minh $P<P^2$.

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{2\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$ và $B=\left(\dfrac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge0$, $x\ne25$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Tìm $x$ để $A+B$ nhận giá trị nguyên.

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+x}$ với $x>0$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Cho $P=A\cdot B$. Tìm $x\in\mathbb{N}$ để $P$ đạt giá trị lớn nhất.

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2023 – 2024)

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi, theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2022 – 2023)

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm A và đi đến địa điểm B. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng đường AB dài 60 km, tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đổi trên toàn bộ quãng đường AB).

(Đề thi vào lớp 10 Sở GD Hà Nội năm học 2021 – 2022)

Một tổ sản xuất phải làm xong 4 800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4 800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).

Bác An đến siêu thị mua một cái máy sấy tóc và một chiếc quạt điện với tổng số tiền theo niêm yết giá là 850 000 đồng. Nhưng gặp ngày siêu thị khuyến mãi nên giá bán của máy sấy tóc giảm 10%, còn quạt điện giảm 20% so với giá niêm yết. Do đó, bác An đã trả ít hơn 125 000 đồng khi mua hai sản phẩm trên. Tính giá niêm yết của máy sấy tóc và quạt điện?

Cửa hàng nhà bác Nghĩa chuyên kinh doanh máy tính loại ASUS tại Hà Nội. Giá nhập vào một chiếc là 18 triệu đồng và bán ra với giá 22 triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là 500 chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Nghĩa dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm 200 nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng 50 chiếc. Vậy bác Nghĩa phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?

Trong cuộc thi "Đố vui để học", mỗi thí sinh phải trả lời 12 câu hỏi của ban tổ chức. Mỗi câu hỏi gồm 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm, trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Khi bắt đầu cuộc thi, mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm. Thí sinh nào đạt từ 50 điểm trở lên thì sẽ được vào vòng thi tiếp theo. Hỏi thí sinh phải trả lời đúng ít nhất được bao nhiêu câu thì được vào vòng thi tiếp theo?

Một hình lập phương có độ dài cạnh $a$ cm.

a) Viết công thức tính diện tích toàn phần $S$ (cm$^2$) theo $a$.

b) Tính thể tích của hình lập phương có diện tích toàn phần là $96$ cm$^2$.

Lực $F$ (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ $v$ (m/s) theo công thức $F=av^2$, trong đó $a$ là một hằng số. Biết khi tốc độ gió là $20$ m/s thì lực tác động lên cánh buồm bằng $12\,000$ N.

a) Tính hằng số $a$.

b) Khi tốc độ gió là $v=15$ m/s thì lực $F$ của gió tác động lên cánh buồm là bao nhiêu?

c) Cánh buồm chỉ chịu được lực tác động tối đa là $16\,000$ N. Con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ gió là $90$ km/h được không? Vì sao?

Cho phương trình $x^2-2(m-3)x+m^2-3=0$ (1), với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình (1) với $m=1$.

b) Tìm $m$ để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-2m+1=0$, với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m=-2$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=5$.

Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m=0$ (1), với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{x_1+x_2-2}.$

Cho phương trình $x^2-(2m+1)x+2m-4=0$, với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc $m$.

c) Tìm giá trị của $m$ để phương trình:

i) Có hai nghiệm cùng dương.

ii) Có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

d) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn một trong các điều kiện:

i) $x_1=3x_2$; ii) $|x_1-x_2|=4$; iii) $|x_1|+|x_2|=5$.

Cho phương trình $x^2+(m+2)x-m-4=0$, với tham số $m$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x_1<0\le x_2$.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ đều là số nguyên.

Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0$ (1), với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi $m$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt5$.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2$.

a) Một con tán long đền tròn như hình bên. Biết bán kính ngoài $R=20$ mm và bán kính trong $r=10{,}5$ mm. Tính diện tích hình vành khuyên của con tán long đền. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

b) Một chiếc quạt gấp như hình vẽ. Biết chiều dài từ chốt giữ nan đến đầu mút của nan dài $20$ cm và khi quạt người ta mở quạt tối đa tạo thành một góc $160^\circ$. Tính độ dài cung tròn của quạt lúc này.

c) Hình vẽ bên mô tả một mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là $3$ dm và $5$ dm. Hỏi mảnh vải ấy có diện tích là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh $AEHF$, $BCEF$ là các tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh tứ giác $BHCM$ là hình bình hành và $AB\cdot AC=AM\cdot AD$.

c) Cho $BC$ cố định, $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho $ABC$ có ba góc nhọn; $BE$ cắt $(O)$ tại $I$, $CF$ cắt $(O)$ tại $J$. Chứng minh đoạn $IJ$ có độ dài không đổi.

Cho đường tròn tâm $O$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

b) Kẻ cát tuyến $AMN$ của $(O)$ sao cho $M$ nằm giữa $A$ và $N$, tia $AN$ nằm giữa hai tia $AO$ và $AC$. Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Chứng minh $AC^2=AM\cdot AN$.

c) Gọi $D$ là trung điểm của $MN$. Tia $CD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $E$. Chứng minh $OD\perp BE$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $BC$. Chứng minh $\dfrac{1}{S_{\triangle ABM}}+\dfrac{1}{S_{\triangle ABN}}=\dfrac{2}{S_{\triangle ABI}}.$

Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $C$ khác $B$. Kẻ tiếp tuyến $CD$ với đường tròn $(O)$, trong đó $D$ là tiếp điểm; tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $CD$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $OE$, $K$ là giao điểm thứ hai của $BE$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh tứ giác $AEDB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $\triangle EHK\sim\triangle EBO$.

c) Cho $BC=4$ cm, $CD=\sqrt{32}$ cm. Tính bán kính của đường tròn $(O)$.

d) Đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $O$ cắt $CE$ tại $M$. Chứng minh $\dfrac{AE}{EM}-\dfrac{EM}{CM}=1$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$. Vẽ đường tròn tâm $O$ có đường kính $BC$, cắt các đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $H$ là giao điểm của $BN$ và $CM$.

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ nội tiếp.

b) Chứng minh $MA\cdot MB=MH\cdot MC$.

c) Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $MN$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$. Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $BN$, cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $\widehat{NDC}=\widehat{EOC}$ và ba điểm $O,E,K$ thẳng hàng.

Cho đường tròn tâm $(O;R)$ và dây $BC$ cố định. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$. Kẻ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn $(O)$, trong đó $M,N$ là các tiếp điểm và $N$ thuộc cung nhỏ $BC$. Gọi $H$ là trung điểm của dây $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,M,O,H$ cùng thuộc một đường tròn.

b) $MN$ cắt $OA$ tại $I$. Chứng minh $AI\cdot AO=AM^2$.

c) Tia $MH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$. Giả sử ba điểm $A,B,C$ cố định, đường tròn $(O)$ di động. Chứng minh $ND\parallel AC$ và đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Cho $a,b,c$ là các số thực làm cho phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: $x^2-2(2a-b)x+5a^2-4ab+2b^2-1=0.$ Chứng minh $a^{2000}+b^{2001}<2$.

Cho một trang giấy, biết phần màu xám trong hình vẽ dưới đây chứa một đoạn văn bản có diện tích $384$ cm$^2$. Biết rằng trang giấy được căn lề trái $2$ cm, lề phải $2$ cm, lề trên $3$ cm và lề dưới $3$ cm. Tìm chiều dài và chiều rộng của trang giấy để trang giấy có diện tích nhỏ nhất.

Để chuẩn bị cho ngày 8/3, bạn An dự định trang trí bảng tin của lớp bằng các họa tiết hình vuông. Để tạo ra các hình vuông, bạn An cắt mỗi đoạn dây dài 45 cm thành 3 đoạn nhỏ. Sau đó, mỗi đoạn nhỏ được uốn lại thành một hình vuông (hình bên dưới). Hỏi phải chia đoạn dây thành 3 phần có độ dài như thế nào để tổng diện tích các hình vuông có giá trị nhỏ nhất?

Trong ngày hội cắm trại hoạt động trải nghiệm, lớp 9A dự định trang trí cổng trại hình tam giác đều ABC có cạnh 4 m. Lớp 9A cần làm cửa ra vào hình chữ nhật MNPQ sao cho đỉnh M và đỉnh N nằm trên cạnh BC, đỉnh P và đỉnh Q theo thứ tự nằm trên cạnh AC và cạnh AB (hình vẽ). Hỏi có thể làm cửa ra vào hình chữ nhật MNPQ với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Bác Nam dự định dành ra một thửa đất có dạng hình chữ nhật trong mảnh đất lớn của gia đình để làm khu chăn nuôi. Bác dự định để phần đất ở giữa dạng hình chữ nhật để làm chuồng nuôi, phần còn lại ốp gạch làm lối đi (như hình bên). Biết tổng diện tích chuồng nuôi và lối đi là 864 m². Hỏi bác Nam nên chọn các kích thước của thửa đất là bao nhiêu để diện tích phần chuồng nuôi là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.