Làm thử Đề cương luyện tập giữa học kỳ II · Toán 9 · THCS Thọ Lộc · 2025-2026

Cho parabol $(P):y=x^2$.

a) Vẽ $(P)$.

b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 16.

c) Tìm các điểm trên parabol, khác gốc tọa độ, cách đều hai trục tọa độ.

Cho hàm số $y=ax^2$ có đồ thị $(P)$.

a) Xác định $a$ biết $(P)$ đi qua $A(1;-2)$.

b) Vẽ $(P)$.

c) Tìm điểm thuộc $(P)$ có hoành độ bằng 2.

Cho hàm số $y=ax^2$, $a\ne0$.

1. Xác định $a$ để đồ thị đi qua $A(-1;2)$.

2. Với giá trị vừa tìm được:

a) Vẽ đồ thị.

b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.

c) Tìm các điểm trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.

Cho hàm số $y=(m^2-1)x^2$. Tìm $m$ để:

a) Đồ thị đi qua $A(\tfrac12;2)$.

b) Đồ thị đi qua $(x_0;y_0)$, trong đó $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}3x+2y=3\\2x+y=1.\end{cases}$

c) Vẽ các đồ thị ứng với những giá trị $m$ vừa tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Cho $y=ax^2$, biết đồ thị đi qua $A(2;4)$.

a) Vẽ đồ thị.

b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 8.

c) Tìm $m$ để $B(m;m^3)$ thuộc parabol.

d) Tìm các điểm trên parabol, khác gốc tọa độ, cách đều hai trục tọa độ.

Một hòn đá rơi xuống hang theo công thức $h=4{,}9t^2$ m, với $t$ tính bằng giây.

a) Tính độ sâu của hang nếu hòn đá chạm đáy sau 3 giây.

b) Nếu hang sâu 122,5 m, hòn đá mất bao lâu để chạm đáy?

Quãng đường $y$ mét của ô tô sau $t$ giây được cho bởi $y=at^2$. Xe đi được 225 m sau 5 giây.

a) Xác định $a$.

b) Sau bao lâu xe đi được 3,6 km tính từ vị trí ban đầu?

a) $5x^2-7x=0$; b) $-3x^2+9=0$; c) $-\sqrt3x^2-7x=0$; d) $-\tfrac35x^2-\tfrac72=0$; e) $(x+1)^2=4$; f) $(x-5)^2-11=0$; g) $-x^2-7x-6=0$; h) $x^2-3x+2=0$; i) $9x^2-12x+4=0$; k) $x^2-6x+8=0$.

a) $x^2+\sqrt8x=2$; b) $x^2+2\sqrt2x+2=0$; c) $2x^2+2\sqrt{11}x-7=0$; d) $3x^2-2\sqrt3x+1=0$; e) $\sqrt3x^2-(1-\sqrt3)x-1=0$; f) $-3x^2+4\sqrt6x+4=0$; g) $3x^2-4x=\sqrt2x^2-2$; h) $x^2=\sqrt2x+2\sqrt2$.

Giải các phương trình:

a) $(x+1)^2-4(x^2-2x+1)=0$;

b) $x^2+7x-3=x(x-1)-1$;

c) $2x^2-5x-3=(x+1)(x-1)+3$;

d) $5x^2-x-3=2x(x-1)-1+x^2$.

Cho phương trình $mx^2-2(m+1)x+3=0$. Tìm $m$ để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.

Cho phương trình $(2m-3)x^2-2(m-2)x-1=0$.

a) Giải phương trình khi $m=2$.

b) Chứng minh rằng với mọi $m\in\mathbb R$, phương trình luôn có nghiệm.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Cho phương trình $(m-2)x^2-2(m+1)x+m=0$. Tìm $m$ để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.

Cho phương trình $x^2-2(m-2)x+m^2-3m+5=0$.

a) Giải khi $m=3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm bằng $-4$.

c) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm kép.

Chứng minh rằng với mọi $m$, mỗi phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^2-2(m+2)x-m-7=0$;

b) $x^2-4mx-4m-2=0$.

Cho parabol $(P):y=\dfrac{x^2}{2}$ và đường thẳng $(d):y=x+4$.

a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng hệ trục.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

Cho parabol $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=5x+6$.

a) Vẽ $(P)$.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

Cho $(d):y=2mx+2m-3$ và $(P):y=x^2$.

a) Tìm $m$ để $(d)$ đi qua $A(1;5)$.

b) Tìm $m$ để $(d)$ tiếp xúc với $(P)$.

Cho $(P):y=x^2$ và $(d):y=3mx+1-m^2$.

a) Tìm $m$ để $(d)$ đi qua $A(1;-9)$.

b) Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $x_1+x_2=2x_1x_2$.

Cho $(P):y=2x^2$ và $(d):y=2x+m$. Tìm mọi $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa $(x_1-3)(x_2-3)=5$.

Cho phương trình $x^2+5x-4=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính $Q=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2$.

Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $x^2-5x-1=0$. Không giải phương trình, tính:

a) $A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2$; b) $B=x_1^4+x_2^4$; c) $C=1/x_1^3+1/x_2^3$; d) $D=|x_1-x_2|$.

Cho $x^2-2(m-2)x+2m-5=0$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc $m$.

Cho $x^2+5x+m=0$.

a) Giải khi $m=-3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $9x_1+2x_2=18$.

Cho $x^2-2(m+2)x+m^2+3m-2=0$.

a) Giải khi $m=3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm hai số $x,y$ biết:

a) $x+y=18,xy=77$; b) $x+y=-3,xy=5$; c) $x-y=2\sqrt3,xy=1$; d) $x^2+y^2=34,xy=-15$.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$, biết $\angle BAC=30^\circ$, $\angle BCA=40^\circ$ như hình. Tính $\angle ABC$, $\angle ADC$ và $\angle AOC$.

Dựa vào hình vẽ, tính số đo $\angle BAC$.

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ và điểm $S$ ngoài đường tròn. Các đường thẳng $SA,SB$ cắt lại $(O)$ tại $M,N$. Gọi $H=AN\cap BM$. Chứng minh:

a) $SH\perp AB$.

b) $HM\cdot HB=HN\cdot HA$.

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ cố định. Qua $M$ kẻ hai đường thẳng cắt $(O)$ lần lượt tại $A,B$ và $C,D$. Chứng minh $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=4a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=5a/2$. Tính $AC$ theo $a$.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$ có bán kính 4 dm.

a) Tính diện tích tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có bán kính $R=4a\sqrt3/3$.

a) Tính các cạnh của tam giác theo $a$.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp theo $a$.

Tam giác $ABC$ có $AB=5$ cm, $AC=12$ cm, $BC=13$ cm.

a) Tính diện tích tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, có đường tròn nội tiếp tâm $I$ bán kính $r$. Tính $r$.

Dựa vào hình vẽ, tính các góc của tứ giác nội tiếp $ABCD$, biết $\angle DCx=135^\circ$.

Tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$ và phân giác trong $AD$ của $\angle HAC$. Phân giác trong của $\angle ABC$ cắt $AH,AD$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh $MHDN$ là tứ giác nội tiếp.

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, dây $CD\perp AB$ tại $F$. Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, $M\ne B,C$; $AM$ cắt $CD$ tại $E$.

a) Chứng minh $BMEF$ nội tiếp.

b) Chứng minh tia $MA$ là phân giác $\angle EMD$.

c) Chứng minh $AC^2=AE\cdot AM$.

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Dây $MN\perp AB$, $AM<BM$. Hai đường thẳng $BM,NA$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $K$ đến $AB$.

a) Chứng minh $AHKM$ nội tiếp.

b) Chứng minh $NB\cdot HK=AN\cdot HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$. Từ $D\in BC$, kẻ đường thẳng vuông góc $BC$ cắt $AC$ tại $F$ và cắt tia đối của $AB$ tại $E$. Gọi $H=BF\cap CE$, tia $HD$ cắt $(O)$ tại $K$.

a) Chứng minh $AECD$ nội tiếp.

b) Chứng minh $BF\cdot BH=BD\cdot BC$ và $AK\perp BC$.

c) Gọi $I$ là trung điểm $EF$. Chứng minh $OI\perp AH$.

Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh $AD$ như hình. Tính các góc của tam giác $ABC$.

Cho ngũ giác đều $ABCDE$, gọi $I=AD\cap BE$. Chứng minh:

a) $DIBC$ là hình bình hành.

b) $DI^2=AI\cdot AD$.

Đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình vuông $ABCD$, tiếp điểm trên $AB$ là $M$. Một tiếp tuyến với $(O)$ cắt $BC,CD$ lần lượt tại $E,F$. Chứng minh:

a) $\triangle DFO\sim\triangle BOE$.

b) $ME\parallel AF$.