Làm thử Ngân hàng đề cương ôn tập Học kì 1 · Toán 10 · THPT Phan Đình Phùng (Hà Nội) · 2025-2026

Bài 1. Cho $A=\{1;2;3;4;5;6\}$, $B=\{x\in\mathbb Z\mid -3\le x\le2\}$, $C=\{x\in\mathbb R\mid 2x^2-3x=0\}$.

a) Liệt kê các phần tử của $B,C$.

b) Tìm $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$.

c) Tìm $A\setminus B$, $B\setminus C$, $C\setminus A$.

Bài 2. Cho $A=\{x\in\mathbb R\mid x<3\}$, $B=\{x\in\mathbb R\mid 1<x\le5\}$, $C=\{x\in\mathbb R\mid -2\le x\le4\}$.

a) Viết $A,B,C$ bằng kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) Tìm $B\cup C$, $A\cap C$, $A\setminus B$.

c) Tìm $(B\cup C)\setminus(A\cap C)$.

Bài 3.

1. Cho $M=\{x\in\mathbb Z\mid (x^2-4x+3)(x^2-2mx+1)=0\}$. Tìm $m$ để $M$ có 3 phần tử.

2. Cho hai tập khác rỗng $A=(-3;m+1]$, $B=[2m-4;6]$, $m\in\mathbb R$. Tìm $m$ để $A\subset B$.

Bài 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của:

a) $x-2y-2>0$.

b) $\begin{cases}x+3y-6>0\\2x-y+4\le0.\end{cases}$

c) $\begin{cases}x-3y<0\\x+2y\ge-3\\x+y\le2.\end{cases}$

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=3$, $\widehat{BAC}=45^\circ$. Tính chính xác $BC$, tính gần đúng $BC$ đến hàng phần trăm và tính sai số tương đối của số gần đúng ấy.

Bài 9. Tính các biểu thức:

a) $\sin^2 3^\circ+\sin^2 15^\circ+\sin^2 75^\circ+\sin^2 87^\circ$.

b) $\cos0^\circ+\cos20^\circ+\cdots+\cos180^\circ$.

c) $\tan5^\circ\tan10^\circ\cdots\tan85^\circ$.

d) $\sin45^\circ+2\cos60^\circ-\tan30^\circ+5\cot120^\circ+4\sin135^\circ$.

e) $4a^2\sin^2 45^\circ-3(a\tan45^\circ)^2+(2a\cos45^\circ)^2$.

f) $\sin^2 35^\circ-5\sin^2 73^\circ+\cos^2 35^\circ-5\cos^2 73^\circ$.

g) $\dfrac{12}{1+\tan^2 76^\circ}-5\tan85^\circ\cot95^\circ+12\sin^2 104^\circ$.

h) $\sin^2 1^\circ+\sin^2 2^\circ+\cdots+\sin^2 90^\circ$.

i) $\cos^3 1^\circ+\cos^3 2^\circ+\cdots+\cos^3 180^\circ$.

Bài 10. Giải tam giác, tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp:

a) $b=32$, $c=45$, $\widehat A=87^\circ$.

b) $\widehat A=60^\circ$, $\widehat B=40^\circ$, $c=14$.

Bài 11. Chứng minh các đẳng thức, giả sử các biểu thức có nghĩa:

a) $\tan^2x-\sin^2x=\tan^2x\sin^2x$.

b) $\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x$.

c) $\dfrac{\tan^3x}{\sin^2x}-\dfrac1{\sin x\cos x}+\dfrac{\cot^3x}{\cos^2x}=\tan^3x+\cot^3x$.

d) $\sin^2x-\tan^2x=\tan^6x(\cos^2x-\cot^2x)$.

e) $\dfrac{\tan^2a-\tan^2b}{\tan^2a\tan^2b}=\dfrac{\sin^2a-\sin^2b}{\sin^2a\sin^2b}$.

Bài 12.

a) Cho $\sin\alpha=\dfrac13$, $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Tính $\cos\alpha$, $\tan\alpha$.

b) Cho $\tan\alpha=-2\sqrt2$. Tính các giá trị lượng giác còn lại.

c) Cho $\cos\alpha=\dfrac34$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Tính $A=\dfrac{\tan\alpha+3\cot\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}$.

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ có góc $B$ nhọn; $AD,CE$ là hai đường cao.

a) Chứng minh $\dfrac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\dfrac{BD}{BA}\cdot\dfrac{BE}{BC}$.

b) Biết $S_{ABC}=9S_{BDE}$ và $DE=2\sqrt2$. Tính $\cos B$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 14. Từ hai đài quan sát $A$ và $B$ của một tòa nhà như hình vẽ, người ta quan sát đỉnh $C$ của một ngọn núi. Biết rằng toà nhà cao $70$ m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^\circ$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^\circ30'$. Hỏi ngọn núi đó cao khoảng bao nhiêu mét so với mặt đất? (Giả thiết rằng khoảng cách so với mặt đất của nơi đặt đài quan sát $A$ là không đáng kể so với chiều cao của toà nhà và ngọn núi)

Bài 15. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $G$ là trọng tâm, $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$.

b) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$.

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.

d) $O,H,G$ thẳng hàng.

Bài 16. Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $AM$, và $K\in AC$ sao cho $AK=\dfrac13AC$.

a) Phân tích $\overrightarrow{BK}$ theo $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$.

b) Chứng minh $B,I,K$ thẳng hàng.

Bài 17. Cho tam giác $ABC$.

a) Tìm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec0$.

b) Tìm tập hợp $N$ thỏa $|\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}|=4|\overrightarrow{NB}|$.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$.

a) Tìm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec0$.

b) Xác định $N$ thỏa $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\vec0$.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$.

a) Tìm $K$ thỏa $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\vec0$.

b) Tìm tập hợp $M$ thỏa $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$.

Bài 20. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(7;2)$, $B(-2;5)$, $C(2;-3)$.

a) Chứng minh $A,B,C$ là ba đỉnh một tam giác và tính chu vi.

b) Tìm trọng tâm $G$.

c) Tìm trực tâm $H$.

d) Tìm $D$ trên trục hoành sao cho $A,B,D$ thẳng hàng.

e) Tìm $E\in BC$ sao cho $BE=2EC$.

Bài 21. Trên sông, người ta nhìn thấy một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $S15^\circ E$. Biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3$ km/h và vận tốc riêng của đầu máy ca nô là $20$ km/h.

a) Tính độ lớn vận tốc thực tế của ca nô.

b) Nếu ca nô đang di chuyển như trên lại đổi hướng thành $S20^\circ E$, thì để giữ nguyên độ lớn của vận tốc thực tế trên sông như ban đầu, độ lớn vận tốc riêng của ca nô cần tăng thêm hay giảm đi?

Phủ định của mệnh đề $\forall x\in\mathbb N,\ x^2-1\ge0$ là

Phủ định của mệnh đề $\exists x\in\mathbb Q:\ x^2-7\ge0$ là

Cho $M=\{7;8;9\}$. Cách viết nào sai?

Cho $A=\{1;2;3;5;8\}$, $B=\{-1;0;1;5;9\}$. Tìm $A\cup B$.

Cho $A=\{1;3;5;7\}$, $B=\{1;2;3;4\}$. Tìm $A\setminus B$.

Cho $A=(1;5)$, $B=[0;3]$. Khẳng định đúng là

Cho $A=(1;5)$, $B=[0;3]$. Khẳng định đúng là

Cho $A=(-\infty;5]$. Khi đó $C_{\mathbb R}A$ bằng

Cho $A=(-\infty;7]$, $B=[7;+\infty)$. Kết quả nào sai?

Cho hai tập khác rỗng $A=(m-3;5]$, $B=(-2;3m+1)$. Tìm $m$ để $A\subset B$.

Cho $A=(m;6]$, $B=(4;2021-5m)$ và $A,B$ khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để $A\setminus B=\varnothing$?

Cho $A=(3;+\infty)$, $B=\{x\in\mathbb R\mid |x|>m\}$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in[-20;20]$ để $(A\setminus B)\cap\mathbb Z$ có không quá 10 phần tử?

Cặp số nào không là nghiệm của $2x+y<1$?

Bất phương trình $3x-2(y-x+1)>0$ tương đương với

Điểm nào không thuộc miền nghiệm của $\begin{cases}2x+3y-1>0\\5x-y+4<0\end{cases}$?

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)=x+2y$ với $0\le y\le4$, $x\ge0$, $x-y-1\le0$, $x+2y-10\le0$ là

Trang trại cần chở 450 con lợn và 35 tấn cám, có không quá 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Xe lớn chở 50 con và 5 tấn; xe nhỏ chở 30 con và 1 tấn. Với $x,y$ là số xe lớn, nhỏ, hệ điều kiện đúng là

Cho $\sin\alpha=\dfrac13$, $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Giá trị $\cos\alpha$ là

Biết $\cos\alpha=\dfrac13$. Tính $P=\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha$.

Cho $\tan\alpha=-\dfrac43$. Tính $M=\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos^3\alpha}$.

Cho tam giác $ABC$. Công thức đúng là

Tam giác $ABC$ có $\widehat C=150^\circ$, $BC=\sqrt3$, $AC=2$. Độ dài $AB$ là

Tam giác $ABC$ có $a=24$, $b=13$, $c=15$. Góc $A$ bằng

Tam giác $ABC$ có $AC=4$ cm, $\widehat A=60^\circ$, $\widehat B=45^\circ$. Độ dài $BC$ là

Tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^\circ$, $BC=\sqrt3$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Tam giác $ABC$ có $a=6$, $b=8$, $c=10$. Diện tích tam giác là

Tam giác $ABC$ có $a=4$, $c=5$, $B=150^\circ$. Diện tích là

Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $\widehat{BAD}=30^\circ$. Diện tích bằng

Tam giác $ABC$ có $b=7$, $c=5$, $\cos A=\dfrac35$. Đường cao $h_a$ bằng

Tam giác $ABC$ có $BC=\sqrt6$, $AC=2$, $AB=\sqrt3+1$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$. Bán kính đường tròn nội tiếp là

Trong tam giác $ABC$, đẳng thức nào sai?

Tam giác $ABC$ có $a=6$, $b=4\sqrt2$, $c=2$. Điểm $M\in BC$, $BM=3$. Độ dài $AM$ bằng

Tam giác $ABC$ thỏa $b+c=2a$. Mệnh đề đúng là

Một người đi dọc bờ biển từ $A$ đến $B$, $AB=40$ m. Phương ngắm hải đăng tạo với chiều đi tại $A,B$ các góc $30^\circ$ và $55^\circ$. Khoảng cách từ hải đăng đến bờ biển, làm tròn mét, là

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AD=1$, $E$ là trung điểm $AB$, $\sin\widehat{BDE}=\dfrac13$. Độ dài $AB$ là

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $\widehat A=100^\circ$. Điểm $P$ trong tam giác thỏa $\widehat{PBC}=20^\circ$, $\widehat{PCB}=30^\circ$. Biết $AB=5$, tính $BP$.

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Ba vectơ bằng $\overrightarrow{BA}$ là

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Mệnh đề nào đúng?

Cho bốn điểm bất kì $A,B,C,D$. Với $\vec u=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$, khẳng định đúng là

Cho bốn điểm bất kì $A,B,C,O$. Đẳng thức đúng là

Cho hình bình hành $ABCD$, $I$ là giao điểm hai đường chéo. Khẳng định nào sai?

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sai?

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=4$, $\widehat{BAC}=120^\circ$. Giá trị $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ là

Cho hình vuông $ABCD$. Giá trị $\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})$ là

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=8$, $AD=5$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}$.

Cho $\vec a=(-2;-1)$, $\vec b=(4;-3)$. Cosin góc giữa hai vectơ là

Cho $\vec u=\dfrac12\vec i-5\vec j$, $\vec v=k\vec i-4\vec j$. Tìm $k$ để $\vec u\perp\vec v$.

Cho $A(-3;1)$, $B(1;-3)$. Tọa độ $\overrightarrow{AB}$ là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(2;3)$, $B(4;-1)$. Tọa độ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ là

Cho $\vec a=(1;2)$, $\vec b=(3;4)$. Tọa độ $\vec m=2\vec a+3\vec b$ là

Cho $A(2;-5)$, $B(4;1)$. Trung điểm $I$ của $AB$ là

Cho $A(-2;5)$, $B(1;-1)$. Điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}$ là

Tam giác $MNP$ có $M(1;-1)$, $N(5;-3)$; $P$ thuộc trục $Oy$ và trọng tâm $G$ thuộc trục $Ox$. Tọa độ $P$ là

Cho $A(1;3)$, $B(-1;-2)$, $C(1;5)$. Điểm $D$ trên trục $Ox$ để $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ là

Cho $A(3;4)$, $B(2;1)$, $C(-1;-2)$; $M(x;y)\in BC$ và $S_{ABC}=4S_{ABM}$. Tính $x^2-y^2$.

Xác định sai số tuyệt đối của $a=123456$ biết sai số tương đối $\delta_a=0{,}2\%$.

Một trang vở ghi kích thước $179\times252\ (\pm2\text{ mm})$. Diện tích lớn nhất là

Biết $\sqrt7=2{,}64575$ trên máy tính. Làm tròn đến hàng phần trăm được

Gọi $\bar a$ là số đúng nằm trong $[77;85]$. Cách viết đúng là

Số giá trị nhỏ hơn tứ phân vị dưới $Q_1$ chiếm khoảng

Cho mẫu $5;13;5;7;10;2;3$. Bộ $(Q_1;Q_2;Q_3)$ là

Số lần sút bóng trong 10 trận là $0;5;8;5;6;9;10;13;8;10$. Khoảng biến thiên là

Với mẫu $0;5;8;5;6;9;10;13;8;10$, số trung bình là

Với mẫu $0;5;8;5;6;9;10;13;8;10$, trung vị là

Với mẫu $0;5;8;5;6;9;10;13;8;10$, các tứ phân vị xuất hiện trong các lựa chọn nào?

Với mẫu $0;5;8;5;6;9;10;13;8;10$, mốt là