Làm thử Ngân hàng ôn tập cuối Học kì 1 - Toán 11 - THPT Gia Bình số 1 (Bắc Ninh) - 2025-2026

Câu 1. Biết $\cos x=-12/13$, $\pi<x<3\pi/2$. Tính $\sin(\pi/3-x)$, $\sin2x$, $\cos2x$.

Câu 2. Cho $\cos\alpha=2/3$. Tính $A=(\tan\alpha+3\cot\alpha)/(\tan\alpha+\cot\alpha)$.

Câu 3. Cho $\tan\alpha=3$. Tính $B=(\sin\alpha-\cos\alpha)/(\sin^3\alpha+3\cos^3\alpha+2\sin\alpha)$.

Câu 4. Chứng minh các đẳng thức: a) $\cos^4x+2\sin^2x=1+\sin^4x$; b) $(\sin^3\alpha+\cos^3\alpha)/(\sin\alpha+\cos\alpha)=1-\sin\alpha\cos\alpha$.

Câu 5. Rút gọn: a) $A=\sin(x+14^\circ)\sin(x+74^\circ)+\sin(x-76^\circ)\sin(x-16^\circ)$; b) $C=[1+\tan^2(-\alpha+11\pi)]\sin^2(\alpha-3\pi/2)$; d) $D=(\sin x+\sin2x+\sin3x)/(\cos x+\cos2x+\cos3x)$.

Câu 6. Tìm tập xác định: a) $y=\sqrt{1-\cos x}/\sin x$; b) $y=\sqrt{(1+\cos x)/(2-\cos x)}$; c) $y=(1-\cos x)/(\sin x-1)$; d) $y=\cos x/(\sin x+1)$; e) $y=\cot x/(\cos x-1)$; f) $y=\tan x+\cot x$.

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: a) $y=2\sin(x+\pi/4)+1$; b) $y=2\sqrt{\cos x+1}-3$; c) $y=\sin x+\cos x$.

Câu 8. Xét sự biến thiên: a) $y=\sin x$ trên $(-9\pi/2;-7\pi/2)$ và $(21\pi/2;23\pi/2)$; b) $y=\cos x$ trên $(-20\pi;-19\pi)$ và $(-9\pi;-8\pi)$.

Câu 9. Xét tính chẵn, lẻ: a) $y=\sin x\cos x$; b) $y=\tan x+\cot x$; c) $y=\sin^2x$.

Câu 10. Giải: a) $\sin(2x-\pi/6)=-\sqrt3/2$; b) $\cos(3x/2+\pi/4)=1/2$; c) $\sin3x-\cos5x=0$; d) $\cos^2x=1/4$; e) $\sin x-\sqrt3\cos x=0$; f) $\sin x+\cos x=0$; g) $\tan3x=-1/\sqrt3$; h) $\tan(2x+10^\circ)=\tan60^\circ$; k) $\cot4x=\sqrt3$; l) $\cot(x+2)=1$.

Câu 11. Giải: a) $\sin2x-\cos x=0$; b) $\sin x\cos2x=\sin2x\cos3x$; c) $\sin2x=\cos3x$.

Câu 12. Tìm nghiệm theo điều kiện: a) $\sin(2x+2\pi/5)=0$ với $x\in(\pi/2;3\pi/2)$; b) $\tan(x/2+\pi/6)=-1$ với $x\in(-\pi/2;\pi/2)$.

Câu 13. Một vận động viên tại $A$ ngắm mục tiêu $B$ cao 40 m với góc $\alpha$. Khi tăng góc ngắm lên $2\alpha$, mục tiêu $C$ cao 90 m. Tính khoảng cách từ vận động viên đến bức tường.

Câu 14. Ba đầu cánh quạt gió $M,N,P$ cách tâm $O$ 31 m, các cánh tạo góc $2\pi/3$. Điểm $M$ cao 30 m, tâm $O$ cao 60 m và $\angle(OA,OM)=\alpha$. Tính chiều cao của $P$, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 15. Huyết áp được mô hình bởi $p(t)=125+15\sin(160\pi t)$ mmHg, với $t$ tính bằng phút. So sánh huyết áp tâm thu/tâm trương của người này với mức bình thường $120/80$.

Câu 16. Số giờ nắng ở Boston được xấp xỉ bởi $d(t)=3{,}11\sin[(2\pi/365)t-323\pi/730]+12{,}19$, $t\in\mathbb Z$, $0\le t\le365$. a) Tính số giờ nắng ngày thứ 91, làm tròn đến hàng phần trăm. b) Ngày thứ bao nhiêu là ngày Hạ chí?

Câu 17. Độ sâu kênh là $h=3\cos(\pi t/6+1)+12$ m, $0\le t<24$. Tìm $t$ khi độ sâu lần lượt bằng a) 15 m; b) 9 m; c) 10,5 m.

Câu 18. Con lắc dao động theo $s=2\sqrt2\cos(7t+\pi/3)$ cm. Con lắc đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần trong khoảng từ 0 đến 30 giây?

Câu 19. Viết năm số hạng đầu: a) $u_n=(-1)^{n-1}n/(2n-1)$; b) $u_1=1$, $u_n=n-u_{n-1}$ với $n\ge2$.

Câu 20. Cho $u_n=(n+1)/(2n+1)$. Số $8/15$ là số hạng thứ bao nhiêu?

Câu 21. Xét tính tăng, giảm: a) $u_n=(n-3)/(n+2)$; b) $u_n=3^n/(2^n n!)$; c) $u_n=(-1)^n(2^n+1)$.

Câu 22. Cho $u_n=(an+2)/(n+1)$, với $a$ thực. Tìm $a$ để $(u_n)$ là dãy tăng.

Câu 23. Chứng minh: a) $u_n=\sqrt{n^2+1}$ bị chặn dưới; b) $u_n=-n^2-n$ bị chặn trên; c) $u_n=(2n+1)/(n+2)$ bị chặn.

Câu 24. Chứng minh $u_n=1/(1\cdot2)+1/(2\cdot3)+\cdots+1/[n(n+1)]$ tăng và bị chặn trên.

Câu 25. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của $u_n=1+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/n^2$.

Câu 26. Lương năm đầu của anh Hùng là 150 triệu đồng, mỗi năm sau tăng 18 triệu. Với $T_1=150$, $T_n=T_{n-1}+18$: a) tính lương năm thứ 3; b) chứng minh $(T_n)$ tăng.

Câu 27. Chứng minh $u_n=3-2n$ là cấp số cộng; tìm $u_1$ và công sai.

Câu 28. Cấp số cộng có $u_1=-3,d=5$. a) Viết $u_n$; b) số 492 là số hạng thứ mấy; c) số 300 có phải một số hạng không?

Câu 29. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng biết $u_5=19,u_9=35$.

Câu 30. Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy $u_n=0{,}3n+5$.

Câu 33. Xác định $a$ để $1+2a; 2a^2-1; -2a$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Câu 35. Cấp số cộng có $u_1=9,d=2$. Tìm $u_2$.

Câu 36. Cấp số cộng có $u_1=3,d=4,S_n=253$. Tìm $n$.

Câu 37. Cấp số cộng có $u_n=3n-2$. Tìm công sai.

Câu 38. Cấp số cộng có $u_1=-3,u_6=27$. Tìm công sai.

Câu 39. Cấp số cộng có $u_1=5,S_{50}=5150$. Tìm $u_n$.

Câu 40. Cấp số cộng thỏa $u_4=10,u_4+u_6=26$. Tìm công sai.

Câu 41. Cấp số cộng có $u_4=-12,u_{14}=18$. Tính $S_{16}$.

Câu 42. Cấp số cộng có $u_1=-2,d=3$. Tìm $u_{10}$.

Câu 43. Cấp số cộng có $u_2=3,u_4=7$. Tìm $u_{15}$.

Câu 48. Chứng minh các dãy là cấp số nhân, tìm $u_1,q$: a) $u_n=(-3/4)2^n$; b) $u_n=(-0{,}75)^n$.

Câu 49. Cấp số nhân có $u_1=-5,q=2$. a) Tìm $u_9$; b) $-320$ là số hạng thứ mấy; c) 160 có phải số hạng không?

Câu 50. Cấp số nhân có $u_1=-5,u_3=27/4$. Tìm $q>0$.

Câu 51. Cấp số nhân có $u_3=16,u_2+u_4=40$. Tìm $u_1,q$ biết $q>1$.

Câu 52. Tìm $x$ để $2x-1;x;2x+1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Câu 56. Với dãy $-1;1;-1;1;-1;\ldots$, khẳng định nào đúng?

Câu 57. Cấp số nhân có $u_1=-2,q=3$. Tìm $u_2$.

Câu 58. Cấp số nhân có $u_1=-3,q=2/3$. Khẳng định đúng là

Câu 59. Cấp số nhân có $u_n=81,u_{n+1}=9$. Tìm công bội.

Câu 60. Trong cấp số nhân $1/2;1/4;1/8;\ldots$, số $1/4096$ là số hạng thứ mấy?

Câu 61. Cấp số nhân có 6 số hạng, $u_1=2,u_6=486$. Tìm công bội.

Câu 62. Cấp số nhân có $u_1=2,u_2=-8$. Mệnh đề đúng là

Câu 63. Cấp số nhân có $u_1=3,q=-2$. Số 192 là số hạng thứ mấy?

Câu 64. Cấp số nhân có $u_1=-3,q=-2$. Tính $S_{10}$.

Câu 65. Cấp số nhân có $u_1=-6,q=-2,S_n=2046$. Tìm $n$.

Câu 66. Cấp số nhân có $u_2=-6,u_6=-486$ và $u_3>0$. Tìm công bội.

Câu 67. Cấp số nhân có $u_1=1,q=2$. Số 1024 là số hạng thứ mấy?

Câu 68. Cấp số nhân không âm có $u_2=6,u_4=24$. Tính $S_{12}$.

Câu 69. Tính $S=1/3+1/3^2+\cdots+1/3^n+\cdots$.

Câu 70. Cấp số nhân có $u_1=-2,q=3/4$. Số $-81/128$ là số hạng thứ mấy?

Câu 71. Tính tổng vô hạn $-1/2;1/4;-1/8;\ldots$.

Câu 72. Các hình vuông nối trung điểm có $S_1=a^2$, mỗi diện tích sau bằng nửa trước. Tính $S_1+\cdots+S_{100}$.

Câu 74. Tính các giới hạn: a) $(6n-5)/(3n)$; b) $(-2n^2-6n+2)/(8n^2-5n+4)$; c) $(n^3-5n+1)/(3n^2-4n+2)$; d) $(-4n+1)/(9n^2-n+2)$; e) $\sqrt{4n^2+n+1}/(8n+3)$; f) $(4^n+5^n)/(3\cdot4^n-4\cdot5^n)$; g) $5-2/n^3$; h) $(4-2/n)(5+1/3^n)$; i) $(2+1/n)/2^n$.

Câu 75. Thả bóng từ độ cao 100 m; mỗi lần nảy lên bằng $1/4$ độ cao trước. a) Tìm $h_n$; b) tính giới hạn và nêu ý nghĩa; c) tính quãng đường đến lần chạm đất thứ $n$ và tổng quãng đường vô hạn.

Câu 77. Nếu $u_n\to a$ hữu hạn và $v_n\to+\infty$ thì $u_n/v_n$ bằng

Câu 78. Có bao nhiêu khẳng định đúng: (I) $n^k\to+\infty$ với $k$ nguyên dương; (II) $q^n\to+\infty$ nếu $q<1$; (III) $q^n\to+\infty$ nếu $q>1$?

Câu 79. Tính $L=\lim(n-1)/(n^3+3)$.

Câu 80. Tính $\lim(1-2n)/(3n+1)$.

Câu 81. Cho $u_n=1/(n+1),v_n=3/(n+3)$. Tính $\lim u_n/v_n$.

Câu 82. Tính $\lim[100^{n+1}+3\cdot99^n]/[10^{2n}-2\cdot98^{n+1}]$.

Câu 83. Tính $\lim(3^n-4^n)$.

Câu 84. Tính $\lim[3\cdot2^{n+1}-2\cdot3^{n+1}]/(4+3^n)$.

Câu 85. Cho $u_n=(1+2+\cdots+n)/(n^2+1)$. Mệnh đề đúng là

Câu 86. Tính $L=\lim(n^3-2n)/(3n^2+n-2)$.

Câu 89. Tính $\lim u_n$ với $u_n=(-2+3n-2n^3)/(3n-2)$.

Câu 90. Tính $\lim[\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}]/(2n-3)$.

Câu 91. Tính $\lim(n-\sqrt{n^2-4n})$.

Câu 92. Tính $S=2+2/3+2/3^2+\cdots$.

Câu 93. Thả bóng từ 55,8 m; mỗi lần nảy lên bằng $1/10$ độ cao trước. Tổng hành trình thuộc khoảng nào?

Câu 94. Tính: a) $\lim_{x\to3}(-x^2+x+2)$; b) $\lim_{x\to-1}(3x^2-2x+1)/(3x-2)$; c) $\lim_{x\to2}\sqrt{5x^2+x+4}$.

Câu 95. Tính: a) $\lim_{x\to+\infty}1/(x^2+2)$; b) $\lim_{x\to3^+}1/(x-3)$; c) $\lim_{x\to+\infty}(3x+2)/(4x-5)$; d) $\lim_{x\to1}(3x^2-4x+1)/(x-1)$.

Câu 96. Tính: a) $\lim_{x\to-\infty}(-5x+2)/(3x+1)$; b) $\lim_{x\to-\infty}(-2x+3)/(3x^2+2x+5)$; c) $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{9x^2+3}/(x+1)$; d) $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{9x^2+3}/(x+1)$; e) $\lim_{x\to1}(2x^2-8x+6)/(x^2-1)$; g) $\lim_{x\to-3}(-x^2+2x+15)/(x^2+4x+3)$.

Câu 97. Cho $\lim_{x\to1}f(x)=2$. Chứng minh $\lim_{x\to1}f(x)/2=1$.

Câu 98. Cho $\lim_{x\to2}[f(x)-5]/(x-2)=3$. Tìm $\lim_{x\to2}f(x)$.

Câu 99. Cho $\lim_{x\to1}[f(x)-4]/(x-1)=2$. Tính a) $\lim_{x\to1}f(x)$; b) $\lim_{x\to1}3f(x)$.

Câu 100. Cho $\lim_{x\to+\infty}f(x)=2022$. Tính $\lim_{x\to+\infty}xf(x)/(x+1)$.

Câu 101. Tính $\lim_{x\to1}(2x^2-3x+1)$.

Câu 102. Cho $\lim_{x\to3}f(x)=-2$. Tính $\lim_{x\to3}[f(x)+4x-1]$.

Câu 103. Giới hạn nào bằng $-\infty$?

Câu 104. Tính $\lim_{x\to1^+}(-2x+1)/(x-1)$.

Câu 105. Tính $\lim_{x\to-1}(x^2-2x-3)/(x+1)$.

Câu 106. Tính $\lim_{x\to-\infty}(2x^3-x^2+1)$.

Câu 107. Tính $I=\lim_{x\to2}(x^2-5x+6)/(x-2)$.

Câu 108. Tính $\lim_{x\to2}(x-2)/(x^2-4)$.

Câu 109. Cho $f(x)=(\sqrt{x+4}-2)/x$ khi $x>0$, và $f(x)=mx+m+1/4$ khi $x\le0$. Tìm $m$ để hàm có giới hạn tại 0.