Làm thử Đề cương ôn tập cuối học kì 2 · Toán 9 · THCS Minh Đức (TP Hồ Chí Minh) · 2025-2026

Bài 1. Cho hàm số $(P): y=\dfrac{x^2}{2}$.

a) Vẽ đồ thị hàm số $(P)$.

b) Tìm tất cả các điểm $M(x;y)$ thuộc $(P)$ thỏa điều kiện hoành độ gấp ba lần tung độ.

Bài 2. Cho phương trình $3x^2+2x-3=0$. Không giải phương trình:

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Tính giá trị của biểu thức $M=(x_1-2x_2)(x_2-x_1)+x_2^2$.

Bài 3.

a) Cô Lan ghi lại số cuộc gọi điện thoại cô thực hiện mỗi ngày trong tháng 9/2023 như sau:

$0,5,3,3,3,2,5,1,3,5,$

$1,5,1,4,3,2,2,4,0,1,$

$1,2,3,2,2,3,4,3,1,3$.

Hãy lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

b) Bạn Minh có 5 tấm thẻ cùng loại, được ghi các số từ 1 đến 5. Minh chọn ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi thay số trên thẻ vào dấu “?” trong phương trình $x^2+2x+?=0$. Tính xác suất của biến cố $A$: “Phương trình có nghiệm”.

Bài 5. Một cái bánh kem hình trụ có chiều cao $1{,}5$ dm và đường kính đáy 4 dm.

a) Tính thể tích cái bánh kem.

b) Người ta chia bánh thành 6 phần bằng nhau. Tính diện tích phần phủ kem của một miếng bánh, biết kem chỉ phủ mặt trên và mặt xung quanh của cái bánh.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. Dùng $V=\pi r^2h$ và $S_{xq}=2\pi rh$.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $R$.

a) Chứng minh các tứ giác $CEHD$ và $BCEF$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AE\cdot AC=AH\cdot AD$ và $AE\cdot BC=AH\cdot BE$.

c) Chứng minh $H$ và $R$ đối xứng nhau qua $BC$, đồng thời xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

Bài 1. Cho hàm số $(P): y=x^2$.

a) Vẽ đồ thị $(P)$.

b) Bằng phép toán, tìm tọa độ những điểm $M$ thuộc $(P)$ có tung độ bằng hai lần hoành độ.

Bài 2. Cho phương trình $x^2+3x-10=0$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$.

b) Không giải phương trình, tính $A=\dfrac{x_1+2}{x_2}+\dfrac{x_2+2}{x_1}$.

Bài 3. Thầy Sơn điều tra môn thể thao yêu thích nhất của học sinh lớp 9A. Biểu đồ cột kép cho biết số học sinh nam và nữ yêu thích bóng đá, bóng rổ và cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia điều tra.

a) Lập bảng tần số tương ứng với mẫu dữ liệu trong biểu đồ.

b) Tính xác suất của biến cố $A$: “Học sinh được chọn là nam và yêu thích bóng đá hoặc bóng rổ”.

Bài 5. Một ly nước hình trụ cao 15 cm, đường kính đáy 5 cm; mực nước tinh khiết trong ly cao 10 cm.

a) Tính lượng nước trong ly theo centimet khối, làm tròn đến hàng phần trăm.

b) Thả vào ly 5 viên bi hình cầu có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn, làm nước dâng vừa tới miệng ly. Tính bán kính mỗi viên bi, làm tròn đến hàng phần trăm. Giả sử độ dày của ly và đế ly không đáng kể.

Dùng $V_{trụ}=\pi R^2h$, $V_{cầu}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ và $\pi\approx3{,}14$.

Bài 6. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$. Gọi $H=MN\cap OA$. Kẻ dây $BC$ đi qua $H$ và vuông góc với $OM$, với $C$ thuộc cung nhỏ $MN$. Đường thẳng $AC$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $D$. Gọi $I$ là trung điểm $CD$ và $F=MN\cap CD$.

a) Chứng minh tứ giác $AMON$ nội tiếp.

b) Chứng minh $\widehat{NMI}=\widehat{NOI}$.

c) Chứng minh $FI\cdot FA=FC\cdot FD$.

Bài 1. Cho hàm số $y=2x^2$ có đồ thị $(P)$.

a) Vẽ đồ thị $(P)$.

b) Tìm tọa độ các điểm $M$ thuộc $(P)$, khác gốc tọa độ, có tung độ gấp đôi hoành độ.

Bài 2. Cho phương trình $x^2-4x-6=0$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Không giải phương trình, tính $\dfrac{x_1x_2}{4-x_1}+\dfrac{x_1x_2}{4-x_2}$.

Bài 3.

a) Thời gian (phút) một nhóm thợ xây hoàn thành $1m^2$ tường gạch là:

$4{,}9;5{,}3;6{,}1;7{,}2;6{,}8;5{,}6;4{,}7;5{,}2;7{,}0;6{,}3;$

$5{,}9;6{,}5;7{,}1;4{,}8;5{,}4;6{,}6;7{,}3;5{,}8;6{,}2;7{,}4$.

Phân số liệu vào các nhóm $[4{,}5;5{,}5)$, $[5{,}5;6{,}5)$ và $[6{,}5;7{,}5)$, rồi lập bảng tần số ghép nhóm.

b) Một hộp có 6 thẻ ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để số trên thẻ là ước của 6.

Bài 4. Một lối đi được làm dọc theo chiều dài và chiều rộng của một sân cỏ hình chữ nhật. Sân cỏ dài 15 m, rộng 6 m; lối đi có bề rộng đều $x$ và diện tích 46 $m^2$.

a) Viết biểu thức tính diện tích lối đi.

b) Tìm chiều rộng $x$ của lối đi.

Bài 5. Một ống chứa vitamin C có dạng hình trụ, đường kính đáy 4 cm và chiều cao 12 cm. Mỗi viên vitamin C có dạng hình cầu bán kính $0{,}5$ cm.

a) Tính thể tích ống và thể tích một viên vitamin C theo $cm^3$, làm tròn đến hàng phần trăm.

b) Trong ống có một lớp không khí chiếm 10% thể tích. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.

Dùng $V_{trụ}=\pi R^2h$ và $V_{cầu}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AH=2OI$.

c) Biết $\widehat{BAC}=60^\circ$ và đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ bằng 12 cm. Tính $BC$ và $EF$.

Bài 1. Cho hàm số $y=-\dfrac14x^2$ có đồ thị $(P)$.

a) Vẽ $(P)$ trên mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm trên $(P)$ những điểm có tung độ bằng $-9$.

Bài 2. Cho phương trình $x^2+x-5=0$.

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Tính $M=x_1+x_1(x_1+2024)+x_2(x_2+2025)$.

Bài 3.

a) Khảo sát năng khiếu của 100 học sinh tại một trường THCS cho kết quả:

Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ cột tần số tương đối.

b) Lớp 9/1 có 4 bạn hát hay: Thiên, Vương, Hương và Đào. Cô giáo chọn ngẫu nhiên 2 bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố $A$: “Trong hai bạn được chọn có bạn Vương”.

Bài 5. Một chiếc nón lá có đường kính vành 40 cm và chiều cao 20 cm.

a) Tính chu vi vành nón.

b) Dùng nón để múc nước đổ vào một chum hình trụ cao 70 cm, bán kính đáy 30 cm. Mỗi lần vận chuyển chỉ giữ được khoảng 80% thể tích nón. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần múc để đầy chum?

Dùng $V_{nón}=\dfrac13\pi R^2h$ và $V_{trụ}=\pi r^2h$.

Bài 6. Cho đường tròn $(O;R)$. Từ điểm $A$ ngoài $(O)$, vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với $B,C$ là các tiếp điểm. Vẽ đường kính $CD$.

a) Chứng minh tứ giác $OBAC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $OA\parallel BD$.

c) Vẽ $BN\perp CD$ tại $N$. Khi $OA=2R$, tính diện tích tứ giác $ABNC$ theo $R$.

Bài 1. Cho hàm số $y=-\dfrac{x^2}{2}$.

a) Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

b) Tìm điểm thuộc đồ thị, khác gốc tọa độ, có tung độ gấp rưỡi hoành độ.

Bài 2. Cho phương trình $3x^2-7x-5=0$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Không giải phương trình, tính $T=(x_1-x_2)(x_1^2-x_2^2)$.

Bài 3. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 24 lần, thu được dãy kết quả:

$1,3,2,4,1,4,5,4,$

$5,1,5,2,4,6,1,3,$

$6,4,2,3,1,2,4,5$.

a) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu.

b) Gọi $A$ là biến cố “Gieo được mặt 6 chấm” trong 24 lần gieo. Tính xác suất thực nghiệm của $A$.

Bài 4. Công ty A xây 100 căn hộ gồm loại một phòng ngủ, giá dự kiến $1{,}8$ tỉ đồng/căn, và loại hai phòng ngủ, giá dự kiến $2{,}4$ tỉ đồng/căn. Sau đó công ty tăng 10% giá căn một phòng ngủ và giảm 10% giá căn hai phòng ngủ. Tổng tiền bán hết các căn hộ là $212{,}4$ tỉ đồng. Hỏi có bao nhiêu căn hộ mỗi loại?

Bài 5. Một bình hình trụ có đường kính đáy 40 cm và chiều cao 60 cm.

a) Tính thể tích nước cần đổ vào để mực nước cao 50 cm, biết ban đầu bình rỗng.

b) Có các viên bi hình cầu không thấm nước, cùng bán kính 6 cm. Có thể thả nhiều nhất bao nhiêu viên để nước không tràn, biết các viên bi chìm xuống đáy?

Dùng $V_{trụ}=\pi R^2h$, $V_{cầu}=\dfrac43\pi R^3$ và $\pi=3{,}14$.

Bài 6. Cho điểm $M$ ngoài đường tròn $(O;R)$. Qua $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA,MB$. Vẽ đường kính $BD$; đường thẳng $MD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Gọi $H=MO\cap AB$.

a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp và $AB\perp OM$ tại $H$.

b) Gọi $K$ là trung điểm $CD$, $L=AH\cap MD$. Chứng minh $OK\perp CD$ và $ML\cdot MK=MB^2$.

c) Biết $AB=R\sqrt3$. Tính theo $R$ diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và dây $AB$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKB$.