Làm thử Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Đồng Tháp · Toán chuyên · 2026-2027

Bài 1 (4,0 điểm). Cho số thực $a=\sqrt{17-12\sqrt{2}}+2\sqrt{2}+6$ và biểu thức
$P(x)=\left(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{3\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}+8}\right)\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}}{2\sqrt{x}}-4\right)$
với $x>0$ và $x\ne 4$.

a) Rút gọn $a$ và $P(x)$, sau đó tính giá trị của biểu thức $P(x)$ tại $x=a$.

b) Đặt $Q(x)=P(x)\left(x-\sqrt{x}+1\right)$ với $x>0$ và $x\ne 1$. Chứng minh rằng $Q(x)>2$.

Bài 2 (3,0 điểm).

a) Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $24$ km. Khi từ $B$ về $A$, nhờ xuôi chiều gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là $4$ km/h. Vì thế, thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ $A$ đến $B$.

b) Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^{3}\left(y^{3}-3y\right)=3x^{2}-2\\ 4x^{3}y=2x^{2}+1. \end{cases}$

Bài 3 (3 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số bậc hai $y=x^{2}$ có đồ thị là một parabol $(P)$ và đường thẳng $d:y=2(m-3)x-m+4$. Chứng minh rằng parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ với mọi giá trị thực của tham số $m$, và nếu hai hoành độ này dương thì chúng thỏa mãn $\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)<0$.

b) Cho hai phương trình bậc hai với ẩn $x$ sau: $x^{2}+x+m=0$ và $x^{2}+mx+1=0$ ($m$ là tham số). Định $m$ để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

Bài 4 (2,0 điểm). Cho $n$ số nguyên dương phân biệt tùy ý, không vượt quá $2025$.

a) Với $n=1014$, chứng minh luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

Bài 5 (2,0 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,k,m)$. Cho ba số nguyên dương $a,k,m$ thỏa mãn đẳng thức $k+a^{k}=m+2a^{m}\quad(1)$.

a) Chứng minh $k>m$.

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,k,m)$ thỏa mãn $(1)$.

Bài 6 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, nội tiếp đường tròn tâm $(O)$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=BC$. Vẽ $DH$ vuông góc $AC$ tại $H$, tia phân giác của góc $\widehat{CAB}$ cắt $DH$ tại $K$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $E$. Tia $CK$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $F$. Tia $AC$ và tia $BE$ cắt nhau tại $N$.

a) Tính số đo của $\widehat{ANB}$.

b) Chứng minh $\widehat{ADK}=\widehat{AFM}$.

c) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

d) Đường phân giác của $\widehat{BCF}$ cắt $BF$ tại $U$ và đường tròn $(O)$ tại $L$. Đường tròn tâm $(I)$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $S$ ($S$ thuộc cung nhỏ $BC$) và tiếp xúc với $BF$ tại $T$, đồng thời đường tròn $(I)$ cắt $CL$ tại $R$, $V$ ($R$ nằm giữa $C$ và $V$). Tia $BV$ cắt $(O)$ tại $P$. Vẽ dây $PQ$ song song với $CF$. Chứng minh $B$, $R$, $Q$ thẳng hàng.

Bài 7 (2,0 điểm). Cho $x,y,z$ là các số thực dương.

a) Chứng minh $\sqrt{(x+y)(x+z)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}.$

(Ghi chú của người biên soạn: đề in "giá trị nhỏ nhất", nhưng đáp án của Sở chứng minh $P\le 1$ và kết luận về giá trị lớn nhất của $P$. Ở câu này, hãy tìm giá trị lớn nhất của $P$.)