Làm thử Tuyển sinh vào 10 · Bắc Ninh · Toán · 2023

Câu 1a. (1,0 điểm) Giải phương trình sau:
$\dfrac{2}{\sqrt{2}}\,x + \sqrt{2}\,x = 4$

Câu 1b. (1,0 điểm) Giải phương trình sau:
$x^4 - 18x^2 + 81 = 0$

Câu 1c. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} x + 3y = -2 \\ 2x - 4y = 16 \end{cases}$

Câu 2a. (1,0 điểm) Cho hai hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ với $a \neq 0$ là tham số.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

Câu 2b. (0,75 điểm) Cho hai hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ với $a \neq 0$.

Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

Câu 2c. (0,75 điểm) Với hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ ($a \neq 0$), gọi $y_1;\,y_2$ là tung độ của hai giao điểm của hai đồ thị. Tìm $a$ để $y_1 + y_2 = 28$.

Câu 3a. (0,5 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).

Giải phương trình khi $m = 0{,}5$.

Câu 3b. (0,5 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).

Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Câu 4a. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $BC$, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $D$.

Chứng minh rằng tứ giác $ABOD$ nội tiếp.

Câu 4b. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $BC$, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $D$.

Tiếp tuyến tại điểm $A$ với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$, cho $PB = BO = 2\,\text{cm}$. Tính độ dài đoạn $PA$ và số đo góc $\widehat{APC}$.

Câu 4c. (0,5 điểm) (Cùng hình vẽ câu 4a, 4b — $P$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ với đường thẳng $BC$.)

Chứng minh rằng $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BA^2}{AC^2}$.

Câu 5a. (0,5 điểm) Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm $1\,\text{m}$, cây phượng mỗi năm cao thêm $50\,\text{cm}$ $(= 0{,}5\,\text{m})$. Lúc mới vào trường học, cây bạch đàn cao $1\,\text{m}$ và cây phượng cao $3\,\text{m}$. Giả sử tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

Gọi $x$ là số năm tính từ lúc mới vào trường ($x > 0$). Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo số năm $x$.

Câu 5b. (0,5 điểm) (Cùng bài toán câu 5a — tốc độ tăng trưởng của cây bạch đàn $1\,\text{m/năm}$, cây phượng $0{,}5\,\text{m/năm}$; lúc ban đầu bạch đàn $1\,\text{m}$, phượng $3\,\text{m}$.)

Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

Câu 4d. (Cùng giả thiết Câu 4a.) Chứng minh $AB \cdot AC = 2R \cdot AH$.

Câu 5. Chứng minh $a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \leq ab$ với $a,\, b \geq 1$.

Hệ số góc của đường thẳng $y = \dfrac{3}{2} - x$ là

Kết quả của phép tính $\sqrt{3^2} + \sqrt{(-3)^2}$ bằng

Trong hình vẽ dưới đây, cho $\widehat{AOB} = 100°$; $Ax$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Số đo $\widehat{xAB}$ bằng

Biểu thức $\sqrt{(3 - 2x)^2}$ bằng

Khi $x = -2$, biểu thức $M = \dfrac{\sqrt{7 - x}}{x + 3}$ có giá trị bằng

Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng $y = -2x + 1$?

Hệ phương trình $\begin{cases}x + 2y = 3\\2x + my = 1\end{cases}$ (với $m$ là tham số) vô nghiệm khi

Biểu thức $\sqrt{3 - x}$ có điều kiện xác định là

Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax + 3y = 4\\x + by = -2\end{cases}$ (với $a,b$ là tham số). Với giá trị nào của $a,b$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1;\,2)$?

Cho $\triangle MNP$ vuông tại $M$, đường cao $MK$. Hệ thức nào sau đây sai?

Hộp sữa có dạng hình trụ với đường kính đáy là $12\,\text{cm}$, chiều cao của hộp sữa là $18\,\text{cm}$. Thể tích của hộp sữa bằng

Biết parabol $y = x^2$ cắt đường thẳng $y = -3x + 4$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_1,\,x_2$ ($x_1 < x_2$). Giá trị của biểu thức $T = 2x_1 + 3x_2$ bằng

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 6\,\text{cm}$, $\tan B = \dfrac{3}{4}$. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Cho hệ phương trình $\begin{cases}mx - y = 3\\3x + my = 4\end{cases}$ (với $m$ là tham số). Số các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;\,y)$ thoả mãn $x > 0$, $y < 0$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đồ thị hàm số $y = mx + 2$ (với $m\neq0$ là tham số) cắt hai trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A$, $B$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để diện tích của $\triangle OAB$ bằng $3$?

Cho ba đường thẳng đôi một phân biệt $(d_1): y = x + 2$; $(d_2): y = 2x + 1$; $(d_3): y = (m^2+1)x + m$ (với $m$ là tham số). Giá trị của $m$ để ba đường thẳng trên cùng đi qua một điểm là

Hệ phương trình $\begin{cases}\dfrac{2}{x+2} + \sqrt{y-1} = 3\\[6pt]\dfrac{1}{x+2} - 3\sqrt{y-1} = -2\end{cases}$ có nghiệm $(x_0;\,y_0)$ thì $x_0 + y_0$ bằng

Bài 1. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức $A = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}+2} - \dfrac{x}{4-x}\right) : \dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$ với $x \geq 0$, $x \neq 4$.

Bài 2.1. (0,75 điểm) Cho phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0$ (1) với $m$ là tham số. Giải phương trình (1) khi $m = 0$.

Bài 2.2. (0,75 điểm) Tìm giá trị của $m$ để phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0$ (1) có hai nghiệm đối nhau.

Bài 3. (1,0 điểm) Một phòng họp có $165$ ghế ngồi được xếp thành các hàng, mỗi hàng có số ghế bằng nhau. Trong một buổi họp có $208$ người tham dự, do đó ban tổ chức đã kê thêm $1$ hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp nhiều hơn quy định là $2$ ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu, phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế?

Bài 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$. Trên đường tròn đã cho lấy điểm $A$ cố định ($A$ khác $B$, $C$) và lấy điểm $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AC$ ($D$ khác $A$, $C$). Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Hai đường thẳng $BD$ và $AH$ cắt nhau tại $I$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $IHCD$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh rằng $AB^2 = BI \cdot BD$.

3. Lấy điểm $M$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $BM = AB$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle MID$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AC$.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực không âm $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 64z \leq 0$. Chứng minh rằng $\dfrac{x+y+z}{3} \geq \sqrt{xyz}$.