Làm thử Giữa kì 2 · Toán 11 · THPT Nhân Chính (Hà Nội) · 2024–2025 · Mã đề 101

Câu 1. Cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $c$ không nằm trên $(P)$. Khi đó, $(P) \perp c$ nếu

Câu 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau.

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là

Câu 3. Cho $A$, $B$ là hai biến cố độc lập. Biết $P(A) = \dfrac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{9}$. Tính $P(B)$.

Câu 4. Với mọi số thực $a$ dương, $\log_2 \sqrt{a}$ bằng

Câu 5. Cho $a$ là số thực dương khác 1. Khi đó $\sqrt[4]{a^{\frac{2}{3}}}$ bằng:

Câu 6. Giả sử $a, b$ là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SD \perp (ABCD)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 8. Hai xạ thủ bắn cùng vào bia. Gọi $X_1$ và $X_2$ lần lượt là các biến cố "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Hãy biểu diễn biến cố $B$: "Có đúng một trong hai xạ thủ bắn trúng bia" theo $X_1$ và $X_2$.

Câu 9. Cho $a$ và $b$ là hai hằng số thực dương thỏa mãn $a^3 b^2 = 32$. Giá trị của $3\log_2 a + 2\log_2 b$ bằng

Câu 10. Số $a$ thỏa mãn có 25% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn $a$ và 75% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn $a$. Số $a$ là số nào trong các số sau?

Câu 11. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ bằng

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $SA = SC$, $SB = SD$. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

Phần II – Câu 1a. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B'$, $D'$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$. Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$. Biết $SA = AC = 2a$, $AB = a$.

(a) $CD \perp (SAD)$.

Phần II – Câu 1b. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B'$, $D'$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$. Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$. Biết $SA = AC = 2a$, $AB = a$.

(b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $SD$, $\tan\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Phần II – Câu 1c. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B'$, $D'$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$. Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$. Biết $SA = AC = 2a$, $AB = a$.

(c) $SC \perp (AB'C')$.

Phần II – Câu 1d. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B'$, $D'$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$. Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$. Biết $SA = AC = 2a$, $AB = a$.

(d) Bốn điểm $A$, $B'$, $C'$, $D'$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Phần II – Câu 2a. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Gọi $A$: "Chọn được hai viên bi xanh"; $B$: "Chọn được hai viên bi đỏ"; $C$: "Chọn được hai viên bi vàng".

(a) Biến cố "Chọn được hai viên bi cùng màu" là biến cố $A \cup B \cup C$.

Phần II – Câu 2b. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là biến cố "hai viên bi xanh", "hai viên bi đỏ", "hai viên bi vàng".

(b) $A$, $B$, $C$ đôi một xung khắc với nhau.

Phần II – Câu 2c. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là biến cố "hai viên bi xanh", "hai viên bi đỏ", "hai viên bi vàng".

(c) $P(A) = \dfrac{C_4^2}{C_9^2} = \dfrac{5}{36}$; $P(B) = \dfrac{C_3^2}{C_9^2} = \dfrac{3}{36}$; $P(C) = \dfrac{C_2^2}{C_9^2} = \dfrac{1}{36}$.

Phần II – Câu 2d. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là biến cố "hai viên bi xanh", "hai viên bi đỏ", "hai viên bi vàng".

(d) Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là $\dfrac{5}{18}$.

Phần III – Câu 1. Biết rằng khi nung nóng một vật với nhiệt độ tăng từ $20°C$, mỗi phút tăng $4°C$ trong 70 phút, sau đó giảm mỗi phút $2°C$ trong 50 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ ($°C$) theo thời gian $t$ (phút) có dạng: $T(t) = \begin{cases} 20 + 4t & \text{khi } 0 \le t \le 70 \\ a - 2t & \text{khi } 70 < t \le 120 \end{cases}$ ($a$ là hằng số). Biết $T(t)$ là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của $a$.

Phần III – Câu 2. Ba người xạ thủ $A_1$, $A_2$, $A_3$ độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của $A_1$, $A_2$, $A_3$ tương ứng là $0{,}7$; $0{,}6$ và $0{,}5$. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Phần III – Câu 3. Một cây dù đồng tâm được đặt theo phương thẳng đứng so với mặt đất. Vào thời điểm 12 giờ trưa, ánh nắng mặt trời chiếu vuông góc xuống mặt đất ta thấy bóng của tán dù là một hình lục giác đều có cạnh là $0{,}5\text{ m}$. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh dù đến một đỉnh bất kỳ của lục giác đều trên mặt đất là $2{,}5\text{ m}$. Giả sử chiều cao của đế dù là không đáng kể, khi đó chiều cao của thân dù là bao nhiêu mét?

(Hình minh hoạ ô dù trong đề là ảnh trang trí — toàn bộ dữ liệu đã được ghi đủ bằng lời trên.)

Phần III – Câu 4. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của ${}^{14}_6C$ có trong mẫu vật tại thời điểm $t$, sau đó sử dụng công thức $H = H_0 e^{-\lambda t}$ với $H_0$ là độ phóng xạ ban đầu; $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, $T = 5730$ (năm). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là $0{,}215\text{ Bq}$. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là $0{,}250\text{ Bq}$. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó.

Phần IV – Câu 1. Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:

Tìm số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Phần IV – Câu 2. Cho $a$ là số thực dương khác 1, rút gọn biểu thức $P = 3^{2\log_3 a} - \log_5 a^2 \cdot \log_a 25$ theo $a$.

Phần IV – Câu 3. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $1\text{ dm}$, góc $\widehat{BAD} = 120°$, $SA = SC = SD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ dm}$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ xuống mặt phẳng $(SAB)$. Tính $\tan\widehat{CSH}$.