Làm thử Tuyển sinh lớp 10 chuyên · Đồng Nai · Toán chuyên · 2026–2027 (Đề tham khảo)

Bài 1 (2 điểm) — Câu 1. Cho các biểu thức

$P = \left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} - \dfrac{9}{x-1}\right) : \left(2 - \dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$

với $x \geq 0,\ x \neq 1,\ x \neq \dfrac{9}{4}$. Rút gọn các biểu thức $P$ và tìm $x$ để $P$ là số nguyên.

Bài 1 (2 điểm) — Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình

$x^2 - 2mx + m - 1 = 0$

có hai nghiệm phân biệt $x_1,\ x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $4\sqrt{2}$.

Bài 2 (2 điểm) — Câu 1. Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 5x^2 y - 4xy^2 + 3y^3 - 2(x+y) = 0 \\ xy(x^2+y^2) + 2 = (x+y)^2 \end{cases}$

Bài 2 (2 điểm) — Câu 2. Cho đa thức $P(x)$ có bậc 4 và thoả mãn các điều kiện:

$P(-1) = 0 \quad \text{và} \quad P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Chứng minh rằng $x = 0$, $x = -2$ là nghiệm của đa thức $P(x)$. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ thoả mãn các điều kiện trên.

Bài 3 (1,5 điểm) — Câu 1. Ban đầu trên bàn có 65 viên bi. Hai bạn Thắng và Chiến chơi trò chơi bốc bi như sau: Hai bạn luân phiên nhau bốc bi từ đống bi đã cho; Thắng là người bốc đầu tiên. Ở mỗi lượt chơi của mình, mỗi bạn bốc tuỳ ý 1 hoặc 2 hoặc 3 viên bi. Người bốc viên bi cuối cùng trong đống được coi là người thắng cuộc. Chứng minh rằng bạn Thắng luôn có chiến thuật để mình là người chiến thắng.

Bài 3 (1,5 điểm) — Câu 2. Xét các cặp số nguyên $m$ và $n > 2$ thoả mãn:

$((n-1)! - n) \cdot (n-2)! = m(m-2).$

Chứng minh rằng $((n-1)!-1)((n-2)!-1)$ là số chính phương và tìm tất cả các cặp $(m, n)$ thoả điều kiện bài toán. Trong đó kí hiệu $k! = 1 \cdot 2 \cdots k$ là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến $k$.

Bài 4 (1,5 điểm) — Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng

$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geq a^2 + b^2 + c^2 + \dfrac{9abc}{2(a+b+c)}.$

Bài 5 (3 điểm) — Câu 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB < AC$ có trực tâm $H$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn đi qua $H$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$, $(O_2)$ là đường tròn đi qua $H$ và tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại điểm thứ hai $K$.

Chứng minh rằng bốn điểm $B,\ C,\ A,\ K$ nằm trên một đường tròn.

Bài 5 (3 điểm) — Câu 2. (Tiếp theo cấu hình Bài 5.) Gọi $M$ là giao điểm của $KH$ với $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của đoạn $BC$.

Bài 5 (3 điểm) — Câu 3. (Tiếp theo cấu hình Bài 5.) Chứng minh $AK \parallel O_1 O_2$.