Làm thử Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chuyên) năm 2026–2027 · Sở GD&ĐT Phú Thọ

Câu 1a (1,0 điểm). Bác Hiểu chở một xe ô tô cây cảnh ra chợ để bán. Sau khi bán hết cây cuối cùng với giá 200 nghìn đồng, bác tính nhẩm lại thấy mình đã bán số cây cảnh với giá trung bình là 245 nghìn đồng/cây. Nhưng ngay lúc ấy người mua cây cảnh cuối quay trở lại và chỉ cho bác Hiểu thấy cây vừa mua bị héo, nên ông ta chỉ đồng ý mua với giá 140 nghìn đồng. Bác Hiểu chấp thuận và bán cây cảnh đó. Khi nhẩm tính lại, bác Hiểu thấy giá trung bình của số cây cảnh đã bán bây giờ là 242 nghìn đồng/cây.

Hỏi bác Hiểu đã bán được bao nhiêu cây cảnh?

Câu 1b (1,0 điểm). Cho hai đa thức $f(x) = x^2 + ax + b$, $g(x) = x^2 + cx + d$, trong đó $a, b, c, d$ là các hệ số. Tìm $f(6)$ biết $g(6) = 5$ và $\dfrac{f(-1)}{g(-1)} = \dfrac{f(1)}{g(1)} = \dfrac{3}{2}$.

Câu 1c (1,0 điểm). Giải phương trình $x^2 - 2x + 3 = \sqrt{x^3 + 3x}$.

Câu 2a (0,75 điểm). Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thoả mãn $2^a = b^c + 1$ và $a > 1$.

Chứng minh rằng $b, c$ là các số lẻ.

Câu 2b (0,75 điểm). Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thoả mãn $2^a = b^c + 1$ và $a > 1$.

Tìm tất cả các giá trị của $c$ thoả mãn điều kiện trên.

Câu 3a (0,75 điểm). Cho $a, b, c$ là ba số không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) = 2$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P = abc$.

Câu 3b (0,75 điểm). Cho $a, b, c$ là ba số không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) = 2$.

Chứng minh rằng $(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) \leq 1$.

Câu 4a (1,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $B$, $C$ cố định và $A$ thay đổi sao cho $AB < AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$, đường tròn đường kính $JD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$, khác $D$.

Chứng minh rằng $DB = DI$ và $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $JBC$.

Câu 4b (1,0 điểm). (Tiếp theo Câu 4, với $D$, $J$, $K$ như đã định nghĩa.) Gọi $E$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$, đường thẳng $JB$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$.

Chứng minh rằng $EF$ song song với $CJ$.

Câu 4c (1,0 điểm). (Tiếp theo Câu 4.) Trên $BK$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = MJ$.

Chứng minh rằng đường thẳng $JM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.