Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, Trường Phổ thông Năng khiếu, năm học 2026-2027 · THỬ
Câu 1/5·Đã trả lời 0/5
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2 điểm
**Bài 1. (2 điểm)**
1) Giải hệ phương trình
$$
\begin{cases}
x^3+z^3=3y,\\
y^3+x^3=3z,\\
z^3+y^3=3x.
\end{cases}
$$
2) Cho hai số nguyên dương $a,b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm:
$$
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b)x+ab+2\right]=0.$$
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Bài 3. (2 điểm)** Cho hai số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn
$$2a^2+a=3b^2-b.$$
a) Chứng minh rằng nếu $b$ là số nguyên tố thì $a=b$.
b) Chứng minh $2a-2b+1$ là số chính phương.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Bài 4. (3 điểm)** Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có tam giác $ABD$ là tam giác nhọn và đường chéo $AC$ đi qua tâm $O$ của đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm $BD$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABD$, $E$ là giao điểm khác $A$ của $AI$ với $(O)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AI$.
a) Chứng minh $CEHK$ là hình bình hành và $IB^2=ID^2=IA\cdot IK$.
b) Lấy điểm $F$ trên cung nhỏ $BD$ của đường tròn $(O)$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{DAI}$. Chứng minh các điểm $K$ và $F$ đối xứng nhau qua đường thẳng $BD$.
c) Chứng minh các đường phân giác trong của các góc $BAD$ và $BKD$ cắt nhau trên $BD$.
d) Trên đường thẳng qua $H$ và song song $AC$ lấy điểm $T$ sao cho $TH=TK$. Chứng minh các điểm $O,K,F,T$ cùng thuộc một đường tròn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Bài 5. (1,5 điểm)** Cho các số nguyên dương
$$a_1<a_2<a_3<\cdots<a_{30}<a_{31}.$$
Người ta ghi tất cả các số này lên $31$ chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên $16$ thẻ bất kỳ trong $31$ thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên $15$ thẻ còn lại. Chứng minh $a_1\ge 226$.
b) Lấy $a_1,a_2,\ldots,a_{31}$ là $31$ số nguyên dương đầu tiên: $1,2,\ldots,31$. Người ta bỏ $31$ thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
Cho hai số nguyên dương a,b phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm:
(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b)x+ab+2\right]=0.$$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho hai số thực không âm a,b thỏa a+b=2. Chứng minh
27≤a3+b31+ab3≤2ab7.
Bài 3. (2 điểm) Cho hai số tự nhiên a,b thỏa mãn
2a2+a=3b2−b.
a) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố thì a=b.
b) Chứng minh 2a−2b+1 là số chính phương.
Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABD, E là giao điểm khác A của AI với (O) và K là hình chiếu vuông góc của H lên AI.
a) Chứng minh CEHK là hình bình hành và IB2=ID2=IA⋅IK.
b) Lấy điểm F trên cung nhỏ BD của đường tròn (O) sao cho BAF=DAI. Chứng minh các điểm K và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD.
c) Chứng minh các đường phân giác trong của các góc BAD và BKD cắt nhau trên BD.
d) Trên đường thẳng qua H và song song AC lấy điểm T sao cho TH=TK. Chứng minh các điểm O,K,F,T cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. (1,5 điểm) Cho các số nguyên dương
a1<a2<a3<⋯<a30<a31.
Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh a1≥226.
b) Lấy a1,a2,…,a31 là 31 số nguyên dương đầu tiên: 1,2,…,31. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.