Làm thử Đề khảo sát chất lượng tháng 4 Toán vào lớp 10 · THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội)

Câu I. (1,5 điểm)

1) Một trạm khí tượng ghi lại lượng mưa (đơn vị: mm) trong $30$ ngày của một tháng tại một khu vực. Kết quả được trình bày trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau (các nhóm $[0;5)$, $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$, $[20;25)$ có tần số lần lượt là $4$, $7$, $12$, $5$, $2$):

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm ngày có lượng mưa từ $10\,mm$ đến dưới $15\,mm$.

2) Một hộp có $48$ chiếc thẻ cùng loại được ghi số từ $1$ đến $48$; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: "Số ghi trên thẻ được rút ra là ước của $90$".

Câu II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\dfrac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{8\sqrt{x}+6}{x-9}$ với $x\geq 0;\ x\neq 9$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$.

2) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$.

3) Cho $M=A\cdot B$. Tìm các số nguyên tố $x$ để biểu thức $M<2$.

Câu III. (2,5 điểm)

1) Một thang máy chở hàng trong một kho vận có tải trọng tối đa là $1200\,kg$. Người nhân viên kho nặng $75\,kg$ đang đứng trong thang máy và cần vận chuyển các thùng hàng lên tầng trên. Biết rằng mỗi thùng hàng đều có khối lượng là $45\,kg$. Hỏi nhân viên kho có thể mang theo tối đa bao nhiêu thùng hàng trong một chuyến thang máy để đảm bảo an toàn (tổng khối lượng không vượt quá tải trọng cho phép)?

2) Một nông trại nhập khẩu hai loại hạt giống: ngô và đậu tương. Trong một đợt nhập hàng, họ mua tổng cộng $60\,kg$ hạt giống. Biết giá của $1\,kg$ hạt ngô là $80$ nghìn đồng, giá của $1\,kg$ hạt đậu tương là $120$ nghìn đồng và tổng chi phí mua hàng là $5600$ nghìn đồng. Hỏi nông trại đã nhập bao nhiêu ki-lô-gam hạt ngô và bao nhiêu ki-lô-gam hạt đậu tương?

3) Biết phương trình $x^2-7x+5=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ (quy ước $x_1$ là nghiệm ứng với dấu "$-$" và $x_2$ là nghiệm ứng với dấu "$+$" trong công thức nghiệm, tức $x_1<x_2$). Tính giá trị của biểu thức $M=x_1^3+x_2^2-2x_2$.

Câu IV. (4,0 điểm)

1) Một ly nước có dạng hình trụ với bán kính đáy là $2\,cm$ và chiều cao là $12\,cm$ (lấy $\pi\approx3{,}14$ và coi chiều dày của ly nước không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của ly nước.

b) Lúc đầu ly chứa một lượng nước có chiều cao bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của ly. Người ta thả $6$ viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là $1\,cm$ vào ly thì thấy các viên bi chìm hoàn toàn trong nước và không có nước tràn ra ngoài. Hỏi mực nước trong ly dâng lên thêm bao nhiêu xăng-ti-mét?

2) Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $S$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ sao cho $SO>2R$. Từ $S$ vẽ hai tiếp tuyến $SA,SB$ với đường tròn $(O)$ ($A,B$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $SO$.

a) Chứng minh bốn điểm $S,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $SO$ vuông góc với $AB$ tại $H$ và $OA^2=OH\cdot OS$.

c) Lấy điểm $J$ thuộc đoạn thẳng $AH$ sao cho $AJ>JH$. Tia $SJ$ cắt $(O)$ tại $C$ ($J$ nằm giữa $S$ và $C$). Vẽ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $SC$ tại $M$ cắt $DO$ tại $K$. Chứng minh $\angle OCH=\angle HBK$ và đường thẳng $HK$ song song với đường thẳng $AD$.

Câu V. (0,5 điểm) Cho hai chiếc ly $A$ và $B$ có dạng hình nón giống hệt nhau với chiều cao $h=12\,cm$. Ly $A$ đựng lượng nước có chiều cao $h_1$, ly $B$ đựng lượng nước có chiều cao $h_2$ (biết $0<h_1<h$; $0<h_2<h$). Người ta đổ hết nước từ ly $A$ vào ly $B$ thì lượng nước trong ly $B$ lúc này vừa vặn đầy đến miệng ly và không tràn ra ngoài. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=h_1+h_2$.