Làm thử Thi thử vào lớp 10 · Toán · Xã Ngọc Hồi (Hà Nội) · Khảo sát tháng 5/2026

Bài I (1,5 điểm)

1) Sau khi điều tra về thời gian đi từ nhà đến trường của $40$ học sinh lớp 9A, ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:

Tìm tần số tương đối ghép nhóm và tần số ghép nhóm của nhóm $[10;20)$.

2) Một túi đựng $5$ viên bi có cùng khối lượng và kích thước như nhau, được đánh số $1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$. Xét phép thử "Lấy ngẫu nhiên cùng lúc hai viên bi từ trong túi" và biến cố $A$: "Tích của hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn $10$". Tính xác suất của biến cố $A$.

Bài II (1,5 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}+\dfrac{x+4\sqrt{x}-9}{x-3\sqrt{x}}$ (với $x>0;\ x\ne 9$).

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=169$.

2) Chứng minh $B=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$.

3) Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P=B:A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài III (2,5 điểm)

1) Nhân dịp nghỉ hè, gia đình bác Cường và bác Thành rủ nhau đi du lịch bằng máy bay. Biết gia đình bác Cường có $2$ người lớn và $2$ trẻ em mua vé hết $3\,900\,000$ đồng, gia đình bác Thành có $4$ người lớn và $3$ trẻ em mua vé hết $7\,100\,000$ đồng. Hỏi giá vé máy bay của một người lớn và giá vé máy bay của một trẻ em là bao nhiêu?

2) Hưởng ứng Tháng Thanh niên năm 2026, kỷ niệm 95 năm Ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3/1931 - 26/3/2026), chi đoàn trường THCS A dự định trồng được $600$ cây xanh trong một thời gian quy định. Do mỗi ngày chi đoàn trồng được nhiều hơn dự định là $30$ cây nên thời gian hoàn thành công việc sớm hơn dự định $1$ ngày. Tính số ngày mà chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc.

3) Cho phương trình bậc hai $x^2-ax-4=0$ có hai nghiệm $x_1,\ x_2$ thỏa mãn hệ thức $x_1-3x_1x_2+x_2=5$. Tính giá trị của biểu thức $T=x_1x_2^2-4x_1$.

Bài IV (4,0 điểm)

1) Một bình nước có dạng hình trụ với chiều cao $25$ cm và đường kính đáy $8$ cm. Cột nước hiện có trong bình cao $10$ cm. Lấy $\pi\approx 3{,}14$.

(Hình vẽ: một bình hình trụ đứng, chiều cao cả bình ghi $25$ cm, đường kính đáy ghi $8$ cm; phần nước tô xanh ở đáy bình cao $10$ cm.)

a) Tính thể tích nước hiện có trong bình, coi độ dày thành bình là không đáng kể.

b) Bạn An mở vòi nước để rót vào bình, biết rằng lượng nước chảy vào bình mỗi giây là $20$ ml. Hỏi sau bao lâu cột nước còn cách miệng bình $5$ cm?

2) Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn ($C$ khác $A$, $B$) sao cho $AC<BC$. Kẻ $OH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Tiếp tuyến tại $B$ của nửa đường tròn $(O)$ cắt tia $OH$ tại điểm $D$. Đường thẳng $AD$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E$ khác $A$).

a) Chứng minh tứ giác $BDEH$ là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ $CK$ vuông góc với $AB$ tại $K$, $AD$ cắt các đường thẳng $BC$, $CK$ lần lượt tại $F$ và $I$. Chứng minh $\widehat{ACI}=\widehat{BEH}$ và $IH\parallel AB$.

c) Kẻ $AM$ vuông góc với đường thẳng $EK$ tại $M$. Chứng minh $MF$ là tia phân giác của $\widehat{IMD}$.

(Ghi chú biên tập: dựng hình theo đúng giả thiết và kiểm tra bằng tọa độ tại nhiều vị trí của $C$ thì $MF$ nói chung không chia đôi $\widehat{IMD}$; điều đúng là $ME$ (tức đường thẳng $MK$) là tia phân giác của $\widehat{FMD}$.)

Bài V (0,5 điểm)

Một miếng nhôm mỏng có dạng hình tam giác $ABC$ đều, cạnh là $16$ dm. Thợ làm bảng hiệu cắt một hình chữ nhật $MNPQ$ từ miếng nhôm để làm bảng hiệu cho cửa hàng bán quần áo (với $M$, $N$ thuộc cạnh $BC$; $P$, $Q$ lần lượt thuộc cạnh $AC$ và $AB$). Hỏi diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất bằng bao nhiêu?

(Hình vẽ: bên trái là miếng nhôm hình tam giác đều tô xám; bên phải là tam giác đều $ABC$ với hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp, $M$, $N$ nằm trên cạnh đáy $BC$, $Q$ trên $AB$, $P$ trên $AC$.)