Làm thử Thi thử vào lớp 10 · Toán · Phường Xuân Phương (Hà Nội) · 2026-2027

Bài I (1,5 điểm)

1. Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của $150$ khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:

(Biểu đồ cột "Biểu đồ Tần suất Thống kê": trục ngang là số tiền (nghìn đồng) chia thành các nhóm $[150;300)$, $[300;450)$, $[450;600)$, $[600;750)$, $[750;900)$; trục đứng là tần số $n$ với các cột cao lần lượt $18$, $25$, $42$, $36$, $32$; một đường nét đứt nằm ngang ghi "Tần số trung bình (30)".)

a) Tìm tần số của nhóm $[750;\ 900)$.

b) Tìm tỉ số phần trăm của nhóm khách hàng có hoá đơn mua hàng dưới $450$ nghìn đồng so với tổng số khách hàng được khảo sát.

2. Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lớn hơn $10$ và nhỏ hơn $51$. Tính xác suất của biến cố $A$: "Số tự nhiên được viết ra là số có hai chữ số giống nhau".

Bài II (1,5 điểm)

Cho biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{x-1}$ với $x\ge 0;\ x\ne 1$.

1. Tính giá trị biểu thức $A$ tại $x=9$.

2. Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

3. Cho $P=A.B$. Tìm các giá trị của $x$ để $P^2=P$.

Bài III (2,5 điểm)

1. Cận thị học đường là tật khúc xạ phổ biến ở học sinh. Lớp 9A có $40$ học sinh trong đó có $60\%$ số học sinh nam và $40\%$ số học sinh nữ không bị cận thị. Biết tổng số học sinh nam và học sinh nữ không bị cận thị là $19$ học sinh. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A.

2. Bạn Lan mang $300\,000$ đồng đi mua bút bi cho lớp. Biết giá mỗi chiếc bút bi là $7\,000$ đồng. Bạn Lan mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút bi?

3. Biết phương trình $x^2-8x+4=0$ có hai nghiệm $x_1;\ x_2$. Tính giá trị biểu thức $Q=\left(x_1-x_2\right)^2$.

Bài IV (4,0 điểm)

1. Trong rạp chiếu phim, người ta thường thấy có một khu vực chuyên bán bỏng ngô phục vụ cho khách trong quá trình thưởng thức bộ phim. Loại cốc đựng bỏng ngô thường được làm bằng giấy. Cốc chỉ có đáy, không có nắp, dạng hình trụ có chiều cao $20$ cm và bán kính đáy $5$ cm như hình bên. (Lấy $\pi\approx 3{,}14$ và coi chiều dày của cốc không đáng kể).

(Đề gốc ghi "như hình bên" nhưng bản PDF không in hình chiếc cốc; cốc là một hình trụ có đáy, không có nắp, cao $20$ cm, bán kính đáy $5$ cm.)

a) Tính thể tích của cốc đựng bỏng ngô.

b) Tính diện tích giấy để làm $200$ chiếc cốc như trên.

2. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Kẻ tiếp tuyến $Bx$ với $(O)$. Lấy điểm $M$ trên tia $Bx$ $(M\ne B)$, $AM$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $N$ $(N\ne A)$. Kẻ $OE$ vuông góc với $AN$ tại $E$.

a) Chứng minh bốn điểm $E, O, B, M$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ tại $N$ cắt tia $OE$ tại $K$ và cắt $MB$ tại $D$. Chứng minh $KA$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ và $\widehat{EBO}=\widehat{DOM}$.

c) Kẻ $NH\perp AB$ $(H\in AB)$. Đường thẳng $NH$ cắt đường thẳng $KO$ tại $P$, cắt $OD$ tại $Q$. Đường thẳng $AQ$ cắt đường thẳng $PB$ tại $S$. Chứng minh $K, N, S$ thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm)

Bác Hà có một mảnh vườn hình tam giác bên cạnh một dòng suối (dòng suối coi như một đường thẳng). Bác cần rào mảnh vườn đó và sử dụng hai đoạn hàng rào tạo thành góc vuông (hình bên). Cạnh huyền của tam giác được tạo bởi dòng suối và bác không làm hàng rào dọc theo cạnh này. Chi phí làm hàng rào cho hai cạnh góc vuông lần lượt là $500\,000$ đồng/m và $400\,000$ đồng/m. Biết bác Hà đã dùng $10\,000\,000$ đồng làm hàng rào để được mảnh vườn có diện tích lớn nhất có thể. Hỏi diện tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

(Hình vẽ: một khu đất có đường viền cong, mép bên phải giáp một dòng suối thẳng ghi "Dòng suối qua vườn"; mảnh vườn là tam giác tô đen nằm sát dòng suối, hai cạnh góc vuông quay vào phía trong khu đất, cạnh huyền nằm dọc theo dòng suối.)