Làm thử Đề khảo sát chất lượng Toán tháng 12 · THCS Phú Diễn (Hà Nội) · Vào lớp 10 · 2026–2027

Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = 2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{98}$

b) $B = \sqrt{56} : \sqrt{8} + \sqrt{(4-\sqrt{7})^2}$

c) $C = \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1} + \dfrac{1}{\sqrt{3}-2} + \dfrac{6}{\sqrt{6}} + 1$

d) $M = \dfrac{x-25}{x+5\sqrt{5}}$ với $x \geq 0$

Câu 2 (2,0 điểm). Giải các hệ phương trình, phương trình, bất phương trình sau:

a) $A = 2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{98}$

b) $\sqrt{4(x-5)} + \sqrt{9x-45} = \dfrac{10}{3}$

c) $\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5} = \dfrac{1}{3}$

d) $\dfrac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \geq 0$

Câu 3 (2,0 điểm). Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

1) Gia đình bạn Nam có một khu vườn hình chữ nhật để trồng rau sạch. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích khu vườn tăng $84\ m^2$. Nếu giảm cả chiều dài và rộng đi 1 m để làm lối đi xung quanh thì diện tích khu vườn giảm $31\ m^2$. Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn ban đầu?

2) Để kịp thời chuyển 36 tấn hàng cứu trợ vào vùng lũ, đội vận chuyển đã huy động một số xe tải, dự định chia đều số hàng cho các xe. Ngay trước lúc khởi hành, địa phương điều động hỗ trợ thêm 3 xe nữa, nhờ vậy lượng hàng phải chở trên mỗi xe giảm xuống 1 tấn so với kế hoạch ban đầu. Hỏi ban đầu đội vận chuyển đã chuẩn bị bao nhiêu xe?

Câu 4 (3,5 điểm).

1) Tính diện tích phần viền tráng men xanh của đĩa sứ trong hình vẽ bên (kết quả làm tròn đến phần nguyên đơn vị cm; $\pi \approx 3{,}14$).

(Hình vẽ: đĩa sứ hình tròn có viền trang trí (men xanh) là một hình vành khăn — đường kính vòng tròn trong (đáy đĩa) là 14 cm, đường kính vòng tròn ngoài (kể cả viền) là 20 cm.)

2) Cho $\triangle ABC\ (AB<AC)$, có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh 4 điểm $B, D, C, E$ cùng thuộc một đường tròn và $ED < BC$.

b) Chứng minh: $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ và $OE \perp EI$.

c) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AI$ cắt $DE$ tại $S$. Chứng minh $SA \parallel BC$.

Câu 5 (0,5 điểm).

Câu lạc bộ Mỹ thuật của một trường THCS đang chuẩn bị gian hàng gây quỹ tại "Ngày hội Sách và Sáng tạo năm 2025". Câu lạc bộ quyết định làm hai loại thiệp chúc mừng handmade để bán gây quỹ ủng hộ trẻ em vùng cao. Thời gian làm thiệp mẫu A (thiệp 3D, cắt giấy cầu kì) gấp hai lần thời gian làm thiệp mẫu B (thiệp 2D trang trí đơn giản). Nếu chỉ làm thiệp mẫu B, trong 1 giờ hoàn thành được 60 thiệp. Trong một ngày câu lạc bộ có 8 giờ làm việc. Ban tổ chức dự báo lượng khách và cho phép câu lạc bộ bày bán tối đa 200 thiệp mẫu A và 240 thiệp mẫu B trong mỗi ngày hội. Tiền lãi thu được khi bán một sản phẩm thiệp mẫu A là 24 000 đồng/thiệp. Thiệp mẫu B 18 000 đồng/thiệp. Hỏi: Trong một ngày hội, câu lạc bộ cần làm bao nhiêu thiệp mẫu A và mẫu B để thu được số tiền lãi cao nhất.