Làm thử Khảo sát chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT 2026 · Toán 12 · Sở GD&ĐT Ninh Bình (lần 3)

Hàm số $F\left(x\right)=\ln x$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $\left(0;+\infty\right)$?

Nghiệm của phương trình $\cot\left(3x-45^{\circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Biết $\displaystyle\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 2026$, giá trị của $\displaystyle\int_{b}^{a} 2f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$ là

Nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x-1\right)=3$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-1;5\right]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[-1;5\right]$. Giá trị của $M-m$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{4-y}{5}=\dfrac{z+1}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=-2$ và công bội $q=3$. Số hạng $u_2$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$. Hình chiếu của đường thẳng $SC$ trên mặt phẳng $ABCD$ là đường thẳng

Tại một hội thảo quốc tế có $50$ nhà khoa học, trong đó có $31$ người thành thạo tiếng Anh, $21$ người thành thạo tiếng Pháp và $5$ người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là một phương trình mặt cầu?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=\left(5;3;-2\right)$ và $\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{k}-\vec{j}$. Tìm toạ độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật. Sau đó cứ mỗi tháng, các em sẽ được kiểm tra lại để xem còn nhớ bao nhiêu phần trăm số loài động vật có trong danh sách. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình $M$ của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M\left(t\right)=75-20\ln\left(t+1\right)$, $0\le t\le 12$ (đơn vị: %).

Mệnh đề a) Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau $6$ tháng là $36\%$ (kết quả đã làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật. Sau đó cứ mỗi tháng, các em sẽ được kiểm tra lại để xem còn nhớ bao nhiêu phần trăm số loài động vật có trong danh sách. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình $M$ của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M\left(t\right)=75-20\ln\left(t+1\right)$, $0\le t\le 12$ (đơn vị: %).

Mệnh đề b) Hàm số $y=M\left(t\right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[0;12\right]$.

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật. Sau đó cứ mỗi tháng, các em sẽ được kiểm tra lại để xem còn nhớ bao nhiêu phần trăm số loài động vật có trong danh sách. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình $M$ của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M\left(t\right)=75-20\ln\left(t+1\right)$, $0\le t\le 12$ (đơn vị: %).

Mệnh đề c) Công thức tìm $t$ khi biết $M$ là $t=e^{75-M}-1$.

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật. Sau đó cứ mỗi tháng, các em sẽ được kiểm tra lại để xem còn nhớ bao nhiêu phần trăm số loài động vật có trong danh sách. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình $M$ của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M\left(t\right)=75-20\ln\left(t+1\right)$, $0\le t\le 12$ (đơn vị: %).

Mệnh đề d) Sau ít nhất $10$ tháng thì khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó còn dưới $25\%$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left(1;2;-1\right)$, $B\left(2;0;1\right)$, $C\left(0;1;2\right)$ và $D\left(1;1;1\right)$.

Mệnh đề a) Gọi $DH$ là đường cao của tứ diện. Một vectơ chỉ phương của $DH$ là $\vec{u}=\left(4;5;3\right)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left(1;2;-1\right)$, $B\left(2;0;1\right)$, $C\left(0;1;2\right)$ và $D\left(1;1;1\right)$.

Mệnh đề b) Côsin góc tạo bởi đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $\dfrac{\sqrt{10}}{50}$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left(1;2;-1\right)$, $B\left(2;0;1\right)$, $C\left(0;1;2\right)$ và $D\left(1;1;1\right)$.

Mệnh đề c) Phương trình của mặt cầu tâm $D$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}+\left(z-1\right)^{2}=50$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left(1;2;-1\right)$, $B\left(2;0;1\right)$, $C\left(0;1;2\right)$ và $D\left(1;1;1\right)$.

Mệnh đề d) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Nếu $\left(P\right)$ có phương trình dạng $ax+by+cz-2=0$ là mặt phẳng đi qua điểm $G$ và cách điểm $D$ một khoảng cách lớn nhất thì $a+2b+3c=9$.

Độ tuổi của người đi xem một bộ phim mới tại một rạp chiếu phim được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Mệnh đề a) Giá trị đại diện của nhóm $\left[50;60\right)$ là $60$.

Độ tuổi của người đi xem một bộ phim mới tại một rạp chiếu phim được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Mệnh đề b) Độ tuổi được dự báo ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm $\left[50;60\right)$.

Độ tuổi của người đi xem một bộ phim mới tại một rạp chiếu phim được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Mệnh đề c) Nhóm chứa mốt là nhóm $\left[30;40\right)$.

Độ tuổi của người đi xem một bộ phim mới tại một rạp chiếu phim được ghi lại trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Mệnh đề d) Độ tuổi được dự báo xem phim đó nhiều nhất là $31$ tuổi.

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100\,\mathrm{m}^{2}$ đang chứa $1000\,\mathrm{m}^{3}$ hoá chất lỏng. Do sự cố, hoá chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hoá chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h\left(t\right)$ còn lại trong bồn: $v_r\left(t\right)=10\sqrt{h\left(t\right)}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b\left(t\right)=\dfrac{200}{t+1}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Gọi $V\left(t\right)$ là thể tích hoá chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V\left(0\right)=1000\,\mathrm{m}^{3}$.

Mệnh đề a) Tại thời điểm bắt đầu sự cố $\left(t=0\right)$, tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hoá chất trong bồn là $231{,}6$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$ (kết quả đã làm tròn đến hàng phần mười).

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100\,\mathrm{m}^{2}$ đang chứa $1000\,\mathrm{m}^{3}$ hoá chất lỏng. Do sự cố, hoá chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hoá chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h\left(t\right)$ còn lại trong bồn: $v_r\left(t\right)=10\sqrt{h\left(t\right)}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b\left(t\right)=\dfrac{200}{t+1}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Gọi $V\left(t\right)$ là thể tích hoá chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V\left(0\right)=1000\,\mathrm{m}^{3}$.

Mệnh đề b) Mối liên hệ giữa chiều cao $h\left(t\right)$ và thời gian $t$ được xác định bởi hệ thức $h'=-0{,}1\sqrt{h}-\dfrac{2}{t+1}$.

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100\,\mathrm{m}^{2}$ đang chứa $1000\,\mathrm{m}^{3}$ hoá chất lỏng. Do sự cố, hoá chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hoá chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h\left(t\right)$ còn lại trong bồn: $v_r\left(t\right)=10\sqrt{h\left(t\right)}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b\left(t\right)=\dfrac{200}{t+1}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Gọi $V\left(t\right)$ là thể tích hoá chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V\left(0\right)=1000\,\mathrm{m}^{3}$.

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100\,\mathrm{m}^{2}$ đang chứa $1000\,\mathrm{m}^{3}$ hoá chất lỏng. Do sự cố, hoá chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hoá chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h\left(t\right)$ còn lại trong bồn: $v_r\left(t\right)=10\sqrt{h\left(t\right)}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b\left(t\right)=\dfrac{200}{t+1}$ $\left(\mathrm{m}^{3}/\text{giờ}\right)$. Gọi $V\left(t\right)$ là thể tích hoá chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V\left(0\right)=1000\,\mathrm{m}^{3}$.

Mệnh đề d) Nếu bỏ qua sự bốc hơi $\left(v_b=0\right)$ thì bồn sẽ cạn sạch hoá chất $\left(h=0\right)$ sau đúng $20$ giờ.

Một công ty xây dựng cần xếp các ống thép hình trụ thành một chồng trong kho. Hàng dưới cùng có $50$ ống, hàng thứ hai có $49$ ống, hàng thứ ba có $48$ ống, … Cứ như thế, mỗi hàng phía trên ít hơn hàng ngay phía dưới là $1$ ống và hàng trên cùng có $21$ ống. Biết giá tiền nhập kho của mỗi ống thép là $250.000$ đồng. Tính tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số ống thép trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Trước thềm trận bóng đá giữa đội tuyển A và đội tuyển B, một đài truyền hình thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ, với $20\%$ số người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu của một trong hai đội. Kết quả khảo sát cho thấy $60\%$ số người được phỏng vấn trả lời sẽ xem, số người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, số liệu thực tế sau trận đấu cho thấy có sự sai lệch giữa câu trả lời và hành động thực: trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $90\%$; trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự xem không xem là $85\%$. Biết rằng trong số những người được phỏng vấn đang mặc áo thi đấu, tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là $85\%$, gọi tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong số những người không mặc áo thi đấu là $a\%$. Tìm $a$ (kết quả $a$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp sản xuất linh kiện công nghệ cao đang giữ vị thế độc quyền trên thị trường và luôn bán hết số sản phẩm sản xuất ra. Với $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất ra $\left(0<x<3520\right)$ thì giá bán của một sản phẩm được cho bởi công thức $P\left(x\right)=1760-0{,}5x$ (tính bằng USD) và tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi công thức $C\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^{3}-10x^{2}+200x+1000$ (tính bằng USD). Chính phủ dự định áp dụng chính sách thuế bằng cách thu của doanh nghiệp một khoản thuế là $t$ (USD) trên mỗi sản phẩm bán ra. Khi đó, doanh nghiệp sẽ điều chỉnh sản lượng $x$ để đạt lợi nhuận tối đa ứng với mức thuế $t$. Xác định mức thuế $t$ (USD) mà Chính phủ nên áp đặt để tổng số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp này là lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, hai thanh dầm của một mái nhà được biểu diễn bởi hai đường thẳng lần lượt có phương trình
$d_1:\begin{cases}x=1\\ y=1-2t_1\\ z=1+t_1\end{cases}\left(t_1\in\mathbb{R}\right)\quad\text{và}\quad d_2:\begin{cases}x=0\\ y=-2+4t_2\\ z=1-2t_2\end{cases}\left(t_2\in\mathbb{R}\right).$
Một máng nước nằm ở mép của mái nhà và vuông góc với hai thanh dầm này được biểu diễn bởi đường thẳng có vectơ chỉ phương có toạ độ là $\left(a;b;6\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=7a+5b$.

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi đường parabol $\left(P\right):y=x^{2}$ và đường thẳng $y=h$ $\left(h>0\right)$ quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục toạ độ là mm. Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (xem hình vẽ). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $\mathrm{mm}^{3}$, không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, bỏ qua độ dày của vỏ).

Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể (Lithotripter) hoạt động dựa trên tính chất phản xạ của elip. Thiết bị có một mặt phản xạ dạng nửa elip. Khi hoạt động, nguồn phát sóng xung kích được đặt tại một tiêu điểm $F_1$ của elip, còn viên sỏi cần phá được đặt tại tiêu điểm còn lại $F_2$. Theo tính chất của elip, mọi tia sóng phát ra từ $F_1$ sau khi phản xạ trên mặt elip đều hội tụ tại $F_2$, tạo ra năng lượng đủ lớn để phá vỡ viên sỏi mà không cần phẫu thuật.

Một thiết bị tán sỏi có mặt phản xạ là một nửa đường elip với độ dài trục lớn bằng $20\,\mathrm{cm}$ và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm bằng $8\,\mathrm{cm}$. Xét một tia sóng phát ra từ nguồn $F_1$, theo phương vuông góc với trục lớn, cắt mặt phản xạ tại điểm $M$ rồi truyền đến viên sỏi tại tiêu điểm $F_2$. Hãy tính độ dài quãng đường $MF_2$ (đơn vị: cm).