Làm thử Khảo sát chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT 2026 · Toán · THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội)

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng $3$ thì có phương sai bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

(Hình vẽ: đồ thị bậc ba có nhánh bên phải đi lên, đi qua điểm $(0;1)$, đạt cực đại khoảng bằng 2 tại một điểm bên trái trục $Oy$, đạt cực tiểu ở bên phải trục $Oy$ sát trục hoành gần $x=1$, và cắt trục hoành tại một điểm nằm giữa $-2$ và $-1$.)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a=(2;3;3)$, $\vec b=(0;-2;-1)$, $\vec c=(1;-2;1)$. Khi đó tọa độ của vectơ $\vec u=2\vec a+\vec b-\vec c$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

(Hình vẽ: đồ thị bậc ba đạt cực đại tại điểm $(0;2)$, cắt trục hoành tại $x=1$, đạt cực tiểu tại điểm $(2;-2)$ rồi đi lên.)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[-2;2]$ như hình vẽ.

(Hình vẽ: đồ thị xuất phát từ điểm $(-2;-4)$, đi lên theo một đoạn thẳng tới điểm cao nhất có tung độ 1 (hoành độ nằm giữa $-2$ và $0$), đi xuống qua điểm $(0;-2)$, xuống thấp hơn $-2$ một chút nhưng vẫn cao hơn $-4$, rồi đi lên và kết thúc tại điểm $(2;-2)$.)

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó $M-m$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2;1;-3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;1;-3)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a=(2;-2;6)$. Khi đó độ dài của vectơ $\vec a$ là

Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a=(2;3;3)$, $\vec b=(3;2;-1)$. Khi đó tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b$ bằng

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$.

Ý a) Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(a;b)$. Khi đó, ta có $a^2+b=12$.

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$.

Ý b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=x-2$.

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$.

Ý c) Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=2$ cắt hai đường tiệm cận tại $A,B$. Diện tích tam giác $IAB$ bằng 12.

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$.

Ý d) Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}=m$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2<15$.

Mực nước $h$ (đơn vị: mét) tại một cảng biển sau $t$ giờ tính từ thời điểm nửa đêm được xác định bởi công thức $h(t)=4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)+10$ với $0\le t\le24$.

Ý a) Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là 15 mét.

Mực nước $h$ (đơn vị: mét) tại một cảng biển sau $t$ giờ tính từ thời điểm nửa đêm được xác định bởi công thức $h(t)=4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)+10$ với $0\le t\le24$.

Ý b) Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h'(t)=-\dfrac{2\pi}{3}\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Mực nước $h$ (đơn vị: mét) tại một cảng biển sau $t$ giờ tính từ thời điểm nửa đêm được xác định bởi công thức $h(t)=4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)+10$ với $0\le t\le24$.

Ý c) Trong một ngày (với $0\le t\le24$), mực nước thấp nhất là 6 mét và mực nước này xuất hiện tại hai thời điểm khác nhau.

Mực nước $h$ (đơn vị: mét) tại một cảng biển sau $t$ giờ tính từ thời điểm nửa đêm được xác định bởi công thức $h(t)=4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)+10$ với $0\le t\le24$.

Ý d) Phương trình $h'(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D'(0;3;-3)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

Ý a) Diện tích tam giác $A'B'C$ bằng $4{,}5$ (đvdt).

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D'(0;3;-3)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

Ý b) Tọa độ của điểm $C$ là $C(-3;-3;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D'(0;3;-3)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

Ý c) Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'G$ là $60^\circ$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D'(0;3;-3)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

Ý d) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $B'BD'$ là $(2;1;-2)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^\circ$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt3$.

Ý a) Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $[S,CD,A]$, khi đó $\tan\alpha=\dfrac{2}{3}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^\circ$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt3$.

Ý b) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $8a^3$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^\circ$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt3$.

Ý c) Góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $\widehat{BSH}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^\circ$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt3$.

Ý d) Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD$, $BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Một chi tiết máy mẫu bằng nhựa đúc đặc có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng $20\ \text{cm}$. Do bị lỗi kỹ thuật, bên trong chi tiết này có một khoang rỗng. Để kiểm tra, kỹ sư thả chìm hoàn toàn chi tiết máy vào một bể chứa dung dịch chống gỉ có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $30\ \text{cm}$. Khi đó, mực dung dịch trong bể dâng thêm $2\ \text{cm}$ và dung dịch đã tràn vào và lấp đầy khoang rỗng bên trong. Sau khi vớt chi tiết ra và lau khô bề mặt, khối lượng của nó tăng thêm $160$ gam so với ban đầu. Biết khối lượng riêng của dung dịch là $0{,}8\ \text{gam/cm}^3$. Hãy tính độ dài cạnh bên của hình chóp nói trên (đơn vị cm, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

(Hình vẽ: bể hình hộp chứa dung dịch, bên trong chìm một khối chóp có khoang rỗng.)

Cho hàm số $y=g(x)=\ln\dfrac{(x-2)^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}$. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có $9$ khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ $1$ đến $9$ theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có $9$ cạnh. Do sai số chế tạo, $9$ cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ $1$ đến $9$ gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• Chia $9$ cánh quạt thành $3$ nhóm (mỗi nhóm $3$ cánh).
• Mỗi nhóm được lắp vào $3$ khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng $3$ khe theo vòng tròn).
• Tổng khối lượng của $3$ cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp $9$ cánh quạt vào $9$ khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên? (Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor.)

(Hình vẽ: ảnh một rotor có 9 khe cắm và sơ đồ chín khe đánh số 1 đến 9 là các đỉnh của một đa giác đều chín cạnh nội tiếp đường tròn.)

Một nông trại dâu tây sạch tại Đà Lạt (Bên A) ký hợp đồng cung cấp độc quyền cho một chuỗi cửa hàng tại TP.HCM (Bên B). Dựa trên dữ liệu thị trường, Bên B dự tính rằng nếu mỗi ngày nhập và bán hết $x$ ki-lô-gam (kg) dâu tây $(0<x<150)$, thì tổng doanh thu bán lẻ là $R(x)=300x-x^2$ (nghìn đồng). Tuy nhiên, để vận hành việc bán hàng (bảo quản, nhân sự, mặt bằng…), Bên B phải chịu chi phí vận hành (không bao gồm tiền nhập hàng) là $C(x)=x^2+20x+500$ (nghìn đồng). Bên A sẽ quyết định mức giá bán sỉ là $p$ cho Bên B. Giả sử Bên B là đơn vị kinh doanh tối ưu, họ sẽ luôn chọn lượng nhập hàng là $x$ sao cho lợi nhuận thu được là cao nhất ứng với mức giá $p$. Hãy xác định mức giá sỉ $p$ (nghìn đồng) mà nông trại nên thiết lập để tổng doanh thu của nông trại từ việc bán hàng cho Bên B là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(Hình minh họa: nông trại dâu tây ở Đà Lạt.)

Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với đáy là hình vuông cạnh $20\ \text{cm}$ và chiều cao $80\ \text{cm}$. Mặt $A'B'C'D'$ là mặt dưới, còn $ABCD$ là mặt trên.

(Hình vẽ: hình hộp chữ nhật đứng, cạnh đáy 20 cm, chiều cao 80 cm, với một đường gấp khúc minh họa đi từ $A'$ trên các mặt bên, chạy zích zắc qua lại trên mặt $BCC'B'$.)

Một con kiến xuất phát từ điểm $A'$ và bò trên bề mặt xung quanh của tòa nhà để đến đích là điểm $A$ (như hình minh họa). Đường đi của con kiến là một đường gấp khúc liên tục, nằm hoàn toàn trên bốn mặt bên (không đi trên mặt trên và mặt dưới), không trùng với các cạnh của hình hộp và lần lượt cắt các cạnh theo đúng thứ tự: $BB'$, $CC'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$. Biết rằng con kiến chạm vào cạnh $BB'$ tại các điểm cách $B'$ một khoảng không nhỏ hơn $16\ \text{cm}$ và chạm vào cạnh $CC'$ tại các điểm cách $C$ một khoảng không lớn hơn $16\ \text{cm}$. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con kiến đi (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo là cm).

Chọn ngẫu nhiên $5$ số phân biệt từ tập hợp $X=\{2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20\}$ để xếp vào $5$ ô $A,B,C,D,O$ như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi $Y$ là biến cố "Số 13 ở ô $O$ và tổng các số ở ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở ô $B,O,D$". Biết xác suất của biến cố $Y$ là $P(Y)=\dfrac{a}{b}$ (với $a,b\in\mathbb{N}$; $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

(Hình vẽ: ô $O$ ở giữa, nối với bốn ô $A$ phía trên, $C$ phía dưới, $B$ bên trái, $D$ bên phải.)