Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Hà Nội · Toán chuyên · 2026

Câu I. (2,0 điểm)

1. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 125. Tính xác suất của biến cố $A$: "Số được chọn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp".

2. Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực thỏa mãn đồng thời $a+b+c=0$ và $a^{2}+c^{2}-4bc-2b+2=0$. Tính giá trị của biểu thức $M=abc$.

Câu II. (2,0 điểm)

1. Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số nguyên dương $a,\ b,\ c$ sao cho $n=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}{abc}$. Chứng minh $n$ chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.

2. Tìm tất cả cặp số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn $\dfrac{x^{3}+3}{x+2}=\dfrac{4y^{2}}{2y+1}$.

Câu III. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(n;p)$ thỏa mãn đồng thời $p$ là số nguyên tố và $4n^{2}+p^{3}+4p^{2}-8p-32$ chia hết cho $np+4n$.

2. Với $a,\ b,\ c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=2$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
   $P=\dfrac{bc+2a+1}{a^{2}+1}+\dfrac{ca+2b+1}{b^{2}+1}+\dfrac{ab+2c+1}{c^{2}+1}.$

Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$, có đường cao $AH$. Lấy điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AH$ sao cho $OH>OA$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$ tại điểm thứ hai $T$. Lấy điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AE>AT$. Đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$.

1. Chứng minh bốn điểm $A,\ E,\ N,\ C$ cùng thuộc một đường tròn.

2. Đường thẳng qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ tại điểm $K$. Gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $ET$. Chứng minh $\widehat{OFK}=90^{\circ}$.

3. Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$, đường tròn đường kính $NK$ và đường thẳng $TK$ cùng đi qua một điểm.

Câu V. (1,0 điểm) Xét số nguyên dương $n$ và tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots<a_{n}=2000$.

ii) Với mọi số tự nhiên $k$, $2\le k\le n$, tồn tại các số nguyên dương $i,\ j$ nhỏ hơn $k$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a_{k}=a_{i}+4a_{j}$.

1. Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp $S$ đều là số chẵn.

2. Tìm giá trị lớn nhất của $n$.