Tuyển sinh lớp 10 · THPT chuyên Đại học Vinh (Nghệ An) · Toán vòng 2 · 2026 · THỬ
Câu 1/5
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
5 điểm
**Câu 1.** (5,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn $x+y=x^{2}+y^{2}=x^{4}+y^{4}$.
b) Giải phương trình $2\left(x^{2}-x+1\right)^{2}+3x^{2}=2\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+3\left(x^{2}+1\right)^{2}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2.** (3,0 điểm)
a) Cho đa thức $P(x)=x^{2027}+ax^{5}+bx$. Tìm tất cả các số nguyên $a,b$ để $P(x)$ chia hết cho $2027$ với mọi số nguyên $x$.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $1+2^{p}+3^{p}$ là số chính phương.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3.** (2,0 điểm) Xét 3 số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4.** (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Điểm $M$ di động trên cạnh $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ cắt $AM$ tại điểm thứ hai là $N$.
a) Chứng minh rằng $AM\cdot AN=AB\cdot AF$.
b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $AM$.
c) Kẻ $MI,MJ$ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMF$, $CME$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $MH$ cắt $IJ$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên cạnh $BC$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5.** (3,0 điểm) Nhân dịp kỷ niệm 60 năm ngày thành lập trường, các bạn học sinh lớp 10 chuyên Toán - Tin cùng nhau làm một logo trang trí. Logo là mô hình số 60 được gắn đèn led tại 12 vị trí ô tròn cùng dây nối như hình bên.
*(Hình vẽ: chữ số 6 gồm 6 ô tròn xếp hai cột ba hàng, dây nối hàng trên, cạnh trái từ trên xuống dưới, hàng giữa, cạnh phải từ hàng giữa xuống dưới và hàng dưới; chữ số 0 gồm 6 ô tròn xếp hai cột ba hàng, dây nối thành khung chữ nhật đi qua cả 6 ô.)*
a) Trên mô hình số 6, ở mỗi vị trí ô tròn được lắp một bóng đèn có màu được chọn ngẫu nhiên là một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để không có hai bóng đèn kề nhau cùng màu (hai bóng đèn kề nhau là 2 bóng đã được nối với nhau bởi một đoạn dây không đi qua bóng đèn khác).
b) Sau khi đã gắn xong 12 bóng đèn led gồm 3 bóng màu xanh, 4 bóng màu đỏ và 5 bóng màu vàng vào 12 vị trí ô tròn trên mô hình số 60, các bạn học sinh cài đặt chương trình đổi màu cho các bóng đèn. Chương trình đổi màu là mỗi lần chọn 2 bóng khác màu rồi cùng được đổi sang màu còn lại. Hỏi có lúc nào đó cả 12 bóng đèn cùng một màu hay không?
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn x+y=x2+y2=x4+y4.
b) Giải phương trình 2(x2−x+1)2+3x2=2(x2+x+1)2+3(x2+1)2.
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Cho đa thức P(x)=x2027+ax5+bx. Tìm tất cả các số nguyên a,b để P(x) chia hết cho 2027 với mọi số nguyên x.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p để 1+2p+3p là số chính phương.
Câu 3. (2,0 điểm) Xét 3 số nguyên a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn a1+b1+c1=a+b+c1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2.
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. Điểm M di động trên cạnh BC (M khác B và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác CME cắt AM tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh rằng AM⋅AN=AB⋅AF.
b) Chứng minh rằng HN vuông góc với AM.
c) Kẻ MI,MJ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF, CME. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với MH cắt IJ tại S. Chứng minh rằng S luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Câu 5. (3,0 điểm) Nhân dịp kỷ niệm 60 năm ngày thành lập trường, các bạn học sinh lớp 10 chuyên Toán - Tin cùng nhau làm một logo trang trí. Logo là mô hình số 60 được gắn đèn led tại 12 vị trí ô tròn cùng dây nối như hình bên.
(Hình vẽ: chữ số 6 gồm 6 ô tròn xếp hai cột ba hàng, dây nối hàng trên, cạnh trái từ trên xuống dưới, hàng giữa, cạnh phải từ hàng giữa xuống dưới và hàng dưới; chữ số 0 gồm 6 ô tròn xếp hai cột ba hàng, dây nối thành khung chữ nhật đi qua cả 6 ô.)
a) Trên mô hình số 6, ở mỗi vị trí ô tròn được lắp một bóng đèn có màu được chọn ngẫu nhiên là một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để không có hai bóng đèn kề nhau cùng màu (hai bóng đèn kề nhau là 2 bóng đã được nối với nhau bởi một đoạn dây không đi qua bóng đèn khác).
b) Sau khi đã gắn xong 12 bóng đèn led gồm 3 bóng màu xanh, 4 bóng màu đỏ và 5 bóng màu vàng vào 12 vị trí ô tròn trên mô hình số 60, các bạn học sinh cài đặt chương trình đổi màu cho các bóng đèn. Chương trình đổi màu là mỗi lần chọn 2 bóng khác màu rồi cùng được đổi sang màu còn lại. Hỏi có lúc nào đó cả 12 bóng đèn cùng một màu hay không?