Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2 điểm
**Câu 1 (2,00 điểm).**
a) Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{x}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8}{x-4}$, với $x\ge 0,\ x\ne 4$.
b) Cho đa thức bậc ba $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ với hệ số nguyên. Biết $P\!\left(\sqrt{5}\right)=5$ và $P\!\left(\sqrt[3]{5}\right)=5\sqrt[3]{5}$. Tính $P(1)$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2 (2,00 điểm).**
a) Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$.
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 141 m². Nếu giảm chiều dài 4 m và giảm chiều rộng 5 m thì diện tích giảm đi 230 m². Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3 (1,50 điểm).**
a) Tìm tất cả các cặp số $(m,p)$ với $m$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức $p^{2}+pm=m^{3}$.
b) Tìm số tự nhiên $a$ để $(a^{2}-8)^{2}+36$ là số nguyên tố.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4 (3,00 điểm).** Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ cố định nằm trên đường tròn, $AB$ không là đường kính. Điểm $C$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn và $CA<CB$. Điểm $D$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $AB$. Kẻ đường kính $CI$ của đường tròn $(O)$, đường thẳng qua $B$ vuông góc với $CI$ cắt $CI$ tại $E$.
a) Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $CD\cdot CI=CA\cdot CB$ và $DE$ song song với $AI$.
c) Gọi $F$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $CI$. Chứng minh khi điểm $C$ di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DEF$ là một điểm cố định.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5 (1,50 điểm).**
a) Cho tập hợp $X$ gồm 2026 số nguyên tùy ý. Chứng minh tồn tại một tập hợp $T$ là tập hợp con của tập hợp $X$ sao cho tổng các phần tử của tập hợp $T$ chia hết cho 2026.
b) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh $(1+a)^{2}(1+b)^{3}(1+c)^{4}>256$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Rút gọn biểu thức A=x−2xx+x+22+x−48, với x≥0,x=4.
b) Cho đa thức bậc ba P(x)=ax3+bx2+cx+d với hệ số nguyên. Biết P(5)=5 và P(35)=535. Tính P(1).
Câu 2 (2,00 điểm).
a) Giải phương trình x2+12+5=3x+x2+5.
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 141 m². Nếu giảm chiều dài 4 m và giảm chiều rộng 5 m thì diện tích giảm đi 230 m². Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu 3 (1,50 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số (m,p) với m là số nguyên dương và p là số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p2+pm=m3.
b) Tìm số tự nhiên a để (a2−8)2+36 là số nguyên tố.
Câu 4 (3,00 điểm). Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đường tròn, AB không là đường kính. Điểm C di động trên cung lớn AB sao cho ABC là tam giác nhọn và CA<CB. Điểm D là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Kẻ đường kính CI của đường tròn (O), đường thẳng qua B vuông góc với CI cắt CI tại E.
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh CD⋅CI=CA⋅CB và DE song song với AI.
c) Gọi F là hình chiếu của điểm A trên CI. Chứng minh khi điểm C di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DEF là một điểm cố định.
Câu 5 (1,50 điểm).
a) Cho tập hợp X gồm 2026 số nguyên tùy ý. Chứng minh tồn tại một tập hợp T là tập hợp con của tập hợp X sao cho tổng các phần tử của tập hợp T chia hết cho 2026.
b) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh (1+a)2(1+b)3(1+c)4>256.