Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Đồng Nai · Toán chuyên · 2026

Bài 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{2\sqrt{x}-12}{x-3\sqrt{x}+2}-\dfrac{7}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{8}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,\ x\ne 1,\ x\ne 4$.

2. Cho phương trình $x^{2}-4x+m-2=0$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,\ x_2$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}-x_1x_2=3$.

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình $\begin{cases}3x^{3}-y^{3}=x-y\\ 2x^{2}+5xy+5y^{2}=1\end{cases}$.

2. Cho đa thức $P(x)$. Biết rằng, khi chia $P(x)$ cho đa thức $x$ ta được phần dư bằng $2026$ và khi chia $P(x)$ cho đa thức $x^{2}-1$ ta được đa thức dư là $5x+2044$. Tính $P(1)$ và tìm đa thức dư khi chia $P(x)$ cho đa thức $Q(x)=x\left(x^{2}-1\right)$.

Bài 3. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\ q$ sao cho $p^{2}+q^{2}+30$ là số chính phương.

2. Cho các số thực dương $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$. Chứng minh rằng:

a) $ab+bc+ca\le 3$.

b) $\dfrac{a}{\sqrt{2(a^{4}+7)}}+\dfrac{b}{\sqrt{2(b^{4}+7)}}+\dfrac{c}{\sqrt{2(c^{4}+7)}}\le\dfrac{3}{4}$.

Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có đường cao $AD$. Gọi $E,\ F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên các đường thẳng $AB,\ AC$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $BCFE$ nội tiếp.

2. Kẻ đường kính $AG$ của đường tròn $(O)$ và gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $GD$. Chứng minh rằng $IE=IF$.

3. Gọi $R$ là giao điểm của đường tròn $(O)$ và đường thẳng $AD$ $(R\ne A)$, đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $P,\ Q$. Chứng minh rằng $D$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $PQR$.

Bài 5. (1,0 điểm)

1. Trong hộp có 5 quả bóng, mỗi quả được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5 (hai quả bóng khác nhau ghi hai số khác nhau). Bạn An chọn ngẫu nhiên đồng thời hai quả bóng trong hộp. Tính xác suất để bạn An chọn được hai quả bóng có tổng bình phương của hai số ghi trên hai quả bóng là một số nguyên tố.

2. Cho bảng ô vuông $6\times 6$ (là bảng gồm 6 hàng và 6 cột, mỗi hàng và mỗi cột gồm 6 ô vuông) như hình vẽ bên dưới. Hỏi có thể ghi được hay không vào mỗi ô vuông của bảng một trong các số 1; 2; 3; 5 sao cho tổng các số trên mỗi hàng chia hết cho 11, đồng thời tổng các số trên mỗi cột chia hết cho 13?

(Hình vẽ: một bảng ô vuông trống gồm 6 hàng và 6 cột, chú thích "Bảng 6 × 6".)