Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Lào Cai · Toán chuyên · 2026 · THỬ
Câu 1/8
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 8 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2 điểm
**Câu 1.** *(2,0 điểm)*
**1.** Cho biểu thức $M=\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{14\sqrt{x}+6}{x+4\sqrt{x}+3}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\dfrac{-3\sqrt{x}+9}{x+3\sqrt{x}}\right)$ với $x>0,\ x\ne 9$.
a) Rút gọn biểu thức $M$.
b) Tìm tất cả các số thực $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.
**2.** Cho $a,\ b,\ c$ là ba số thực khác 0 thỏa mãn $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac{2026}{abc}$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{a^{2}+2bc-2026}+\dfrac{1}{b^{2}+2ca-2026}+\dfrac{1}{c^{2}+2ab-2026}=0.$$
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2.** *(1,0 điểm)* Cho phương trình $x^{2}-2x+m-1=0$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=20$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3.** *(0,5 điểm)* Cho 6 điểm phân biệt $A,B,C,D,E,F$ thứ tự nằm trên một đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Chọn ngẫu nhiên hai điểm trong các điểm đã cho và nối lại thành một đoạn thẳng. Tính xác suất để đoạn thẳng đó không phải là cạnh của lục giác $ABCDEF$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4.** *(1,0 điểm)* Thầy giáo An đi xe máy từ $A$ đến $B$ với một tốc độ không đổi. Khi từ $B$ trở về $A$ thầy quyết định tăng tốc độ thêm 10 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 24 phút. Biết quãng đường $AB$ dài 80 km. Tính tốc độ xe máy của thầy khi đi từ $A$ đến $B$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5.** *(0,5 điểm)* Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=2(a+b+c)$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+2c}+\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}+2a}+\dfrac{1}{c^{2}+a^{2}+2b}\le\dfrac14.$$
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 6.** *(1,0 điểm)*
a) Chứng minh rằng $A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+2026^{3}$ chia hết cho 2027.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $\left(x^{2}-x+1\right)\left(y^{2}-xy-5\right)=x+4$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 7.** *(3,5 điểm)* Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại $I$. Tia $AI$ cắt $(O)$ tại điểm $M$. Kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AI$ tại $I$, $d$ cắt các đường thẳng $BC,\ AB,\ AC$ lần lượt tại các điểm $S,\ E,\ F$. Đường thẳng $SM$ cắt $(O)$ tại điểm $K$ (khác $M$).
a) Chứng minh rằng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
b) Chứng minh rằng $\triangle MBI$ cân tại $M$.
c) Chứng minh rằng $SI^{2}=SB\cdot SC$ và $SM\perp IK$.
d) Đường thẳng $IK$ cắt $BC$ tại $H$. Tia $MH$ cắt $(O)$ tại $P$. Chứng minh rằng $APEF$ là tứ giác nội tiếp.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 8.** *(0,5 điểm)* Cho tập hợp $A=\{1;2;3;\ldots;100\}$. Chứng minh rằng với mọi cách lấy ra 51 số khác nhau từ tập $A$ thì luôn tồn tại hai số trong các số được lấy có tổng bằng 101.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 8 câu, AI chấm và phân tích ngay.
1. Cho biểu thức M=(x+12+x+33x−x+4x+314x+6):(xx−3+x+3x−3x+9) với x>0,x=9.
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các số thực x để M nhận giá trị nguyên.
2. Cho a,b,c là ba số thực khác 0 thỏa mãn a1+b1+c1=abc2026. Chứng minh rằng a2+2bc−20261+b2+2ca−20261+c2+2ab−20261=0.
Câu 2.(1,0 điểm) Cho phương trình x2−2x+m−1=0 với m là tham số. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x13+x23=20.
Câu 3.(0,5 điểm) Cho 6 điểm phân biệt A,B,C,D,E,F thứ tự nằm trên một đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Chọn ngẫu nhiên hai điểm trong các điểm đã cho và nối lại thành một đoạn thẳng. Tính xác suất để đoạn thẳng đó không phải là cạnh của lục giác ABCDEF.
Câu 4.(1,0 điểm) Thầy giáo An đi xe máy từ A đến B với một tốc độ không đổi. Khi từ B trở về A thầy quyết định tăng tốc độ thêm 10 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 24 phút. Biết quãng đường AB dài 80 km. Tính tốc độ xe máy của thầy khi đi từ A đến B.
Câu 5.(0,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=2(a+b+c). Chứng minh rằng a2+b2+2c1+b2+c2+2a1+c2+a2+2b1≤41.
Câu 6.(1,0 điểm)
a) Chứng minh rằng A=13+23+33+⋯+20263 chia hết cho 2027.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình (x2−x+1)(y2−xy−5)=x+4.
Câu 7.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại I. Tia AI cắt (O) tại điểm M. Kẻ đường thẳng d vuông góc với AI tại I, d cắt các đường thẳng BC,AB,AC lần lượt tại các điểm S,E,F. Đường thẳng SM cắt (O) tại điểm K (khác M).
a) Chứng minh rằng OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Chứng minh rằng △MBI cân tại M.
c) Chứng minh rằng SI2=SB⋅SC và SM⊥IK.
d) Đường thẳng IK cắt BC tại H. Tia MH cắt (O) tại P. Chứng minh rằng APEF là tứ giác nội tiếp.
Câu 8.(0,5 điểm) Cho tập hợp A={1;2;3;…;100}. Chứng minh rằng với mọi cách lấy ra 51 số khác nhau từ tập A thì luôn tồn tại hai số trong các số được lấy có tổng bằng 101.