Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 6 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2 điểm
**Câu 1** (2,0 điểm).
a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+2y^{2}+3xy-2x-3y=0$.
b) Cho $n$ là một số nguyên dương và $m$ là một ước số nguyên dương của $2n^{2}$. Hỏi $n^{2}+m$ có thể là số chính phương không? Tại sao?
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2** (7,0 điểm).
a) Giải phương trình $\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{x+1}\right)^{2}=5$.
b) Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^{2}\left(1+y^{2}-y^{3}\right)=y\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\\ 31x^{2}-1=16\left(y-x\sqrt{4x^{2}-1}\right)\end{cases}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3** (2,0 điểm).
Một hộp có 7 viên bi gồm hai viên bi màu xanh được đánh số 1 và 2; hai viên bi màu đỏ được đánh số 3 và 4; ba viên bi màu vàng được đánh số 5, 6 và 7.
a) Một bạn học sinh chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Tính xác suất của biến cố "6 viên bi được chọn có 3 viên bi màu vàng".
b) Thầy giáo tổ chức trò chơi bốc bi trúng thưởng như sau: Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp rồi bỏ lại, nếu trong các viên bi được chọn có hai viên bi được đánh số liên tiếp nhau thì bạn đó trúng thưởng. Bạn An là một học sinh tham gia trò chơi. Tính xác suất để bạn An trúng thưởng.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4** (7,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $BC>BA$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt tại các điểm $M,\ N,\ E$. Gọi $K$ là giao điểm của tia $BI$ với đoạn thẳng $NE$.
a) Chứng minh $\widehat{BIA}=\widehat{BNE}$ và $AKB$ là tam giác vuông.
b) Tia $BI$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại điểm $T$. Chứng minh $KT\cdot BN=KB\cdot ET$.
c) Qua $A$ vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $AI$. Tia $NE$ và tia $NM$ cắt đường thẳng $d$ lần lượt tại các điểm $F$ và $D$. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $ME$, $O$ là giao điểm của hai đường thẳng $HF$ và $DI$. Chứng minh bốn điểm $A,\ O,\ I,\ F$ cùng thuộc một đường tròn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5** (1,0 điểm).
Cho các số thực dương $x,\ y,\ z$ thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)-\sqrt{11+\dfrac{4}{xyz}}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 6** (1,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm bất kì ta vẽ được một đoạn thẳng và trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên bất kì lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh là các đoạn thẳng đã vẽ và tổng các số ghi trên các cạnh của tam giác đó là hợp số.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2+2y2+3xy−2x−3y=0.
b) Cho n là một số nguyên dương và m là một ước số nguyên dương của 2n2. Hỏi n2+m có thể là số chính phương không? Tại sao?
Câu 2 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình (x2)2+(x+12)2=5.
b) Giải hệ phương trình {x2(1+y2−y3)=y(x2+y2+1)31x2−1=16(y−x4x2−1).
Câu 3 (2,0 điểm).
Một hộp có 7 viên bi gồm hai viên bi màu xanh được đánh số 1 và 2; hai viên bi màu đỏ được đánh số 3 và 4; ba viên bi màu vàng được đánh số 5, 6 và 7.
a) Một bạn học sinh chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Tính xác suất của biến cố "6 viên bi được chọn có 3 viên bi màu vàng".
b) Thầy giáo tổ chức trò chơi bốc bi trúng thưởng như sau: Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp rồi bỏ lại, nếu trong các viên bi được chọn có hai viên bi được đánh số liên tiếp nhau thì bạn đó trúng thưởng. Bạn An là một học sinh tham gia trò chơi. Tính xác suất để bạn An trúng thưởng.
Câu 4 (7,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn có BC>BA. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại các điểm M,N,E. Gọi K là giao điểm của tia BI với đoạn thẳng NE.
a) Chứng minh BIA=BNE và AKB là tam giác vuông.
b) Tia BI cắt đoạn thẳng AC tại điểm T. Chứng minh KT⋅BN=KB⋅ET.
c) Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AI. Tia NE và tia NM cắt đường thẳng d lần lượt tại các điểm F và D. Gọi H là giao điểm của AI và ME, O là giao điểm của hai đường thẳng HF và DI. Chứng minh bốn điểm A,O,I,F cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=2(xy1+yz1+zx1)−11+xyz4.
Câu 6 (1,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua hai điểm bất kì ta vẽ được một đoạn thẳng và trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên bất kì lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh là các đoạn thẳng đã vẽ và tổng các số ghi trên các cạnh của tam giác đó là hợp số.