Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
3 điểm
**Câu 1. (3,0 điểm)**
a) Một khách sạn mở cửa 24 giờ mỗi ngày. Quản lý phân công vị trí trực lễ tân theo giờ. Số giờ trực được chia đều cho số nhân viên lễ tân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễ tân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễ tân?
b) Cho $P(x)$ là đa thức bậc 3 thỏa mãn $P(1)=2$, $P(2)=3$, $P(3)=4$, $P(4)=17$. Tính giá trị $P(0)$.
c) Giải phương trình $\sqrt{x^{2}-2x+16}=x-1+\dfrac{3}{x-1}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2. (1,5 điểm)** Cho $m,n$ là hai số nguyên dương, $m>1$ và $p$ là số nguyên tố lẻ sao cho $p^{m}=1+5\cdot 2^{n}$.
a) Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.
b) Tìm tất cả các bộ $(m,n,p)$ thỏa mãn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3. (1,5 điểm)** Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$.
a) Chứng minh rằng $\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}=1$.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{3a+4b+2c}+\dfrac{1}{3b+4c+2a}+\dfrac{1}{3c+4a+2b}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4. (3,0 điểm)** Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,\ CA,\ AB$ lần lượt tại $D,\ E,\ F$. Gọi $EM,\ FN$ là hai đường cao của tam giác $DEF$. Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $EF$.
a) Chứng minh rằng $MN$ song song $BC$ và $I'$ là trực tâm của tam giác $AEF$.
b) Chứng minh rằng $\widehat{DFI'}=\widehat{MEC}$ và $\widehat{I'MC}=90^{\circ}$.
c) Gọi $S$ là giao điểm của $IC$ với $DE$, $T$ là giao điểm của $ID$ với $MC$. Chứng minh rằng 5 điểm $I',\ M,\ N,\ S,\ T$ cùng nằm trên một đường tròn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5. (1,0 điểm)** Ban đầu trên bảng có 100 số 1. Mỗi bước bạn An chọn một số $a$ bất kỳ trên bảng sau đó xóa nó đi và thay thế bởi bốn số $\dfrac{a}{4},\dfrac{a}{4},\dfrac{a}{4},\dfrac{a}{4}$. Chẳng hạn, nếu chọn số 1 thì An sẽ thay thế bởi bốn số $\dfrac14,\dfrac14,\dfrac14,\dfrac14$.
a) Hãy chỉ ra một cách thực hiện để sau hữu hạn bước, trên bảng không có 77 số giống nhau.
b) Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho bất kể bạn An chọn số như thế nào thì sau mỗi bước, trên bảng luôn tồn tại ít nhất $k$ số giống nhau.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Một khách sạn mở cửa 24 giờ mỗi ngày. Quản lý phân công vị trí trực lễ tân theo giờ. Số giờ trực được chia đều cho số nhân viên lễ tân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễ tân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễ tân?
b) Cho P(x) là đa thức bậc 3 thỏa mãn P(1)=2, P(2)=3, P(3)=4, P(4)=17. Tính giá trị P(0).
c) Giải phương trình x2−2x+16=x−1+x−13.
Câu 2. (1,5 điểm) Cho m,n là hai số nguyên dương, m>1 và p là số nguyên tố lẻ sao cho pm=1+5⋅2n.
a) Chứng minh rằng m là số chẵn.
b) Tìm tất cả các bộ (m,n,p) thỏa mãn.
Câu 3. (1,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.
a) Chứng minh rằng ab+b+11+bc+c+11+ca+a+11=1.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3a+4b+2c1+3b+4c+2a1+3c+4a+2b1.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB<AC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi EM,FN là hai đường cao của tam giác DEF. Gọi I′ là điểm đối xứng của I qua EF.
a) Chứng minh rằng MN song song BC và I′ là trực tâm của tam giác AEF.
b) Chứng minh rằng DFI′=MEC và I′MC=90∘.
c) Gọi S là giao điểm của IC với DE, T là giao điểm của ID với MC. Chứng minh rằng 5 điểm I′,M,N,S,T cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (1,0 điểm) Ban đầu trên bảng có 100 số 1. Mỗi bước bạn An chọn một số a bất kỳ trên bảng sau đó xóa nó đi và thay thế bởi bốn số 4a,4a,4a,4a. Chẳng hạn, nếu chọn số 1 thì An sẽ thay thế bởi bốn số 41,41,41,41.
a) Hãy chỉ ra một cách thực hiện để sau hữu hạn bước, trên bảng không có 77 số giống nhau.
b) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho bất kể bạn An chọn số như thế nào thì sau mỗi bước, trên bảng luôn tồn tại ít nhất k số giống nhau.