Làm thử Tuyển sinh vào 10 · Bắc Giang · Toán · 2024 · Mã đề 102

Cho hệ phương trình $\begin{cases}x+y=4\\x+2y=m\end{cases}$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x_0;y_0)$ thỏa mãn $2x_0+y_0=7$.

Biểu thức $\dfrac{2024}{\sqrt{x-2025}}$ xác định khi

Một hãng taxi có giá cước (giá tiền khách hàng phải trả cho mỗi km) được tính theo các mức như sau:

Mức 1: Giá mở cửa cho 1 km đầu tiên là 20 000 đồng;

Mức 2: Từ trên 1 km đến 25 km;

Mức 3: Từ trên 25 km.

Biết rằng bác Khánh đi 31 km phải trả cho hãng taxi đó số tiền là 467 000 đồng, cô Hồng đi 45 km phải trả cho hãng taxi đó số tiền là 642 000 đồng. Hỏi nếu bác Minh đi 24 km thì phải trả cho hãng taxi đó bao nhiêu tiền?

Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài với nhau. Biết $OO'=15$ cm và $R'=5$ cm. Khi đó

Tích tất cả các nghiệm của phương trình $x^2-7x+6=0$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm nào sau đây là điểm chung của đường thẳng $y=6x-9$ và parabol $y=x^2$?

Kết quả của phép tính $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$ bằng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3$ cm và $AC=4$ cm. Độ dài cạnh $BC$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình vẽ sau?

(Hình vẽ: parabol đi qua gốc tọa độ $O$, có bề lõm quay xuống dưới, đối xứng qua trục $Oy$; đường gióng nét đứt cho thấy điểm có hoành độ $1$ trên đồ thị có tung độ $-2$.)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=9x+12$. Hệ số góc của đường thẳng $(d)$ là

Biết hệ phương trình $\begin{cases}2x+3y=7\\x+4y=1\end{cases}$ có nghiệm duy nhất là $(x_0;y_0)$. Giá trị của biểu thức $x_0+y_0$ bằng

Cho hệ phương trình $\begin{cases}3x+ay=9\\bx+y=8\end{cases}$ với $a,b$ là tham số. Biết hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(1;3)$. Giá trị của biểu thức $a-b$ bằng

Một người quan sát từ vị trí $C$ của một ngọn hải đăng cách một khoảng $CH=80$ m so với mực nước biển, nhìn điểm $A$ (vị trí chiếc thuyền) dưới một góc so với phương ngang là $\widehat{ACx}=15^\circ$ và nhìn điểm $B$ (chân ngọn hải đăng) dưới một góc so với phương thẳng đứng là $\widehat{BCH}=10^\circ$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khoảng cách từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

(Hình vẽ: ngọn hải đăng đứng trên mặt nước biển, điểm quan sát $C$ ở trên cao; $H$ là hình chiếu của $C$ xuống mực nước biển, $CH$ thẳng đứng. Tia $Cx$ nằm ngang hướng về phía thuyền. Chiếc thuyền ở điểm $A$, chân ngọn hải đăng ở điểm $B$; $A$, $B$, $H$ thẳng hàng trên mặt nước, $B$ nằm giữa $A$ và $H$.)

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, biết $\widehat{BOC}=80^\circ$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Số đo $\widehat{BAC}$ bằng

(Hình vẽ: đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$, đỉnh $A$ ở phía trên; tâm $O$ nằm trong tam giác, góc ở tâm $\widehat{BOC}$ được đánh dấu $80^\circ$.)

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=4\sqrt2$ cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số $y=-2x+1$?

Với $x<1$, ta có $P=2-\sqrt{x^2-2x+1}$ bằng

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình $\begin{cases}x-2y=5\\2x+7y=-1\end{cases}$.

b) Rút gọn biểu thức $P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}\right):\dfrac{x-1}{x+2\sqrt{x}+1}$ với $x>0$ và $x\ne1$.

c) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biết đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M(2;5)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$. Tìm các hệ số $a$ và $b$.

Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình $x^2-2(m+1)x-4m-8=0\ (1)$, $m$ là tham số.

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m=0$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,\ x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^3-4x_1=x_2^3-4x_2$.

Câu 3. (1,0 điểm) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 840 chiếc áo đồng phục cho một trường Trung học phổ thông trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với số chiếc áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may bao nhiêu chiếc áo đồng phục? (Biết số chiếc áo may được trong mỗi ngày là như nhau).

Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm phân biệt $B,\ C$ nằm trên đường tròn $(O)$ ($BC$ không là đường kính của đường tròn $(O)$). Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $OBDC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Đường thẳng $DO$ cắt $BC$ tại $E$, cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ sao cho $O$ nằm giữa $A$ và $E$. Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $CH$, $M$ là giao điểm của đường thẳng $AF$ với đường tròn $(O)$ ($M$ khác $A$). Chứng minh $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $EM$ vuông góc với $MC$.

c) Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $CM$ và $AD$. Chứng minh $\dfrac{CM\cdot DE}{OE\cdot MN}=4$.

Câu 5. (0,5 điểm) Cho hai số dương $x,\ y$ thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x^3+(x+y)^3}}+\dfrac{y^2}{2x(x+2y)}$.