Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · An Giang · Toán chuyên · 2026

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức $A=\dfrac{2x-\sqrt{x}+2}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,\ x\ne 4$.

a) Rút gọn biểu thức $A$.

b) Tìm $x$ sao cho $A>1$.

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình $\dfrac{5x}{\sqrt{5x+1}-1}=x+2$.

Câu 3. (1,0 điểm) Cho đa thức $f(x)$ có hệ số thực. Biết khi chia $f(x)$ cho $x-4$ có dư là 10 và khi chia $f(x)$ cho $x-5$ có dư là 8. Khi chia $f(x)$ cho $(x-4)(x-5)$ được thương là $g(x)$ và có dư là $r(x)$. Tìm $r(x)$.

Câu 4. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AB=13\ \text{cm},\ BC=5\ \text{cm}$. Một nửa đường tròn có đường kính nằm trên cạnh $AC$, tiếp xúc với $BC$ tại $C$ và tiếp xúc với $AB$ (tham khảo hình bên). Tính diện tích phần tô đậm trong hình.

Câu 5. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $BC=6\ \text{cm}$. Gọi $H$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $OB$ ($H$ không trùng với $O$ và $B$). Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $H$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $A$. Gọi $G$ là trung điểm của $AC$.

a) Chứng minh rằng $A,G,O,H$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

b) Gọi $D$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $HD=HA$. Đường thẳng $DH$ cắt các đường thẳng $AB,AO$ lần lượt tại $E,I$. Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $EC$, $F$ là giao điểm của $AO$ và $BD$. Chứng minh rằng: $AE^{2}=2\cdot EI\cdot HD$ và tam giác $AKE$ đồng dạng với tam giác $AFD$.

c) Gọi $BH=x$. Tìm $x$ để diện tích của tứ giác $ABKC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho số nguyên tố $p>5$. Chứng minh rằng $A=6^{p}-5^{p}-1$ chia hết cho $5p$.

Câu 8. (0,5 điểm) Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

$P=\dfrac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\dfrac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}.$