Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Hải Phòng · Toán chuyên · 2026

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Một túi đựng các quả bóng cùng kích thước, cùng khối lượng, đồng chất; trong đó có 3 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ, 4 quả màu vàng; các quả bóng cùng màu thì khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả bóng từ túi đó. Tính xác suất để 4 quả bóng được lấy ra có đúng 2 màu.

2. Ở một cửa hàng chuyên kinh doanh sản phẩm A, mỗi kilogram sản phẩm A có giá nhập về là 120 nghìn đồng và giá bán ra niêm yết là 200 nghìn đồng. Tại thời điểm hiện nay, mỗi ngày cửa hàng đang bán được 240 kg sản phẩm A. Để tăng số lượng sản phẩm bán ra, chủ cửa hàng muốn chạy chương trình khuyến mãi giảm giá bán. Biết rằng nếu giảm mỗi 1% của giá bán niêm yết ban đầu thì khối lượng hàng bán được tăng thêm 20 kg. Hỏi chủ cửa hàng đó cần giảm giá bao nhiêu phần trăm của giá bán niêm yết ban đầu để thu được lợi nhuận lớn nhất trong một ngày?

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^{2}+2y^{2}+2x-8y-3=0\\ x^{2}+4y^{2}-2xy+6x-18y+9=0\end{cases}$

2. Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ với $a,b,c,d\in\mathbb{R}$. Biết rằng $P(1)=1,\ P(2)=4,\ P(3)=9$. Tính giá trị của biểu thức $S=P(4)+P(0)$.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Gọi $C$ là điểm cố định thuộc đoạn thẳng $OB$ ($C$ khác $O$ và $B$). Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại điểm $C$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $M$. Trên cung nhỏ $\overparen{MB}$ lấy điểm $N$ bất kỳ ($N$ khác $M$ và $B$), tia $AN$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $F$, tia $BN$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $E$. Đường thẳng $AE$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$).

1. Chứng minh $EN\cdot AB=EA\cdot ND$.

2. Chứng minh $F$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $CDN$.

3. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng điểm $I$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm $N$ thay đổi.

Câu 4. (1,0 điểm) Cho $a,\ b,\ c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\dfrac{1}{ab}:\left(\dfrac1c+\dfrac{1}{ab}\right)}+\sqrt{\dfrac{1}{bc}:\left(\dfrac1a+\dfrac{1}{bc}\right)}+\sqrt{\dfrac{1}{ca}:\left(\dfrac1b+\dfrac{1}{ca}\right)}.$

Câu 5. (2,0 điểm)

1. Cho $x,\ y,\ z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x-y$ là số nguyên tố và $3z^{2}=xy+yz+zx$. Chứng minh rằng $8z+1$ là số chính phương.

2. Cho tập hợp $X=\left\{1;\sqrt{2};\sqrt{3};\ldots;\sqrt{2027}\right\}$. Chứng minh rằng trong 92 số khác nhau bất kỳ được lấy ra từ tập hợp $X$ luôn tồn tại hai số $x$ và $y$ sao cho $|x-y|<\dfrac12$.