Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Thanh Hóa · Toán chuyên · 2026 · THỬ
Câu 1/6
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 6 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2 điểm
**Câu 1:** *(2,0 điểm)*
a) Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{8+a^{2}+b^{2}}=ab+2$ và $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac32$. Tính giá trị của biểu thức $Q=a^{3}+b^{3}$.
b) Xét đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+2$ với $a,b$ là các hệ số thực. Biết rằng với mọi số thực $x$ thỏa mãn $|x|\le 1$ thì $|P(x)|\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=|a|+|b|$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2:** *(1,0 điểm)* Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}2x^{2}-3\sqrt{2x-1}=71-2(y^{2}+2y)\\[4pt] \sqrt{x^{2}-x-1-y}=\dfrac{y+1}{\sqrt[3]{x-1-y}}\end{cases}$$
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3:** *(1,0 điểm)* Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập từ các chữ số $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$. Tính xác suất chọn được số có tổng tất cả các chữ số là một số chẵn.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4:** *(2,0 điểm)*
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $(x+y)^{2}+4x=4\left(y^{2}-3y+9\right)$.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và $q$ thỏa mãn $(p+q)^{p}=(q-p)^{2q-1}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5:** *(3,0 điểm)* Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) có đường tròn ngoại tiếp $(O)$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc cạnh $BC$) và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$ (khác điểm $A$). Gọi $F$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Đường thẳng $MF$ cắt các đường thẳng $AH,\ BC$ theo thứ tự tại $N$ và $K$.
a) Chứng minh rằng các tam giác $INF$ và $IMC$ là các tam giác cân.
b) Chứng minh rằng tứ giác $NHIK$ nội tiếp đường tròn.
c) Đường thẳng $FI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$ (khác điểm $F$), hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $S$. Chứng minh rằng nếu $AB+AC=2BC$ thì tứ giác $SIKM$ là hình bình hành.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 6:** *(1,0 điểm)* Một thuật toán được lập trình trên máy tính như sau: ban đầu, một số số nguyên dương (nhiều hơn một số) được hiện lên màn hình. Sau đó, cứ mỗi giây, một số bằng tổng bình phương của tất cả các số đã hiện trên màn hình lại được hiện lên (ví dụ, nếu ban đầu có các số 1 và 3 được hiện trên màn hình, thì ở giây đầu tiên, số $10=1^{2}+3^{2}$ sẽ được hiện lên; ở giây thứ hai, số $110=1^{2}+3^{2}+10^{2}$ sẽ được hiện lên; …). Gọi $n_{k}$ là số ước nguyên tố phân biệt của số hiện trên màn hình ở giây thứ $k$ ($k\ge 1$). Chứng minh rằng $n_{1}+n_{2}+\dots+n_{2026}\ge 2053351$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 8+a2+b2=ab+2 và a1+b1=23. Tính giá trị của biểu thức Q=a3+b3.
b) Xét đa thức P(x)=ax2+bx+2 với a,b là các hệ số thực. Biết rằng với mọi số thực x thỏa mãn ∣x∣≤1 thì ∣P(x)∣≤4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=∣a∣+∣b∣.
Câu 2:(1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎩⎨⎧2x2−32x−1=71−2(y2+2y)x2−x−1−y=3x−1−yy+1
Câu 3:(1,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 4,5,6,7,8,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Tính xác suất chọn được số có tổng tất cả các chữ số là một số chẵn.
Câu 4:(2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn (x+y)2+4x=4(y2−3y+9).
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn (p+q)p=(q−p)2q−1.
Câu 5:(3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có đường tròn ngoại tiếp (O), đường cao AH (H thuộc cạnh BC) và tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M (khác điểm A). Gọi F là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MF cắt các đường thẳng AH,BC theo thứ tự tại N và K.
a) Chứng minh rằng các tam giác INF và IMC là các tam giác cân.
b) Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
c) Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D (khác điểm F), hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu AB+AC=2BC thì tứ giác SIKM là hình bình hành.
Câu 6:(1,0 điểm) Một thuật toán được lập trình trên máy tính như sau: ban đầu, một số số nguyên dương (nhiều hơn một số) được hiện lên màn hình. Sau đó, cứ mỗi giây, một số bằng tổng bình phương của tất cả các số đã hiện trên màn hình lại được hiện lên (ví dụ, nếu ban đầu có các số 1 và 3 được hiện trên màn hình, thì ở giây đầu tiên, số 10=12+32 sẽ được hiện lên; ở giây thứ hai, số 110=12+32+102 sẽ được hiện lên; …). Gọi nk là số ước nguyên tố phân biệt của số hiện trên màn hình ở giây thứ k (k≥1). Chứng minh rằng n1+n2+⋯+n2026≥2053351.