Tuyển sinh lớp 10 · Phổ thông Năng khiếu ĐHQG TP.HCM · Toán chuyên · 2026 · THỬ
Câu 1/5
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
1,5 điểm
**Câu 1 (1,5 điểm).** Cho các phương trình $x^{2}+2ax+3b=0$ và $x^{2}+2bx+3a=0$, trong đó $a$ và $b$ là hai tham số. Biết các phương trình này đều có hai nghiệm phân biệt.
a) Chứng minh $\left(a-\dfrac32\right)^{2}+\left(b-\dfrac32\right)^{2}>\dfrac92$.
b) Giả sử hai phương trình trên có đúng một nghiệm chung. Gọi $r$ là nghiệm còn lại của phương trình thứ nhất và $s$ là nghiệm còn lại của phương trình thứ hai. Chứng minh $r+s$ không phụ thuộc vào $a$ và $b$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2 (1,5 điểm).** Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh $BC=7,\ DA=1$, và hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác $ABCD$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3 (2 điểm).** Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $f(n)=(n+4)^{4}-n^{4}$.
a) Chứng minh $f(n)$ chia hết cho 16 với mọi $n$.
b) Tìm $n$ để $f(n)$ chia hết cho 3.
c) Tìm $n$ để $f(n)$ chia hết cho $24^{2}$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4 (3 điểm).** Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,\ CA,\ AB$ lần lượt tại $D,\ E,\ F$. Gọi $J$ là trung điểm của $EF$ và $K$ là giao điểm của $AD$ với $EF$.
a) Chứng minh $ID^{2}=IJ\cdot IA$ và tam giác $IJD$ đồng dạng với tam giác $IDA$.
b) Gọi $H$ là giao điểm khác $I$ của $IK$ với đường tròn đường kính $AI$. Chứng minh $\widehat{IHD}=\widehat{IDK}$ và các điểm $I,\ D,\ J,\ H$ cùng thuộc một đường tròn $(S)$.
c) Gọi $L$ và $G$ lần lượt là các giao điểm khác $D$ của $DJ$ và $(S)$ với $(I)$. Chứng minh $A,\ G,\ D$ thẳng hàng và các đường thẳng $AL,\ GJ$ cắt nhau trên $(I)$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5 (2 điểm).** Cho bảng ô vuông kích thước $3\times 3$ gồm 3 hàng, 3 cột và 2 đường chéo như sau:
Một số nguyên dương $n$ được gọi là **số tốt** nếu ta tìm được 9 số nguyên dương phân biệt và điền vào các ô của bảng, mỗi ô một số, sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng $n$.
a) Hãy chỉ ra một cách điền các số nguyên dương từ 1 đến 9 vào các ô của bảng sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.
b) Chứng minh nếu $n\ge 15$ và $n$ chia hết cho 3 thì $n$ là số tốt.
c) Chứng minh nếu $n$ là số tốt thì $n\ge 15$ và $n$ chia hết cho 3.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
Câu 1 (1,5 điểm). Cho các phương trình x2+2ax+3b=0 và x2+2bx+3a=0, trong đó a và b là hai tham số. Biết các phương trình này đều có hai nghiệm phân biệt.
a) Chứng minh (a−23)2+(b−23)2>29.
b) Giả sử hai phương trình trên có đúng một nghiệm chung. Gọi r là nghiệm còn lại của phương trình thứ nhất và s là nghiệm còn lại của phương trình thứ hai. Chứng minh r+s không phụ thuộc vào a và b.
Câu 2 (1,5 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh BC=7,DA=1, và hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác ABCD.
Câu 3 (2 điểm). Với mỗi số nguyên dương n, đặt f(n)=(n+4)4−n4.
a) Chứng minh f(n) chia hết cho 16 với mọi n.
b) Tìm n để f(n) chia hết cho 3.
c) Tìm n để f(n) chia hết cho 242.
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi J là trung điểm của EF và K là giao điểm của AD với EF.
a) Chứng minh ID2=IJ⋅IA và tam giác IJD đồng dạng với tam giác IDA.
b) Gọi H là giao điểm khác I của IK với đường tròn đường kính AI. Chứng minh IHD=IDK và các điểm I,D,J,H cùng thuộc một đường tròn (S).
c) Gọi L và G lần lượt là các giao điểm khác D của DJ và (S) với (I). Chứng minh A,G,D thẳng hàng và các đường thẳng AL,GJ cắt nhau trên (I).
Câu 5 (2 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước 3×3 gồm 3 hàng, 3 cột và 2 đường chéo như sau:
Một số nguyên dương n được gọi là số tốt nếu ta tìm được 9 số nguyên dương phân biệt và điền vào các ô của bảng, mỗi ô một số, sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng n.
a) Hãy chỉ ra một cách điền các số nguyên dương từ 1 đến 9 vào các ô của bảng sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.
b) Chứng minh nếu n≥15 và n chia hết cho 3 thì n là số tốt.
c) Chứng minh nếu n là số tốt thì n≥15 và n chia hết cho 3.