Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Hà Nội · Toán (chuyên Tin) · 2026

Câu I. (2,0 điểm)

1. Một hộp chứa 4 viên bi có cùng kích thước và khối lượng như nhau gồm: bi màu xanh, bi màu đỏ, bi màu tím và bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: "Lấy được 2 viên bi trong đó có viên bi màu xanh".

2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2ac-2bc=0$. Tính giá trị của biểu thức:
   $P=\dfrac{a}{2a+1}+\dfrac{b}{2b+1}+\dfrac{1}{c+1}.$

Câu II. (2,0 điểm)

1. Với $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{3}-b^{3}$ là số nguyên tố. Chứng minh $a^{3}-b^{3}+2027$ chia hết cho 6.

2. Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $3^{x}-1=2\cdot 13^{y}$.

Câu III. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab=6c^{2}$ và $\dfrac{a^{3}+b^{3}+27c^{3}}{2}$ là số nguyên tố.

2. Với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
   $T=\dfrac{a^{2}}{bc+2a+3}+\dfrac{b^{2}}{ca+2b+3}+\dfrac{c^{2}}{ab+2c+3}.$

Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB<AC$), nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $E,F$ ($ME<MF$). Kẻ đường thẳng qua $E$ vuông góc với đường thẳng $AC$ tại điểm $D$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $HE$.

1. Chứng minh tam giác $BAF$ đồng dạng với tam giác $MDC$.

2. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Đường thẳng $QF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $T$. Chứng minh điểm $S$ thuộc đường thẳng $MD$ và $\widehat{TSO}=90^{\circ}$.

3. Đường thẳng qua $S$ vuông góc với đường thẳng $BS$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $P$. Chứng minh $PA=PF$.

Câu V. (1,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$ ($n\le 99$), xét 100 số nguyên dương $a_{1},a_{2},\ldots,a_{100}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) $1<a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots<a_{100}$.

ii) Với mọi $1\le j<i\le 100$ thì $a_{i}-a_{j}\ne n$.

1. Khi $n=2$, chứng minh $a_{3}-a_{1}\ge 4$.

2. Tìm tất cả giá trị của $n$ để $a_{100}$ nhỏ nhất.