Làm thử Tuyển sinh lớp 10 · Phổ thông Năng khiếu ĐHQG TP.HCM · Toán (không chuyên) · 2026

Câu 1. Biểu thức $\dfrac{3x}{\sqrt{x-3}+2}+\dfrac{2x^{2}}{x-5}$ xác định khi và chỉ khi:

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d: y=2x+1$ và đường parabol $P: y=x^{2}-2$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ là $(x_{1};y_{1})$ và $(x_{2};y_{2})$. Giá trị của $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$ là:

Câu 3. Các đoạn thẳng $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $A$. Biết $AB=BC$, $AE=AF$ và $\widehat{AEF}=50^{\circ}$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Góc $\widehat{AHC}$ bằng:

Câu 4. Biết phương trình $x+\dfrac{2}{x}=4$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$. Giá trị của $\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ là:

Câu 5. Cho $AB,\ AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ với $B,\ C$ là các tiếp điểm. Biết $OA=2$ và bán kính đường tròn $(O)$ bằng 1. Độ dài $BC$ là:

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hai đường thẳng phân biệt $d_{1}: y=\left(9-m^{2}\right)x+5$ và $d_{2}: y=5x+m+7$ song song với nhau khi và chỉ khi giá trị của $m$ là:

Câu 7. Cho các số thực $a,b,c,d,e$ thỏa mãn: $a+b+2=b+c-1=c+d+3=d+e-2=e+a+1$. Số lớn nhất trong các số đã cho là:

Câu 8. Cho phương trình $x^{2}-2mx-3m^{2}+4m-1=0$. Số giá trị của tham số $m$ để phương trình có đúng một nghiệm là:

Câu 9. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90^{\circ}$, $\widehat{BCD}=45^{\circ}$ và $AB=AD=1$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm $AB,\ CD$. Độ dài của $MN$ là:

Câu 1 (1 điểm).

a) Chứng minh rằng $\sqrt{4-2\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3+1}$.

b) Chứng minh rằng $\sqrt{3+\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{4-2\sqrt3}}=\dfrac{2}{\sqrt3-1}$.

Câu 2 (1,5 điểm). Cho các phương trình: $x^{2}-mx+1=0$ (1) và $x^{2}-x+m=0$ (2), trong đó $m$ là tham số.

a) Tìm $m$ để phương trình (1) vô nghiệm và phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm $m$ để cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và tổng bình phương của hai nghiệm bằng nhau.

Câu 3 (1,5 điểm). Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $AB$. Lấy các điểm $M$ trên cạnh $AD$ và $N$ trên cạnh $BC$ sao cho $KM$ song song với $BD$ và $KN$ song song với $AC$.

a) Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $MN$.

b) Tìm tỉ số $\dfrac{AK}{AB}$ sao cho diện tích tam giác $KMN$ bằng $\dfrac29$ diện tích hình bình hành $ABCD$.

Câu 4 (1,5 điểm). Trường X tổ chức một trại hè quốc tế, trong đó bao gồm một số học sinh Việt Nam và một số học sinh nước ngoài tham gia. Ban tổ chức muốn ghép cặp một số học sinh để giao lưu văn hóa, mỗi cặp gồm đúng 1 học sinh Việt Nam và 1 học sinh nước ngoài, và mỗi học sinh chỉ được tham gia tối đa một cặp. Ngày đầu tiên có đúng $\dfrac12$ số học sinh Việt Nam và $\dfrac23$ số học sinh nước ngoài được ghép cặp thành công.

a) Tính tỉ lệ tổng số học sinh được ghép cặp trên tổng số học sinh tham gia trại hè sau ngày đầu.

b) Ngày thứ hai có thêm 6 học sinh nữa được ghép thành 3 cặp mới. Khi đó, tỉ lệ tổng số học sinh được ghép cặp trên tổng số học sinh tham gia trại hè bằng $\dfrac57$. Tìm số học sinh Việt Nam và số học sinh nước ngoài tham gia trại hè ban đầu.

Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) có $H$ là trực tâm, $E,\ F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $B,\ C$. Gọi $I,\ J$ tương ứng là trung điểm của $BC,\ AH$; gọi $R,\ S$ tương ứng là giao điểm của $EF$ với $AH,\ BC$.

a) Chứng minh rằng $IE=IF=\dfrac{BC}{2}$ và $JE=JF=\dfrac{AH}{2}$.

b) Chứng minh rằng tứ giác $IEJF$ nội tiếp và $R$ là trực tâm của tam giác $SIJ$.

c) Gọi $(J)$ là đường tròn đường kính $AH$. Đường thẳng $IR$ cắt $(J)$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $IM\cdot IN=\dfrac{BC^{2}}{4}$ và $SM,\ SN$ tiếp xúc với $(J)$.