Bài học

Bài toán số nucleotide và đánh dấu đồng vị qua nhiều lần nhân đôi

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được bài toán nhân đôi DNA khi phân tử trải qua NHIỀU giai đoạn với môi trường nguyên liệu khác nhau — điển hình là thí nghiệm đánh dấu đồng vị nặng N15 rồi chuyển sang N14 — tính đúng số phân tử còn mang N15, tổng nguyên liệu mỗi loại nucleotide môi trường phải cung cấp ở từng giai đoạn, và giải ngược để tìm số lần nhân đôi từ dữ liệu đề cho.

Cần nhớ trước

Em cần nhớ lại: nguyên tắc bán bảo tồn và hai chiều của nhân đôi DNA, hệ thức N = A+T+G+X với A=T, G=X, số liên kết hydro H = 2A+3G, và hai công thức nền tảng — sau k lần nhân đôi liên tiếp có $2^k$ phân tử DNA con, tổng lượng DNA tăng lên $N\times 2^k$ nucleotide (khóa Sinh học 12 nền tảng: Cơ sở phân tử của hiện tượng di truyền).

So với mức chuẩn: đề tốt nghiệp THPT dừng ở một giai đoạn nhân đôi duy nhất, diễn ra trong một loại môi trường nguyên liệu — hỏi thẳng $2^k$ phân tử hoặc $N\times 2^k$ nucleotide, hoặc giải ngược đúng một ẩn $k$ . Đề HSG QG nối HAI giai đoạn liên tiếp, mỗi giai đoạn nằm trong một môi trường nguyên liệu riêng — và câu hỏi trọng tâm không còn là "bao nhiêu phân tử" mà là "trong số đó, bao nhiêu phân tử còn giữ dấu vết của vật liệu cũ".

**So với mức chuẩn:** đề tốt nghiệp THPT dừng ở một giai đoạn nhân đôi duy nhất, diễn ra trong một loại môi trường nguyên liệu — hỏi thẳng $2^k$ phân tử hoặc $N\times 2^k$ nucleotide, hoặc giải ngược đúng một ẩn $k$. Đề HSG QG nối HAI giai đoạn liên tiếp, mỗi giai đoạn nằm trong một môi trường nguyên liệu riêng — và câu hỏi trọng tâm không còn là "bao nhiêu phân tử" mà là "trong số đó, bao nhiêu phân tử còn giữ dấu vết của vật liệu cũ".

Bài toán mở đầu — thí nghiệm Meselson–Stahl kéo dài thêm một bước

Thí nghiệm Meselson–Stahl gốc chỉ theo dõi DNA qua vài lần nhân đôi liên tục trong MỘT môi trường N14 sau khi đánh dấu N15 ban đầu. Bài toán HSG thường kéo dài thí nghiệm này thành hai chặng tách bạch: chặng đầu, phân tử DNA (cả hai mạch ban đầu đều N15) tiếp tục nhân đôi $k_1$ lần trong một môi trường VẪN còn N15; chặng sau, toàn bộ số phân tử con thu được ở chặng đầu mới được chuyển hẳn sang môi trường chỉ còn N14 và nhân đôi thêm $k_2$ lần nữa. Câu hỏi đặt ra: sau toàn bộ quá trình, có bao nhiêu phân tử con còn mang N15?

Ý tưởng cốt lõi — mạch gốc không biến mất, nó chỉ chuyển chủ

Kỹ thuật vượt chương trình

Mở rộng dành cho HSG: bài toán nhân đôi hai giai đoạn với hai loại môi trường nguyên liệu khác nhau không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 12. Tiên quyết: nắm chắc nguyên tắc bán bảo tồn và công thức $2^k$ phân tử con ở mức chuẩn trước khi học kỹ thuật này.

**Mở rộng dành cho HSG:** bài toán nhân đôi hai giai đoạn với hai loại môi trường nguyên liệu khác nhau không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 12. Tiên quyết: nắm chắc nguyên tắc bán bảo tồn và công thức $2^k$ phân tử con ở mức chuẩn trước khi học kỹ thuật này.

Chìa khóa của dạng bài này nằm ở một sự thật vật lý đơn giản: mỗi mạch polynucleotide đơn, một khi đã tồn tại, không tự dưng biến mất và cũng không tự nhân thêm bản sao của chính nó — nó chỉ đóng vai trò khuôn để tổng hợp MỘT mạch mới bổ sung, rồi "đi theo" đúng một phân tử con duy nhất ở mỗi lần nhân đôi tiếp theo. Vậy số phân tử con còn mang N15 sau khi chuyển môi trường chỉ phụ thuộc vào TỔNG SỐ MẠCH N15 đang tồn tại ngay tại thời điểm chuyển môi trường — không phụ thuộc vào việc sau đó quá trình còn tiếp diễn thêm bao nhiêu lần nữa.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Đếm phân tử còn mang N15 qua hai giai đoạn nhân đôi

1
Một phân tử DNA có $N=1200$ nucleotide, tỉ lệ $A=20\%$ , cả hai mạch đều mang đồng vị N15. Phân tử này nhân đôi $k_1=2$ lần liên tiếp trong môi trường chỉ chứa N15; sau đó toàn bộ số phân tử con tạo ra được chuyển sang môi trường chỉ chứa N14 và tiếp tục nhân đôi thêm $k_2=3$ lần nữa. Tính: (a) tổng số phân tử DNA con sau toàn bộ quá trình; (b) trong số đó, có bao nhiêu phân tử còn mang N15?
Một phân tử DNA có $N=1200$ nucleotide, tỉ lệ $A=20\%$, cả hai mạch đều mang đồng vị N15. Phân tử này nhân đôi $k_1=2$ lần liên tiếp trong môi trường chỉ chứa N15; sau đó toàn bộ số phân tử con tạo ra được chuyển sang môi trường chỉ chứa N14 và tiếp tục nhân đôi thêm $k_2=3$ lần nữa. Tính: (a) tổng số phân tử DNA con sau toàn bộ quá trình; (b) trong số đó, có bao nhiêu phân tử còn mang N15?
2
Đề chuẩn chỉ hỏi một trong hai câu — hoặc $2^k$ phân tử của MỘT giai đoạn, hoặc $N\times 2^k$ nucleotide của MỘT giai đoạn. Ở đây có hai giai đoạn nối tiếp bằng hai môi trường khác nhau, và câu hỏi (b) không thể trả lời chỉ bằng công thức $2^k$ .
Đề chuẩn chỉ hỏi một trong hai câu — hoặc $2^k$ phân tử của MỘT giai đoạn, hoặc $N\times 2^k$ nucleotide của MỘT giai đoạn. Ở đây có hai giai đoạn nối tiếp bằng hai môi trường khác nhau, và câu hỏi (b) không thể trả lời chỉ bằng công thức $2^k$.
3
Đếm số MẠCH N15 tồn tại đúng lúc chuyển môi trường, rồi nhận ra mỗi mạch đó tạo ra đúng một phân tử con mang N15 ở mọi vòng nhân đôi kế tiếp — bất kể còn bao nhiêu vòng nữa.
4
Tổng số lần nhân đôi liên tiếp là $k_1+k_2=2+3=5$ , nên tổng số phân tử DNA con là $2^{k_1+k_2}=2^5=32$ phân tử.
Tổng số lần nhân đôi liên tiếp là $k_1+k_2=2+3=5$, nên tổng số phân tử DNA con là $2^{k_1+k_2}=2^5=32$ phân tử.
5
Sau $k_1=2$ lần nhân đôi trong môi trường TOÀN N15, có $2^{k_1}=4$ phân tử con — và vì môi trường suốt giai đoạn này chỉ có N15 nên cả mạch khuôn cũ lẫn mạch mới tổng hợp đều là N15: cả 4 phân tử đều toàn N15. Tổng số mạch N15 lúc này là $2\times 4=8$ mạch.
Sau $k_1=2$ lần nhân đôi trong môi trường TOÀN N15, có $2^{k_1}=4$ phân tử con — và vì môi trường suốt giai đoạn này chỉ có N15 nên cả mạch khuôn cũ lẫn mạch mới tổng hợp đều là N15: cả 4 phân tử đều toàn N15. Tổng số mạch N15 lúc này là $2\times 4=8$ mạch.
6
Khi chuyển sang N14, mỗi mạch trong 8 mạch N15 nói trên làm khuôn tổng hợp một mạch N14 mới, cho ra đúng một phân tử con dạng lai (1 mạch N15 + 1 mạch N14). Ở những lần nhân đôi tiếp theo, mạch N15 đó lại tiếp tục làm khuôn — luôn tạo ra đúng một phân tử lai — trong khi mạch N14 mới sinh ra ở vòng trước làm khuôn cho một phân tử hoàn toàn N14. Vậy dù $k_2$ lớn tới đâu, số phân tử còn mang N15 vẫn cố định bằng đúng số mạch N15 ban đầu của giai đoạn N14.
Khi chuyển sang N14, mỗi mạch trong 8 mạch N15 nói trên làm khuôn tổng hợp một mạch N14 mới, cho ra đúng một phân tử con dạng lai (1 mạch N15 + 1 mạch N14). Ở những lần nhân đôi tiếp theo, mạch N15 đó lại tiếp tục làm khuôn — luôn tạo ra đúng một phân tử lai — trong khi mạch N14 mới sinh ra ở vòng trước làm khuôn cho một phân tử hoàn toàn N14. Vậy dù $k_2$ lớn tới đâu, số phân tử còn mang N15 vẫn cố định bằng đúng số mạch N15 ban đầu của giai đoạn N14.
7
Số phân tử còn mang N15 = số mạch N15 tại thời điểm chuyển môi trường = $8$ phân tử. Số phân tử hoàn toàn N14 = $32-8=24$ phân tử.
Số phân tử còn mang N15 = số mạch N15 tại thời điểm chuyển môi trường = $8$ phân tử. Số phân tử hoàn toàn N14 = $32-8=24$ phân tử.
8
Công thức tổng quát: số phân tử còn mang N15 sau khi chuyển hẳn sang môi trường N14 là $2\times 2^{k_1}=2^{k_1+1}$ — một hằng số chỉ phụ thuộc $k_1$ , KHÔNG phụ thuộc $k_2$ (miễn $k_2\ge 1$ ). Đây chính là điểm "phản trực giác" mà đề HSG hay khai thác: nhiều học sinh nghĩ số phân tử N15 sẽ giảm dần khi nhân đôi thêm nhiều lần, nhưng thực ra nó không đổi.
Công thức tổng quát: số phân tử còn mang N15 sau khi chuyển hẳn sang môi trường N14 là $2\times 2^{k_1}=2^{k_1+1}$ — một hằng số chỉ phụ thuộc $k_1$, KHÔNG phụ thuộc $k_2$ (miễn $k_2\ge 1$). Đây chính là điểm "phản trực giác" mà đề HSG hay khai thác: nhiều học sinh nghĩ số phân tử N15 sẽ giảm dần khi nhân đôi thêm nhiều lần, nhưng thực ra nó không đổi.
9
Tổng số lần nhân đôi là $k_1+k_2=5$ , suy ra tổng số phân tử DNA con là $2^{5}=32$ phân tử. (1)

Xét thời điểm chuyển môi trường: sau $k_1=2$ lần nhân đôi trong môi trường toàn N15, thu được $2^{2}=4$ phân tử, mỗi phân tử gồm hai mạch đều là N15 — vì nguyên liệu tổng hợp mạch mới ở giai đoạn này chỉ có N15. Tổng số mạch đơn N15 tại thời điểm đó là $2\times 4=8$ mạch. (2)

Theo nguyên tắc bán bảo tồn, mỗi mạch N15 ở (2) làm khuôn tổng hợp đúng một mạch N14 mới ở mọi lần nhân đôi tiếp theo, nên luôn "đi theo" đúng một phân tử con dạng lai N15–N14 — số phân tử này không đổi trong suốt $k_2$ lần nhân đôi còn lại. Do đó số phân tử còn mang N15 sau toàn bộ quá trình bằng đúng số mạch N15 ở (2), tức $8$ phân tử. Vậy tổng số phân tử DNA con là $32$ , trong đó có $8$ phân tử còn mang N15 và $24$ phân tử hoàn toàn N14.
Tổng số lần nhân đôi là $k_1+k_2=5$, suy ra tổng số phân tử DNA con là $2^{5}=32$ phân tử. (1) Xét thời điểm chuyển môi trường: sau $k_1=2$ lần nhân đôi trong môi trường toàn N15, thu được $2^{2}=4$ phân tử, mỗi phân tử gồm hai mạch đều là N15 — vì nguyên liệu tổng hợp mạch mới ở giai đoạn này chỉ có N15. Tổng số mạch đơn N15 tại thời điểm đó là $2\times 4=8$ mạch. (2) Theo nguyên tắc bán bảo tồn, mỗi mạch N15 ở (2) làm khuôn tổng hợp đúng một mạch N14 mới ở mọi lần nhân đôi tiếp theo, nên luôn "đi theo" đúng một phân tử con dạng lai N15–N14 — số phân tử này không đổi trong suốt $k_2$ lần nhân đôi còn lại. Do đó số phân tử còn mang N15 sau toàn bộ quá trình bằng đúng số mạch N15 ở (2), tức $8$ phân tử. Vậy tổng số phân tử DNA con là $32$, trong đó có $8$ phân tử còn mang N15 và $24$ phân tử hoàn toàn N14.

Câu hỏi tiếp theo mà đề HSG hay ghép cùng: môi trường N14 ở giai đoạn sau phải cung cấp bao nhiêu nguyên liệu — tính riêng cho từng loại nucleotide?

Ví dụ

Ví dụ 2 — Nguyên liệu N14 môi trường phải cung cấp cho giai đoạn 2

1
Vẫn với dữ liệu Ví dụ 1 ( $N=1200$ , $A=20\%$ , $k_1=2$ , $k_2=3$ ), tính tổng số nucleotide loại G mà môi trường N14 phải cung cấp riêng cho giai đoạn 2.
Vẫn với dữ liệu Ví dụ 1 ($N=1200$, $A=20\%$, $k_1=2$, $k_2=3$), tính tổng số nucleotide loại G mà môi trường N14 phải cung cấp riêng cho giai đoạn 2.
2
Tổng nguyên liệu N14 cung cấp cho giai đoạn 2 = tổng lượng DNA lúc kết thúc toàn bộ quá trình trừ đi tổng lượng DNA đã có sẵn (toàn N15) ngay trước khi bước vào giai đoạn 2 — vì giai đoạn 2 không tạo thêm một nucleotide N15 nào.
3
Trước giai đoạn 2: $4$ phân tử $\times 1200 = 4800$ nucleotide (toàn N15). Sau giai đoạn 2 ( $k_2=3$ lần nhân đôi thêm): tổng lượng DNA là $4800\times 2^{3}=38400$ nucleotide (khớp với $32$ phân tử $\times 1200=38400$ ).
Trước giai đoạn 2: $4$ phân tử $\times 1200 = 4800$ nucleotide (toàn N15). Sau giai đoạn 2 ($k_2=3$ lần nhân đôi thêm): tổng lượng DNA là $4800\times 2^{3}=38400$ nucleotide (khớp với $32$ phân tử $\times 1200=38400$).
4
$38400-4800=33600$ nucleotide — toàn bộ số này là N14, vì môi trường giai đoạn 2 chỉ có N14.
$38400-4800=33600$ nucleotide — toàn bộ số này là N14, vì môi trường giai đoạn 2 chỉ có N14.
5
Mỗi phân tử DNA đều có cùng thành phần % từng loại nucleotide như gene gốc (đều là bản sao của cùng một trình tự), nên $33600$ nucleotide N14 nói trên vẫn chia theo đúng tỉ lệ $A=T=20\%$ , $G=X=30\%$ đã cho.
Mỗi phân tử DNA đều có cùng thành phần \% từng loại nucleotide như gene gốc (đều là bản sao của cùng một trình tự), nên $33600$ nucleotide N14 nói trên vẫn chia theo đúng tỉ lệ $A=T=20\%$, $G=X=30\%$ đã cho.
6
$G_{N14}=30\%\times 33600=10080$ nucleotide.
$G_{N14}=30\%\times 33600=10080$ nucleotide.
7
Công thức nhanh: nucleotide N14 cung cấp cho giai đoạn 2 = $N\times 2^{k_1}\times(2^{k_2}-1)$ . Thay số: $1200\times 4\times (8-1)=1200\times 4\times 7=33600$ — khớp cách tính từng bước ở trên.
Công thức nhanh: nucleotide N14 cung cấp cho giai đoạn 2 = $N\times 2^{k_1}\times(2^{k_2}-1)$. Thay số: $1200\times 4\times (8-1)=1200\times 4\times 7=33600$ — khớp cách tính từng bước ở trên.
8
Trước khi bước vào giai đoạn 2, có $2^{k_1}=4$ phân tử, tổng cộng $4\times 1200=4800$ nucleotide, toàn bộ là N15. (1)

Sau $k_2=3$ lần nhân đôi thêm trong môi trường N14, tổng lượng DNA là $4800\times 2^{3}=38400$ nucleotide. (2)

Vì giai đoạn 2 không tạo thêm nucleotide N15 nào, từ (1) và (2) suy ra tổng nucleotide N14 mà môi trường đã cung cấp là $38400-4800=33600$ nucleotide. Do mọi phân tử con đều giữ đúng thành phần % của gene gốc ( $G=X=30\%$ ), số nucleotide loại G trong lượng N14 cung cấp là $30\%\times 33600=10080$ nucleotide. Vậy môi trường N14 đã cung cấp $10080$ nucleotide loại G cho giai đoạn 2.
Trước khi bước vào giai đoạn 2, có $2^{k_1}=4$ phân tử, tổng cộng $4\times 1200=4800$ nucleotide, toàn bộ là N15. (1) Sau $k_2=3$ lần nhân đôi thêm trong môi trường N14, tổng lượng DNA là $4800\times 2^{3}=38400$ nucleotide. (2) Vì giai đoạn 2 không tạo thêm nucleotide N15 nào, từ (1) và (2) suy ra tổng nucleotide N14 mà môi trường đã cung cấp là $38400-4800=33600$ nucleotide. Do mọi phân tử con đều giữ đúng thành phần \% của gene gốc ($G=X=30\%$), số nucleotide loại G trong lượng N14 cung cấp là $30\%\times 33600=10080$ nucleotide. Vậy môi trường N14 đã cung cấp $10080$ nucleotide loại G cho giai đoạn 2.

Ứng với Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở trên — bước 2 ứng với kết thúc giai đoạn 1, bước 5 ứng với kết thúc giai đoạn 2.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thường gặp

Ba lỗi hay gặp: nhầm "số phân tử còn N15 không đổi theo $k_2$ " thành "số phân tử còn N15 không đổi theo $k_1$ " — thực ra công thức $2^{k_1+1}$ vẫn phụ thuộc $k_1$ , chỉ độc lập với $k_2$ ; quên nhân đôi số mạch (mỗi phân tử có 2 mạch) khi đếm số mạch N15 tại thời điểm chuyển môi trường; và khi tính nguyên liệu N14 cung cấp, lấy nhầm tổng nucleotide lúc CUỐI toàn bộ quá trình thay vì hiệu giữa lúc cuối và lúc bắt đầu giai đoạn N14.

Ba lỗi hay gặp: nhầm "số phân tử còn N15 không đổi theo $k_2$" thành "số phân tử còn N15 không đổi theo $k_1$" — thực ra công thức $2^{k_1+1}$ vẫn phụ thuộc $k_1$, chỉ độc lập với $k_2$; quên nhân đôi số mạch (mỗi phân tử có 2 mạch) khi đếm số mạch N15 tại thời điểm chuyển môi trường; và khi tính nguyên liệu N14 cung cấp, lấy nhầm tổng nucleotide lúc CUỐI toàn bộ quá trình thay vì hiệu giữa lúc cuối và lúc bắt đầu giai đoạn N14.

Thử thách

Ví dụ

Ví dụ 3 — Bài toán ngược: tìm

k_1

và

k_2

từ dữ liệu đề choVí dụ 3 — Bài toán ngược: tìm $k_1$ và $k_2$ từ dữ liệu đề cho

1
Một gene nhân đôi liên tiếp qua hai giai đoạn N15 rồi N14. Biết sau toàn bộ quá trình, số phân tử còn mang N15 là $16$ và tổng số phân tử con là $256$ . Tìm $k_1$ và $k_2$ .
Một gene nhân đôi liên tiếp qua hai giai đoạn N15 rồi N14. Biết sau toàn bộ quá trình, số phân tử còn mang N15 là $16$ và tổng số phân tử con là $256$. Tìm $k_1$ và $k_2$.
2
Dùng đúng hai công thức đã thiết lập: số phân tử còn N15 chỉ phụ thuộc $k_1$ qua $2^{k_1+1}$ ; tổng số phân tử con phụ thuộc cả hai qua $2^{k_1+k_2}$ . Hai phương trình, hai ẩn.
Dùng đúng hai công thức đã thiết lập: số phân tử còn N15 chỉ phụ thuộc $k_1$ qua $2^{k_1+1}$; tổng số phân tử con phụ thuộc cả hai qua $2^{k_1+k_2}$. Hai phương trình, hai ẩn.
3
$2^{k_1+1}=16=2^{4}\Rightarrow k_1+1=4\Rightarrow k_1=3$ .
$2^{k_1+1}=16=2^{4}\Rightarrow k_1+1=4\Rightarrow k_1=3$.
4
$2^{k_1+k_2}=256=2^{8}\Rightarrow k_1+k_2=8\Rightarrow k_2=8-3=5$ .
$2^{k_1+k_2}=256=2^{8}\Rightarrow k_1+k_2=8\Rightarrow k_2=8-3=5$.
5
Với $k_1=3,k_2=5$ : số phân tử còn N15 $=2^{4}=16$ ✓; tổng số phân tử con $=2^{8}=256$ ✓.
Với $k_1=3,k_2=5$: số phân tử còn N15 $=2^{4}=16$ ✓; tổng số phân tử con $=2^{8}=256$ ✓.
6
Bài toán ngược dạng này luôn tách được thành hai phương trình độc lập — giải $k_1$ trước từ dữ kiện "số phân tử còn N15", rồi mới giải $k_2$ từ dữ kiện "tổng số phân tử con". Đảo thứ tự (thử đoán $k_2$ trước) thường dẫn đến hệ khó giải hơn nhiều.
Bài toán ngược dạng này luôn tách được thành hai phương trình độc lập — giải $k_1$ trước từ dữ kiện "số phân tử còn N15", rồi mới giải $k_2$ từ dữ kiện "tổng số phân tử con". Đảo thứ tự (thử đoán $k_2$ trước) thường dẫn đến hệ khó giải hơn nhiều.
7
Theo công thức đã thiết lập, số phân tử còn mang N15 sau toàn bộ quá trình là $2^{k_1+1}$ . Ta có $2^{k_1+1}=16=2^{4}$ , suy ra $k_1+1=4$ , tức $k_1=3$ . (1)

Mặt khác, tổng số phân tử DNA con là $2^{k_1+k_2}=256=2^{8}$ , suy ra $k_1+k_2=8$ . (2)

Từ (1) và (2): $k_2=8-3=5$ . Vậy $k_1=3$ và $k_2=5$ .
Theo công thức đã thiết lập, số phân tử còn mang N15 sau toàn bộ quá trình là $2^{k_1+1}$. Ta có $2^{k_1+1}=16=2^{4}$, suy ra $k_1+1=4$, tức $k_1=3$. (1) Mặt khác, tổng số phân tử DNA con là $2^{k_1+k_2}=256=2^{8}$, suy ra $k_1+k_2=8$. (2) Từ (1) và (2): $k_2=8-3=5$. Vậy $k_1=3$ và $k_2=5$.

Tóm tắt

Bài toán nhân đôi hai giai đoạn quy về đúng một quan sát: mạch đơn không mất đi, nó chỉ chuyển sang làm khuôn cho phân tử con kế tiếp. Từ đó, số phân tử còn mang nguyên liệu cũ sau khi chuyển môi trường là một hằng số $2^{k_1+1}$ — độc lập với số lần nhân đôi thêm ở môi trường mới — trong khi tổng nguyên liệu môi trường mới phải cung cấp luôn bằng hiệu giữa tổng lượng DNA lúc cuối và lúc bắt đầu giai đoạn đó.

Bài sau giữ nguyên logic "đếm chính xác qua nhiều bước" nhưng chuyển sang phiên mã và dịch mã — cụ thể là khi NHIỀU ribosome cùng đọc một phân tử mARN.