Bài học

Ôn tập tổng hợp: Đếm và Nhị thức Newton

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được đúng công cụ trong cả năm công cụ đếm — quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp — và công thức khai triển nhị thức Newton, để giải những bài toán nhiều bước kết hợp hai hoặc ba ý cùng lúc, đúng dạng đề kiểm tra cuối chương.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ chương này đã cho em: quy tắc cộng, quy tắc nhân (Chương 1), hoán vị $P_n=n!$ (Chương 2), chỉnh hợp $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ (Chương 3), tổ hợp $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ cùng quy trình phân biệt ba công cụ (Chương 4), và khai triển nhị thức Newton $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ với các ứng dụng của nó (Chương 5, 6). Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — chỉ ghép những công cụ đó lại trong các bài toán có nhiều bước, gần với đề kiểm tra thật hơn từng ví dụ đơn lẻ trước đó.

Khởi động

Một đề kiểm tra thật hiếm khi hỏi "tính $C_8^3$ " một cách trần trụi. Nó thường lồng ghép: "một đội thi đấu cần chọn đội trưởng, đội phó, rồi chọn thêm các thành viên còn lại" — một câu hỏi, hai công cụ đếm khác nhau, nhân lại với nhau theo quy tắc nhân của Chương 1. Ôn tập hôm nay luyện đúng kỹ năng "tách bài toán lớn thành các bài toán con, xử lý từng phần bằng công cụ đúng, rồi ghép lại".

Một đề kiểm tra thật hiếm khi hỏi "tính $C_8^3$" một cách trần trụi. Nó thường lồng ghép: "một đội thi đấu cần chọn đội trưởng, đội phó, rồi chọn thêm các thành viên còn lại" — một câu hỏi, hai công cụ đếm khác nhau, nhân lại với nhau theo quy tắc nhân của Chương 1. Ôn tập hôm nay luyện đúng kỹ năng "tách bài toán lớn thành các bài toán con, xử lý từng phần bằng công cụ đúng, rồi ghép lại".

Kết hợp nhiều công cụ trong một bài toán

Khi một bài toán có nhiều giai đoạn (chọn vai trò trước, chọn thành viên thường sau; hoặc xếp chỗ nhóm này rồi xếp chỗ nhóm khác), cách xử lý luôn là: xử lý riêng từng giai đoạn bằng đúng công cụ của giai đoạn đó, rồi nhân các kết quả lại theo quy tắc nhân — vì các giai đoạn đó là các công đoạn nối tiếp của cùng một quá trình tổng thể (đúng nguyên tắc đã học từ bài đầu chương). Đây là lý do quy tắc nhân xứng đáng là công cụ nền tảng nhất: bốn công cụ còn lại chỉ là các trường hợp đặc biệt của nó, và khi ghép nhiều công cụ trong một bài, quy tắc nhân là thứ nối chúng lại với nhau.

Với khai triển nhị thức Newton, dạng bài tổng hợp phổ biến nhất là tìm hệ số của một số hạng khi nhị thức có cả hệ số lẫn dấu, ví dụ $(2x-1)^n$ hoặc $(2x+1)^n$ : quy trình bốn bước đã học ở Chương 5 — xác định $n$ và số hạng tổng quát, lập điều kiện trên số mũ, giải ra $k$ , rồi thay vào để tính hệ số — vẫn áp dụng nguyên vẹn, chỉ cần cẩn thận với luỹ thừa của hệ số đi kèm biến.

Với khai triển nhị thức Newton, dạng bài tổng hợp phổ biến nhất là tìm hệ số của một số hạng khi nhị thức có cả hệ số lẫn dấu, ví dụ $(2x-1)^n$ hoặc $(2x+1)^n$: quy trình bốn bước đã học ở Chương 5 — xác định $n$ và số hạng tổng quát, lập điều kiện trên số mũ, giải ra $k$, rồi thay vào để tính hệ số — vẫn áp dụng nguyên vẹn, chỉ cần cẩn thận với luỹ thừa của hệ số đi kèm biến.

Bốn công cụ, bốn con số rất khác nhau dù có vẻ "gần giống" — luôn kiểm tra lại công cụ trước khi tính.

Nhìn lại biểu đồ trên: cả bốn con số đều xuất phát từ những $n$ , $k$ khá gần nhau (7, 8, 9), nhưng kết quả trải dài từ 24 đến 126 — chênh nhau hơn 5 lần. Đây là lời nhắc cuối chương: không có "con số điển hình" cho một bài toán đếm; đáp số phụ thuộc hoàn toàn vào công cụ nào phản ánh đúng cấu trúc đề bài. Một thói quen tốt trước khi nộp bài là đọc lại đề một lần nữa sau khi tính xong, tự hỏi: "nếu đổi thứ tự chọn, kết quả có đổi theo đề bài hỏi không", để xác nhận công cụ đã dùng thực sự khớp với câu hỏi.

Nhìn lại biểu đồ trên: cả bốn con số đều xuất phát từ những $n$, $k$ khá gần nhau (7, 8, 9), nhưng kết quả trải dài từ 24 đến 126 — chênh nhau hơn 5 lần. Đây là lời nhắc cuối chương: không có "con số điển hình" cho một bài toán đếm; đáp số phụ thuộc hoàn toàn vào công cụ nào phản ánh đúng cấu trúc đề bài. Một thói quen tốt trước khi nộp bài là đọc lại đề một lần nữa sau khi tính xong, tự hỏi: "nếu đổi thứ tự chọn, kết quả có đổi theo đề bài hỏi không", để xác nhận công cụ đã dùng thực sự khớp với câu hỏi.

Một dạng bài tổng hợp khác hay gặp trong đề kiểm tra là bài toán "đếm gián tiếp": thay vì đếm trực tiếp trường hợp đề bài hỏi, đếm tổng số trường hợp rồi trừ đi các trường hợp không thoả mãn. Ví dụ, để đếm số cách chọn 3 học sinh từ 10 bạn sao cho có ít nhất 1 bạn nữ (biết lớp có 6 nữ, 4 nam), thay vì cộng dồn nhiều trường hợp (1 nữ 2 nam, 2 nữ 1 nam, 3 nữ), cách gọn hơn là lấy tổng số cách chọn 3 trong 10 ( $C_{10}^3$ ) trừ đi số cách chọn toàn nam ( $C_4^3$ , tức không có nữ nào). Kỹ thuật đếm phần bù này không phải công cụ mới, chỉ là cách phối hợp quy tắc cộng/trừ với tổ hợp đã học, và giúp bài toán nhiều trường hợp trở nên gọn hơn hẳn.

Một dạng bài tổng hợp khác hay gặp trong đề kiểm tra là bài toán "đếm gián tiếp": thay vì đếm trực tiếp trường hợp đề bài hỏi, đếm tổng số trường hợp rồi trừ đi các trường hợp không thoả mãn. Ví dụ, để đếm số cách chọn 3 học sinh từ 10 bạn sao cho có ít nhất 1 bạn nữ (biết lớp có 6 nữ, 4 nam), thay vì cộng dồn nhiều trường hợp (1 nữ 2 nam, 2 nữ 1 nam, 3 nữ), cách gọn hơn là lấy tổng số cách chọn 3 trong 10 ($C_{10}^3$) trừ đi số cách chọn toàn nam ($C_4^3$, tức không có nữ nào). Kỹ thuật đếm phần bù này không phải công cụ mới, chỉ là cách phối hợp quy tắc cộng/trừ với tổ hợp đã học, và giúp bài toán nhiều trường hợp trở nên gọn hơn hẳn.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: chức vụ rồi thành viên thường

1
Một đội tuyển gồm 10 học sinh. Ban huấn luyện chọn ra 1 đội trưởng và 1 đội phó (hai vai trò khác nhau) từ 10 bạn, sau đó chọn thêm 3 bạn làm thành viên thường (không phân vai trò) từ 8 bạn còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội hoàn chỉnh?
2
Ta có giai đoạn 1: chọn đội trưởng và đội phó (2 vai trò khác nhau) từ 10 bạn — chỉnh hợp $A_{10}^2$ . Giai đoạn 2: chọn 3 thành viên thường (không phân vai trò) từ 8 bạn còn lại — tổ hợp $C_8^3$ . Hai giai đoạn nối tiếp nhau (chọn xong chức vụ mới chọn thành viên thường), nên nhân kết quả theo quy tắc nhân.
Ta có giai đoạn 1: chọn đội trưởng và đội phó (2 vai trò khác nhau) từ 10 bạn — chỉnh hợp $A_{10}^2$. Giai đoạn 2: chọn 3 thành viên thường (không phân vai trò) từ 8 bạn còn lại — tổ hợp $C_8^3$. Hai giai đoạn nối tiếp nhau (chọn xong chức vụ mới chọn thành viên thường), nên nhân kết quả theo quy tắc nhân.
3
$A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$ . $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$ .
$A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$. $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$.
4
Số cách lập đội hoàn chỉnh là $90 \times 56 = 5040$ .
Số cách lập đội hoàn chỉnh là $90 \times 56 = 5040$.
5
Bậc độ lớn hợp lý: chọn 2 trong 10 có thứ tự (90 cách, gần $10^2$ ) nhân với chọn 3 trong 8 không thứ tự (56 cách, nhỏ hơn nhiều so với $A_8^3=336$ vì đã chia cho $3!$ ) — tích 5040 nằm trong khoảng hợp lý, không có dấu hiệu tính nhầm bậc. Vậy có 5040 cách lập đội hoàn chỉnh.
Bậc độ lớn hợp lý: chọn 2 trong 10 có thứ tự (90 cách, gần $10^2$) nhân với chọn 3 trong 8 không thứ tự (56 cách, nhỏ hơn nhiều so với $A_8^3=336$ vì đã chia cho $3!$) — tích 5040 nằm trong khoảng hợp lý, không có dấu hiệu tính nhầm bậc. Vậy có 5040 cách lập đội hoàn chỉnh.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: hệ số trong khai triển có dấu — dạng thi

1
Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(2x+1)^6$ .
Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(2x+1)^6$.
2
Với $n=6$ , $a=2x$ , $b=1$ : số hạng tổng quát là $C_6^k (2x)^{6-k} \cdot 1^k = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{6-k}$ .
Với $n=6$, $a=2x$, $b=1$: số hạng tổng quát là $C_6^k (2x)^{6-k} \cdot 1^k = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{6-k}$.
3
Cần số mũ của $x$ bằng 3, tức $6-k=3$ , suy ra $k=3$ .
Cần số mũ của $x$ bằng 3, tức $6-k=3$, suy ra $k=3$.
4
Thay $k=3$ : hệ số là $C_6^3 \cdot 2^{6-3} = 20 \times 8 = 160$ .
Thay $k=3$: hệ số là $C_6^3 \cdot 2^{6-3} = 20 \times 8 = 160$.
5
Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển $(2x+1)^6$ là 160.
Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển $(2x+1)^6$ là 160.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài tổng hợp là quên nhân các giai đoạn lại với nhau, chỉ tính riêng từng giai đoạn rồi dừng — hoặc ngược lại, cộng hai giai đoạn nối tiếp thay vì nhân. Luôn kiểm tra lại câu hỏi gốc từ Chương 1: các giai đoạn này có nối tiếp nhau (đều cần xảy ra để hoàn thành bài toán) hay tách biệt (chỉ một trong chúng xảy ra)?

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán đếm nhiều bước: tách thành các giai đoạn, chọn đúng công cụ cho từng giai đoạn (quy tắc cộng/nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hoặc hệ số nhị thức Newton), rồi nhân các kết quả theo quy tắc nhân nếu các giai đoạn nối tiếp nhau. Luôn kiểm tra lại bậc độ lớn của đáp số cuối cùng có hợp lý không.

Với nền tảng đếm và khai triển nhị thức Newton đã vững, chương tiếp theo của chương trình sẽ dùng lại đúng công thức tổ hợp này để học thống kê và xác suất cổ điển — nơi "số kết quả thuận lợi chia cho số kết quả có thể" cần chính xác các công cụ đếm vừa học ở đây.