Bài học

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được điều kiện để một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng hữu hạn, tính được tổng đó bằng công thức, và áp dụng được vào bài toán chuyển số thập phân tuần hoàn thành phân số cùng bài toán quãng đường của một vật chuyển động nảy lặp lại nhiều lần.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công thức $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ để cộng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân — một tổng dừng lại sau đúng $n$ số hạng. Bài này hỏi một câu táo bạo hơn: nếu ta cứ cộng mãi, không dừng ở số hạng thứ $n$ nào cả, tổng có tiến tới một giá trị cố định hay không, hay nó sẽ lớn vô hạn?

Khởi động

Số thập phân $0{,}333\ldots$ (chữ số 3 lặp lại vô hạn, không bao giờ dừng) chính là $\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dots$ — cộng vô hạn số hạng của một cấp số nhân với $q=\dfrac1{10}$ . Nhưng em đã biết $0{,}(3)=\dfrac13$ . Làm sao cộng vô hạn số hạng lại ra một phân số hữu hạn, gọn gàng như vậy?

Số thập phân $0{,}333\ldots$ (chữ số 3 lặp lại vô hạn, không bao giờ dừng) chính là $\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dots$ — cộng vô hạn số hạng của một cấp số nhân với $q=\dfrac1{10}$. Nhưng em đã biết $0{,}(3)=\dfrac13$. Làm sao cộng vô hạn số hạng lại ra một phân số hữu hạn, gọn gàng như vậy?

Kiến thức trọng tâm

Xét cấp số nhân với công bội $q$ thoả $|q|<1$ . Khi $n$ càng lớn, $q^n$ càng tiến gần 0 (vì $|q|<1$ nghĩa là mỗi lần nhân thêm $q$ , độ lớn số hạng càng thu nhỏ lại). Trong công thức $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ , khi $q^n\to 0$ , tử số $1-q^n$ tiến gần 1, nên tổng $S_n$ tiến gần một giá trị cố định. Giá trị đó gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \dots = \dfrac{u_1}{1-q} \quad (|q|<1)$

Xét cấp số nhân với công bội $q$ thoả $|q|<1$. Khi $n$ càng lớn, $q^n$ càng tiến gần 0 (vì $|q|<1$ nghĩa là mỗi lần nhân thêm $q$, độ lớn số hạng càng thu nhỏ lại). Trong công thức $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$, khi $q^n\to 0$, tử số $1-q^n$ tiến gần 1, nên tổng $S_n$ tiến gần một giá trị cố định. Giá trị đó gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $$S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \dots = \dfrac{u_1}{1-q} \quad (|q|<1)$$

Điều kiện $|q|<1$ là bắt buộc, không phải chi tiết phụ. Nếu $|q|\ge1$ , các số hạng không nhỏ dần (giữ nguyên độ lớn khi $q=\pm1$ , hoặc lớn dần khi $|q|>1$ ), nên tổng cộng dồn lớn vô hạn hoặc dao động không dừng — công thức $S=u_1/(1-q)$ khi đó không còn ý nghĩa, dù vẫn viết ra được một con số bằng máy tính.

Điều kiện $|q|<1$ là bắt buộc, không phải chi tiết phụ. Nếu $|q|\ge1$, các số hạng không nhỏ dần (giữ nguyên độ lớn khi $q=\pm1$, hoặc lớn dần khi $|q|>1$), nên tổng cộng dồn lớn vô hạn hoặc dao động không dừng — công thức $S=u_1/(1-q)$ khi đó không còn ý nghĩa, dù vẫn viết ra được một con số bằng máy tính.

Hãy hình dung bằng chính con số cụ thể của $0{,}(3)$ . Cộng dần các tổng riêng phần: $S_1=0{,}3$ , $S_2=0{,}33$ , $S_3=0{,}333$ , $S_4=0{,}3333$ — mỗi lần cộng thêm một chữ số 3 vào sau, tổng càng gần $\dfrac13=0{,}3333\ldots$ hơn, nhưng không bao giờ vượt qua nó, cũng không có bước nào tổng "chạm" đúng $\dfrac13$ sau hữu hạn bước cộng. Vô hạn số hạng, tuy không bước nào là bước cuối, vẫn tiến chặt tới một giá trị cố định — đó chính là điều công thức tổng vô hạn nắm bắt.

Hãy hình dung bằng chính con số cụ thể của $0{,}(3)$. Cộng dần các tổng riêng phần: $S_1=0{,}3$, $S_2=0{,}33$, $S_3=0{,}333$, $S_4=0{,}3333$ — mỗi lần cộng thêm một chữ số 3 vào sau, tổng càng gần $\dfrac13=0{,}3333\ldots$ hơn, nhưng không bao giờ vượt qua nó, cũng không có bước nào tổng "chạm" đúng $\dfrac13$ sau hữu hạn bước cộng. Vô hạn số hạng, tuy không bước nào là bước cuối, vẫn tiến chặt tới một giá trị cố định — đó chính là điều công thức tổng vô hạn nắm bắt.

Mỗi số hạng chỉ bằng 0,6 lần số hạng trước, nên các dấu chấm dồn nhanh về phía 0 — đây là hình ảnh của điều kiện

|q|<1

.Mỗi số hạng chỉ bằng 0,6 lần số hạng trước, nên các dấu chấm dồn nhanh về phía 0 — đây là hình ảnh của điều kiện $|q|<1$.

Ví dụ

Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số

1
Viết số thập phân $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ dưới dạng phân số.
Viết số thập phân $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ dưới dạng phân số.
2
Ta có $0{,}(3) = \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dots$ — đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\dfrac{3}{10}$ , $q=\dfrac1{10}$ .
Ta có $0{,}(3) = \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dots$ — đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\dfrac{3}{10}$, $q=\dfrac1{10}$.
3
Ta có $|q|=\dfrac1{10}<1$ , nên tổng hữu hạn tồn tại.
Ta có $|q|=\dfrac1{10}<1$, nên tổng hữu hạn tồn tại.
4
Ta có $S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{3/10}{1-1/10}=\dfrac{3/10}{9/10}=\dfrac{3}{9}=\dfrac13$ .
Ta có $S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{3/10}{1-1/10}=\dfrac{3/10}{9/10}=\dfrac{3}{9}=\dfrac13$.
5
Vậy $0{,}(3)=\dfrac13$ — đúng như giá trị em vốn đã biết, nay được chứng minh chặt chẽ bằng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Vậy $0{,}(3)=\dfrac13$ — đúng như giá trị em vốn đã biết, nay được chứng minh chặt chẽ bằng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ

Bài toán quả bóng nảy

1
Thả một quả bóng rơi tự do từ độ cao $2$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $60\%$ độ cao lần rơi trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được, giả sử bóng nảy vô hạn lần.
Thả một quả bóng rơi tự do từ độ cao $2$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $60\%$ độ cao lần rơi trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được, giả sử bóng nảy vô hạn lần.
2
Độ cao đỉnh sau mỗi lần nảy lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn: $u_1=2\times0{,}6=1{,}2$ m, $q=0{,}6$ .
Độ cao đỉnh sau mỗi lần nảy lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn: $u_1=2\times0{,}6=1{,}2$ m, $q=0{,}6$.
3
Ta có $S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1{,}2}{1-0{,}6}=\dfrac{1{,}2}{0{,}4}=3$ m.
Ta có $S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1{,}2}{1-0{,}6}=\dfrac{1{,}2}{0{,}4}=3$ m.
4
Cú rơi đầu tiên chỉ đi một chiều xuống (2 m). Từ lần nảy thứ nhất trở đi, mỗi lần bóng đi lên rồi lại rơi xuống đúng độ cao đó, nên quãng đường của mỗi lần nảy phải nhân đôi: tổng quãng đường từ các lần nảy là $2\times S = 2\times3=6$ m.
Cú rơi đầu tiên chỉ đi một chiều xuống (2 m). Từ lần nảy thứ nhất trở đi, mỗi lần bóng đi lên rồi lại rơi xuống đúng độ cao đó, nên quãng đường của mỗi lần nảy phải nhân đôi: tổng quãng đường từ các lần nảy là $2\times S = 2\times3=6$ m.
5
Vậy tổng quãng đường bóng đi được là $2+6=8$ m.
Vậy tổng quãng đường bóng đi được là $2+6=8$ m.
6
Xét vài lần nảy đầu để đối chiếu: bóng rơi 2 m, nảy lên 1,2 m rồi rơi xuống 1,2 m (cộng dồn $2+2{,}4=4{,}4$ m), nảy lên $0{,}72$ m rồi rơi xuống $0{,}72$ m (cộng dồn $4{,}4+1{,}44=5{,}84$ m), cứ thế các số cộng thêm càng lúc càng nhỏ và tổng cộng dồn tiến dần về 8 m — khớp với kết quả tính bằng công thức.
Xét vài lần nảy đầu để đối chiếu: bóng rơi 2 m, nảy lên 1,2 m rồi rơi xuống 1,2 m (cộng dồn $2+2{,}4=4{,}4$ m), nảy lên $0{,}72$ m rồi rơi xuống $0{,}72$ m (cộng dồn $4{,}4+1{,}44=5{,}84$ m), cứ thế các số cộng thêm càng lúc càng nhỏ và tổng cộng dồn tiến dần về 8 m — khớp với kết quả tính bằng công thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi nghiêm trọng nhất là áp dụng công thức $S=u_1/(1-q)$ mà quên kiểm tra $|q|<1$ — với $|q|\ge1$ , tổng không tồn tại (vô hạn hoặc dao động), công thức cho ra một con số nhưng con số đó vô nghĩa. Ở bài toán quả bóng, lỗi thường gặp khác là quên nhân đôi quãng đường của các lần nảy (mỗi lần nảy có cả đoạn đi lên và đoạn rơi xuống), hoặc ngược lại nhân đôi luôn cả cú rơi đầu tiên — cú rơi đầu chỉ có một chiều, vì bóng chưa từng nảy trước đó. Một lỗi khác khi chuyển số thập phân tuần hoàn: nhầm $u_1$ là chính số thập phân ban đầu (như $0{,}3$ ) thay vì số hạng đầu đúng nghĩa của cấp số nhân (như $3/10$ ) — hai cách viết trông giống nhau nhưng vai trò trong công thức khác nhau.

Lỗi nghiêm trọng nhất là áp dụng công thức $S=u_1/(1-q)$ mà quên kiểm tra $|q|<1$ — với $|q|\ge1$, tổng không tồn tại (vô hạn hoặc dao động), công thức cho ra một con số nhưng con số đó vô nghĩa. Ở bài toán quả bóng, lỗi thường gặp khác là quên nhân đôi quãng đường của các lần nảy (mỗi lần nảy có cả đoạn đi lên và đoạn rơi xuống), hoặc ngược lại nhân đôi luôn cả cú rơi đầu tiên — cú rơi đầu chỉ có một chiều, vì bóng chưa từng nảy trước đó. Một lỗi khác khi chuyển số thập phân tuần hoàn: nhầm $u_1$ là chính số thập phân ban đầu (như $0{,}3$) thay vì số hạng đầu đúng nghĩa của cấp số nhân (như $3/10$) — hai cách viết trông giống nhau nhưng vai trò trong công thức khác nhau.

Tóm tắt

Cấp số nhân lùi vô hạn với $|q|<1$ có tổng hữu hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ . Công thức này giải thích được vì sao một số thập phân tuần hoàn luôn viết được thành phân số, và vì sao một quả bóng nảy vô hạn lần vẫn chỉ đi một quãng đường hữu hạn — hai điều nghe có vẻ nghịch lý nếu chỉ nhìn bằng trực giác, nhưng hoàn toàn nhất quán một khi em hiểu rằng cộng vô hạn số hạng đang co lại rất nhanh vẫn cho ra một tổng hữu hạn, không phải một tổng lớn dần mãi.

Cấp số nhân lùi vô hạn với $|q|<1$ có tổng hữu hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$. Công thức này giải thích được vì sao một số thập phân tuần hoàn luôn viết được thành phân số, và vì sao một quả bóng nảy vô hạn lần vẫn chỉ đi một quãng đường hữu hạn — hai điều nghe có vẻ nghịch lý nếu chỉ nhìn bằng trực giác, nhưng hoàn toàn nhất quán một khi em hiểu rằng cộng vô hạn số hạng đang co lại rất nhanh vẫn cho ra một tổng hữu hạn, không phải một tổng lớn dần mãi.

So sánh với chương trước: cấp số nhân với $|q|>1$ (như tờ giấy gập đôi) tăng vọt không giới hạn khi cộng thêm số hạng; còn cấp số nhân với $|q|<1$ lại co dần về 0 và tổng của nó dừng lại ở một giá trị hữu hạn. Cùng một công thức $u_n=u_1q^{n-1}$ , nhưng công bội $q$ quyết định dãy đi theo hướng hoàn toàn trái ngược nhau — đây là điểm khác biệt quan trọng nhất cần ghi nhớ về cấp số nhân, và cũng là lý do vì sao đề bài luôn phải nói rõ giá trị của $q$ trước khi em chọn công thức tổng nào để áp dụng.

So sánh với chương trước: cấp số nhân với $|q|>1$ (như tờ giấy gập đôi) tăng vọt không giới hạn khi cộng thêm số hạng; còn cấp số nhân với $|q|<1$ lại co dần về 0 và tổng của nó dừng lại ở một giá trị hữu hạn. Cùng một công thức $u_n=u_1q^{n-1}$, nhưng công bội $q$ quyết định dãy đi theo hướng hoàn toàn trái ngược nhau — đây là điểm khác biệt quan trọng nhất cần ghi nhớ về cấp số nhân, và cũng là lý do vì sao đề bài luôn phải nói rõ giá trị của $q$ trước khi em chọn công thức tổng nào để áp dụng.

Chương tiếp theo của khoá học tổng kết lại toàn bộ dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, đồng thời áp dụng chúng vào một bài toán quen thuộc trong đời sống: lãi suất tiết kiệm — nơi chính công bội $q>1$ (chứ không phải $|q|<1$ như bài này) làm cho số tiền lớn dần vượt xa mức tăng đều của lãi đơn.