Bài học

Phương trình lượng giác đặt ẩn phụ và bậc nhất đối với sin, cos

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ (kèm điều kiện $-1\le t\le1$ ), giải được phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$ bằng công thức biến đổi về một hàm sin duy nhất, và giải được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos bằng cách chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$ .

Sau bài này, em giải được phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ (kèm điều kiện $-1\le t\le1$), giải được phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$ bằng công thức biến đổi về một hàm sin duy nhất, và giải được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos bằng cách chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại liên tục hai công cụ đã học: công thức nghiệm của $\sin x=a$ và $\cos x=a$ (same-grade bridge, hai bài trước), cùng công thức cộng $\sin(x+\varphi)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi$ đã học ở Khóa 1. Đây không phải nội dung mới — mà là cách kết hợp hai công cụ cũ để giải những phương trình phức tạp hơn dạng cơ bản.

Khởi động

Phương trình $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ trông giống một phương trình bậc hai quen thuộc — chỉ khác ẩn số không phải $x$ mà là $\sin x$ . Nếu tạm coi $\sin x$ là một ẩn mới, em có giải được phương trình bậc hai này không?

Phương trình $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ trông giống một phương trình bậc hai quen thuộc — chỉ khác ẩn số không phải $x$ mà là $\sin x$. Nếu tạm coi $\sin x$ là một ẩn mới, em có giải được phương trình bậc hai này không?

Kiến thức trọng tâm

Một phương trình chỉ chứa $\sin x$ dưới dạng đa thức bậc hai, ví dụ $A\sin^2x+B\sin x+C=0$ , được giải bằng cách đặt $t=\sin x$ . Vì $t=\sin x$ nên bắt buộc phải có điều kiện $-1\le t\le1$ — nếu nghiệm $t$ tìm được nằm ngoài đoạn này, ta loại nghiệm đó ngay, không cần giải tiếp phương trình $\sin x=t$ . Sau khi tìm được các giá trị $t$ hợp lệ, ta quay lại giải từng phương trình cơ bản $\sin x=t$ đã học ở bài trước — một phương trình bậc hai có thể sinh ra hai, ba, thậm chí bốn họ nghiệm khác nhau về $x$ .

Một phương trình chỉ chứa $\sin x$ dưới dạng đa thức bậc hai, ví dụ $A\sin^2x+B\sin x+C=0$, được giải bằng cách đặt $t=\sin x$. Vì $t=\sin x$ nên bắt buộc phải có điều kiện $-1\le t\le1$ — nếu nghiệm $t$ tìm được nằm ngoài đoạn này, ta loại nghiệm đó ngay, không cần giải tiếp phương trình $\sin x=t$. Sau khi tìm được các giá trị $t$ hợp lệ, ta quay lại giải từng phương trình cơ bản $\sin x=t$ đã học ở bài trước — một phương trình bậc hai có thể sinh ra hai, ba, thậm chí bốn họ nghiệm khác nhau về $x$.

Cách làm với $\cos x$ hoàn toàn tương tự: đặt $t=\cos x$ , cùng điều kiện $-1\le t\le1$ .

Cách làm với $\cos x$ hoàn toàn tương tự: đặt $t=\cos x$, cùng điều kiện $-1\le t\le1$.

Một dạng phương trình khác thường gặp là $a\sin x+b\cos x=c$ , với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Ta không thể đặt $t=\sin x$ ở đây vì còn thừa $\cos x$ độc lập. Thay vào đó, ta dùng công thức biến đổi $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ , trong đó $\varphi$ là một góc thỏa $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ — công thức này chính là công thức cộng $\sin(x+\varphi)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi$ đọc ngược từ Khóa 1. Sau khi biến đổi, phương trình trở thành $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=c$ — đúng dạng $\sin(\cdot)=$ hằng số đã biết cách giải.

Một dạng phương trình khác thường gặp là $a\sin x+b\cos x=c$, với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Ta không thể đặt $t=\sin x$ ở đây vì còn thừa $\cos x$ độc lập. Thay vào đó, ta dùng công thức biến đổi $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$, trong đó $\varphi$ là một góc thỏa $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ — công thức này chính là công thức cộng $\sin(x+\varphi)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi$ đọc ngược từ Khóa 1. Sau khi biến đổi, phương trình trở thành $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=c$ — đúng dạng $\sin(\cdot)=$ hằng số đã biết cách giải.

Phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi và chỉ khi $|c|\le\sqrt{a^2+b^2}$ , vì $\sin(x+\varphi)$ không thể vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối — đúng logic điều kiện có nghiệm của $\sin x=a$ mà em đã quen.

Phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi và chỉ khi $|c|\le\sqrt{a^2+b^2}$, vì $\sin(x+\varphi)$ không thể vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối — đúng logic điều kiện có nghiệm của $\sin x=a$ mà em đã quen.

Hình dưới minh họa Ví dụ 1: sau khi đặt $t=\sin x$ , hai nghiệm $t=1$ và $t=\dfrac12$ trở thành hai đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị $y=\sin x$ .

Hình dưới minh họa Ví dụ 1: sau khi đặt $t=\sin x$, hai nghiệm $t=1$ và $t=\dfrac12$ trở thành hai đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị $y=\sin x$.

Sau khi giải phương trình bậc hai theo t được t=1 và t=1/2, việc tìm nghiệm x quay lại đúng bài toán quen thuộc: đọc giao điểm của hai đường thẳng nằm ngang với đồ thị sin.

Ví dụ

Giải phương trình

2\sin^2x-3\sin x+1=0

Giải phương trình $2\sin^2x-3\sin x+1=0$

1
Giải phương trình $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ .
Giải phương trình $2\sin^2x-3\sin x+1=0$.
2
Đặt $t=\sin x$ , điều kiện $-1\le t\le1$ . Phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$ .
Đặt $t=\sin x$, điều kiện $-1\le t\le1$. Phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$.
3
$\Delta=9-8=1>0$ . $t=\dfrac{3\pm1}{4}$ , suy ra $t=1$ hoặc $t=\dfrac12$ . Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
$\Delta=9-8=1>0$. $t=\dfrac{3\pm1}{4}$, suy ra $t=1$ hoặc $t=\dfrac12$. Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
4
Với $t=1$ : $\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ . Với $t=\dfrac12$ : $\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ .
Với $t=1$: $\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$. Với $t=\dfrac12$: $\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$.
5
Vậy phương trình có ba họ nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ , $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ , $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Vậy phương trình có ba họ nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$, $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Ví dụ

Giải phương trình

\sin x+\sqrt3\cos x=1

Giải phương trình $\sin x+\sqrt3\cos x=1$

1
Giải phương trình $\sin x+\sqrt3\cos x=1$ .
Giải phương trình $\sin x+\sqrt3\cos x=1$.
2
Ta có $a=1$ , $b=\sqrt3$ , $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$ .
Ta có $a=1$, $b=\sqrt3$, $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$.
3
$\cos\varphi=\dfrac12$ , $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , nên chọn $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ .
$\cos\varphi=\dfrac12$, $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$, nên chọn $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$.
4
$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ , nên phương trình trở thành $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$ , tức $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$ .
$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$, nên phương trình trở thành $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$, tức $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$.
5
$x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ .
$x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$.
6
Trường hợp 1: $x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ . Trường hợp 2: $x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ .
Trường hợp 1: $x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$. Trường hợp 2: $x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$.
7
Thay $x=-\dfrac{\pi}{6}$ : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt3\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12+\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac12+\dfrac32=1$ (TMĐK).
Thay $x=-\dfrac{\pi}{6}$: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt3\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12+\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac12+\dfrac32=1$ (TMĐK).
8
Vậy $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Một điểm cần phân biệt: phương trình bậc hai đối với $\sin x$ chỉ có thể đặt ẩn phụ khi toàn bộ phương trình viết được thuần túy theo $\sin x$ — nếu còn lẫn $\cos x$ độc lập (không phải qua $\cos^2x=1-\sin^2x$ ), ta phải dùng công thức đó để chuyển $\cos^2x$ về $1-\sin^2x$ trước, rồi mới đặt ẩn phụ được. Đây là kỹ năng sẽ gặp lại trong bài ôn tập cuối chương, khi phương trình pha trộn $\cos2x$ và $\sin x$ đòi hỏi đúng bước biến đổi này trước khi đặt ẩn phụ.

Một điểm cần phân biệt: phương trình bậc hai đối với $\sin x$ chỉ có thể đặt ẩn phụ khi toàn bộ phương trình viết được thuần túy theo $\sin x$ — nếu còn lẫn $\cos x$ độc lập (không phải qua $\cos^2x=1-\sin^2x$), ta phải dùng công thức đó để chuyển $\cos^2x$ về $1-\sin^2x$ trước, rồi mới đặt ẩn phụ được. Đây là kỹ năng sẽ gặp lại trong bài ôn tập cuối chương, khi phương trình pha trộn $\cos2x$ và $\sin x$ đòi hỏi đúng bước biến đổi này trước khi đặt ẩn phụ.

Ví dụ

Giải phương trình

\cos2x+3\cos x+2=0

Giải phương trình $\cos2x+3\cos x+2=0$

1
Giải phương trình $\cos2x+3\cos x+2=0$ .
Giải phương trình $\cos2x+3\cos x+2=0$.
2
Dùng công thức nhân đôi $\cos2x=2\cos^2x-1$ (Khóa 1), phương trình trở thành $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0$ , tức $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ .
Dùng công thức nhân đôi $\cos2x=2\cos^2x-1$ (Khóa 1), phương trình trở thành $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0$, tức $2\cos^2x+3\cos x+1=0$.
3
Đặt $t=\cos x$ , điều kiện $-1\le t\le1$ . Phương trình trở thành $2t^2+3t+1=0$ .
Đặt $t=\cos x$, điều kiện $-1\le t\le1$. Phương trình trở thành $2t^2+3t+1=0$.
4
$\Delta=9-8=1>0$ . $t=\dfrac{-3\pm1}{4}$ , suy ra $t=-\dfrac12$ hoặc $t=-1$ . Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
$\Delta=9-8=1>0$. $t=\dfrac{-3\pm1}{4}$, suy ra $t=-\dfrac12$ hoặc $t=-1$. Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
5
Với $t=-\dfrac12$ : $\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ . Với $t=-1$ : $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+k2\pi$ .
Với $t=-\dfrac12$: $\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$. Với $t=-1$: $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+k2\pi$.
6
Thay $x=\dfrac{2\pi}{3}$ : $\cos\dfrac{4\pi}{3}+3\cos\dfrac{2\pi}{3}+2=-\dfrac12+3\left(-\dfrac12\right)+2=-\dfrac12-\dfrac32+2=0$ (TMĐK).
Thay $x=\dfrac{2\pi}{3}$: $\cos\dfrac{4\pi}{3}+3\cos\dfrac{2\pi}{3}+2=-\dfrac12+3\left(-\dfrac12\right)+2=-\dfrac12-\dfrac32+2=0$ (TMĐK).
7
Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là quên điều kiện $-1\le t\le1$ và chấp nhận một nghiệm $t$ nằm ngoài đoạn này (chẳng hạn $t=2$ từ một phương trình bậc hai khác) — nghiệm đó phải bị loại ngay, không được giải tiếp $\sin x=2$ . Sai lầm khác là nhầm lẫn vai trò $a,b$ khi tính $\varphi$ : $\cos\varphi$ ứng với hệ số của $\sin x$ (là $a$ ), không phải hệ số của $\cos x$ .

Sai lầm phổ biến là quên điều kiện $-1\le t\le1$ và chấp nhận một nghiệm $t$ nằm ngoài đoạn này (chẳng hạn $t=2$ từ một phương trình bậc hai khác) — nghiệm đó phải bị loại ngay, không được giải tiếp $\sin x=2$. Sai lầm khác là nhầm lẫn vai trò $a,b$ khi tính $\varphi$: $\cos\varphi$ ứng với hệ số của $\sin x$ (là $a$), không phải hệ số của $\cos x$.

Còn một dạng phương trình bậc hai đáng chú ý thứ ba: phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $\sin x,\cos x$ , dạng $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ — mọi số hạng đều bậc hai, không có số hạng bậc thấp hơn xen giữa. Kỹ thuật xử lý khác hẳn hai kỹ thuật trên: xét trước $\cos x=0$ có là nghiệm không (thường không, vì khi đó $a\sin^2x=0$ kéo theo $\sin x=0$ cũng, mâu thuẫn với $\sin^2x+\cos^2x=1$ ); sau đó chia cả hai vế cho $\cos^2x\ne0$ để đưa về phương trình bậc hai theo $\tan x$ .

Còn một dạng phương trình bậc hai đáng chú ý thứ ba: phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $\sin x,\cos x$, dạng $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ — mọi số hạng đều bậc hai, không có số hạng bậc thấp hơn xen giữa. Kỹ thuật xử lý khác hẳn hai kỹ thuật trên: xét trước $\cos x=0$ có là nghiệm không (thường không, vì khi đó $a\sin^2x=0$ kéo theo $\sin x=0$ cũng, mâu thuẫn với $\sin^2x+\cos^2x=1$); sau đó chia cả hai vế cho $\cos^2x\ne0$ để đưa về phương trình bậc hai theo $\tan x$.

Ví dụ

Giải phương trình

\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0

Giải phương trình $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$

1
Giải phương trình $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$ .
Giải phương trình $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$.
2
Nếu $\cos x=0$ thì phương trình trở thành $\sin^2x=0$ , tức $\sin x=0$ — nhưng $\sin x$ và $\cos x$ không thể cùng bằng 0 (vì $\sin^2x+\cos^2x=1$ ), nên $\cos x=0$ không phải là nghiệm.
Nếu $\cos x=0$ thì phương trình trở thành $\sin^2x=0$, tức $\sin x=0$ — nhưng $\sin x$ và $\cos x$ không thể cùng bằng 0 (vì $\sin^2x+\cos^2x=1$), nên $\cos x=0$ không phải là nghiệm.
3
Vì $\cos x\ne0$ với mọi nghiệm, chia cả hai vế cho $\cos^2x$ : $\tan^2x-3\tan x+2=0$ .
Vì $\cos x\ne0$ với mọi nghiệm, chia cả hai vế cho $\cos^2x$: $\tan^2x-3\tan x+2=0$.
4
Đặt $t=\tan x$ (không cần điều kiện chặn vì tan nhận mọi giá trị thực). $(t-1)(t-2)=0$ , suy ra $t=1$ hoặc $t=2$ .
Đặt $t=\tan x$ (không cần điều kiện chặn vì tan nhận mọi giá trị thực). $(t-1)(t-2)=0$, suy ra $t=1$ hoặc $t=2$.
5
Với $t=1$ : $\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ . Với $t=2$ : $\tan x=2\Rightarrow x=\arctan2+k\pi$ — vì 2 không phải giá trị tan của một góc đặc biệt, ta để nghiệm dưới dạng $\arctan2$ , đúng như quy ước đã học ở bài trước.
Với $t=1$: $\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$. Với $t=2$: $\tan x=2\Rightarrow x=\arctan2+k\pi$ — vì 2 không phải giá trị tan của một góc đặc biệt, ta để nghiệm dưới dạng $\arctan2$, đúng như quy ước đã học ở bài trước.
6
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ hoặc $x=\arctan2+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ hoặc $x=\arctan2+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Ba kỹ thuật của bài này giải quyết ba tình huống khác nhau về mặt cấu trúc: đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ dùng khi phương trình chỉ chứa MỘT hàm lượng giác (dù ở bậc hai, ba…); biến đổi biên độ dùng khi phương trình là tổ hợp TUYẾN TÍNH của cả $\sin x$ và $\cos x$ cùng bậc nhất; chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$ dùng khi phương trình ĐẲNG CẤP bậc hai — mọi số hạng cùng bậc hai theo $\sin x,\cos x$ . Nhận diện đúng cấu trúc phương trình trước khi chọn kỹ thuật là bước quan trọng nhất — chọn sai kỹ thuật (ví dụ cố đặt $t=\sin x$ cho một phương trình còn lẫn $\cos x$ độc lập bậc nhất, hoặc quên xét $\cos x=0$ trước khi chia cho $\cos^2x$ ) sẽ dẫn đến bế tắc hoặc mất nghiệm. Với thời gian và luyện tập đều đặn, việc nhận dạng đúng kỹ thuật ngay từ cái nhìn đầu tiên trở thành phản xạ — đúng như mục tiêu cuối cùng của cả chương này.

Ba kỹ thuật của bài này giải quyết ba tình huống khác nhau về mặt cấu trúc: đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ dùng khi phương trình chỉ chứa MỘT hàm lượng giác (dù ở bậc hai, ba…); biến đổi biên độ dùng khi phương trình là tổ hợp TUYẾN TÍNH của cả $\sin x$ và $\cos x$ cùng bậc nhất; chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$ dùng khi phương trình ĐẲNG CẤP bậc hai — mọi số hạng cùng bậc hai theo $\sin x,\cos x$. Nhận diện đúng cấu trúc phương trình trước khi chọn kỹ thuật là bước quan trọng nhất — chọn sai kỹ thuật (ví dụ cố đặt $t=\sin x$ cho một phương trình còn lẫn $\cos x$ độc lập bậc nhất, hoặc quên xét $\cos x=0$ trước khi chia cho $\cos^2x$) sẽ dẫn đến bế tắc hoặc mất nghiệm. Với thời gian và luyện tập đều đặn, việc nhận dạng đúng kỹ thuật ngay từ cái nhìn đầu tiên trở thành phản xạ — đúng như mục tiêu cuối cùng của cả chương này.

Ghi nhớ

Ba kỹ thuật của bài này: đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ (kèm điều kiện $-1\le t\le1$ ) cho phương trình bậc hai theo một hàm; biến đổi biên độ $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ cho phương trình bậc nhất đối với sin và cos; chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$ cho phương trình đẳng cấp bậc hai.

Ba kỹ thuật của bài này: đặt ẩn phụ $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ (kèm điều kiện $-1\le t\le1$) cho phương trình bậc hai theo một hàm; biến đổi biên độ $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ cho phương trình bậc nhất đối với sin và cos; chia cho $\cos^2x$ để đặt $t=\tan x$ cho phương trình đẳng cấp bậc hai.

Hai chương ôn tập cuối cùng sẽ ghép cả bốn dạng phương trình cơ bản và hai kỹ thuật vừa học vào những đề tổng hợp kiểu đề kiểm tra thật, cùng với việc nhìn lại tính chất của các hàm số lượng giác.