Bài học

Tìm công thức tổng quát bằng điểm bất động

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em có thể giải truy hồi $u_{n+1}=au_n+b$ bằng phép dịch về cấp số nhân. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.

Kiến thức cần có

Dãy số, cấp số cộng–nhân, giới hạn cơ bản và quy nạp toán học lớp 11.

Chuẩn HSG so với bài chuẩn

Bài chuẩn thường cho sẵn công thức tổng quát hoặc một cấp số quen thuộc. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG yêu cầu tự tìm phép dịch điểm bất động, chứng minh hội tụ hoặc thiết kế phép tách tổng. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.

Câu hỏi mở đầu

Với $u_{n+1}=2u_n+1$ , vì sao cộng 1 vào mỗi số hạng làm hằng số biến mất? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Với $u_{n+1}=2u_n+1$, vì sao cộng 1 vào mỗi số hạng làm hằng số biến mất? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Công cụ và cách phát hiện

Tìm số $alpha$ thỏa $alpha=aalpha+b$ . Đặt $v_n=u_n-alpha$ thì $v_{n+1}=av_n$ , một cấp số nhân. Phép dịch không phải mẹo đoán: nó đưa điểm bất động của ánh xạ về 0. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Tìm số $alpha$ thỏa $alpha=aalpha+b$. Đặt $v_n=u_n-alpha$ thì $v_{n+1}=av_n$, một cấp số nhân. Phép dịch không phải mẹo đoán: nó đưa điểm bất động của ánh xạ về 0. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.

Sau phép dịch, phần không thuần nhất biến mất và còn lại cấp số nhân.

Ví dụ mẫu thứ nhất

Ví dụ

Ví dụ 1 — Dịch quanh -1

1
Cho $u_1=1$ , $u_{n+1}=2u_n+1$ . Tìm $u_n$ .
Cho $u_1=1$, $u_{n+1}=2u_n+1$. Tìm $u_n$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Điểm bất động là -1; đặt $v_n=u_n+1$ .
Điểm bất động là -1; đặt $v_n=u_n+1$.
4
Ta có $v_{n+1}=u_{n+1}+1=2u_n+2=2v_n$ , và $v_1=2$ . Do đó $v_n=2^n$ , suy ra $u_n=2^n-1$ . Công thức đúng tại n=1 và thỏa truy hồi. Vậy $u_n=2^n-1$ .
Ta có $v_{n+1}=u_{n+1}+1=2u_n+2=2v_n$, và $v_1=2$. Do đó $v_n=2^n$, suy ra $u_n=2^n-1$. Công thức đúng tại n=1 và thỏa truy hồi. Vậy $u_n=2^n-1$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không viết ngay công thức đoán được mà bỏ bước kiểm tra truy hồi.
6
Thay hệ số 2 bằng 3 và giải lại với cùng u1.

Ví dụ mẫu thứ hai

Ví dụ

Ví dụ 2 — Điểm bất động bằng 1

1
Cho $u_1=2$ , $u_{n+1}=3u_n-2$ . Tìm $u_n$ .
Cho $u_1=2$, $u_{n+1}=3u_n-2$. Tìm $u_n$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Điểm bất động là 1; đặt $v_n=u_n-1$ .
Điểm bất động là 1; đặt $v_n=u_n-1$.
4
Ta có $v_{n+1}=u_{n+1}-1=3u_n-3=3v_n$ , $v_1=1$ . Suy ra $v_n=3^{n-1}$ và $u_n=1+3^{n-1}$ . Thử lại: $1+3^n=3(1+3^{n-1})-2$ . Vậy công thức đúng.
Ta có $v_{n+1}=u_{n+1}-1=3u_n-3=3v_n$, $v_1=1$. Suy ra $v_n=3^{n-1}$ và $u_n=1+3^{n-1}$. Thử lại: $1+3^n=3(1+3^{n-1})-2$. Vậy công thức đúng.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không nhầm chỉ số mũ n với n-1.
6
Với u1 bất kỳ, công thức là $1+(u_1-1)3^{n-1}$ .
Với u1 bất kỳ, công thức là $1+(u_1-1)3^{n-1}$.

Tự kiểm chứng lời giải

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Tìm điểm bất động rồi dịch dãy, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Tìm điểm bất động rồi dịch dãy vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Đoán công thức hoặc giới hạn rồi thay vào mà không chứng minh dãy thực sự có tính chất đó

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt và nối bài

Điều cần giữ lại là: tìm điểm bất động, dịch dãy, giải cấp số nhân và thử lại cả chỉ số đầu lẫn truy hồi. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau không cần công thức tường minh mà chứng minh hội tụ bằng đơn điệu và bị chặn.