Bài học

Xây dựng hàm phụ từ bất đẳng thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em có thể chọn biến cố định và dựng hiệu có điểm chuẩn cho trước. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.

Kiến thức cần có

Đạo hàm, bảng biến thiên, cực trị, AM-GM và Cauchy–Schwarz.

Chuẩn HSG so với bài chuẩn

Bài chuẩn thường tính đạo hàm của một hàm đã cho và đọc cực trị trực tiếp. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG phải tự dựng hàm phụ, phân tích họ hàm có tham số, dùng tính lồi–lõm và sơ cấp hóa cực trị có ràng buộc. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.

Câu hỏi mở đầu

Vì sao biết trước điểm xảy ra dấu bằng giúp chọn được hàm phụ tốt? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Công cụ và cách phát hiện

Đặt $h=$ vế trái trừ vế phải, rồi tìm một điểm chuẩn $x_0$ tại đó $h(x_0)=0$ . Mục tiêu không phải đạo hàm thật nhiều mà là chứng minh $x_0$ là cực tiểu toàn cục bằng bảng dấu, tính đơn điệu hoặc một phép phân tích hỗ trợ. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Đặt $h=$ vế trái trừ vế phải, rồi tìm một điểm chuẩn $x_0$ tại đó $h(x_0)=0$. Mục tiêu không phải đạo hàm thật nhiều mà là chứng minh $x_0$ là cực tiểu toàn cục bằng bảng dấu, tính đơn điệu hoặc một phép phân tích hỗ trợ. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.

Điểm dấu bằng thường là mốc để tổ chức bảng biến thiên.

Ví dụ mẫu thứ nhất

Ví dụ

Ví dụ 1 — Bất đẳng thức đa thức

1
Chứng minh $x^3-3x+2ge0$ với mọi $xge-2$ .
Chứng minh $x^3-3x+2ge0$ với mọi $xge-2$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Khảo sát hàm h và theo dõi cả hai điểm dừng.
4
Đặt $h(x)=x^3-3x+2$ . Ta có $h'(x)=3(x-1)(x+1)$ . Trên $[-2,-1]$ , h tăng; trên $[-1,1]$ , h giảm; trên $[1,infty)$ , h tăng. Các giá trị cần so là $h(-2)=0$ , $h(-1)=4$ , $h(1)=0$ . Do đó h không âm trên miền. Thực ra $h=(x-1)^2(x+2)$ , xác nhận dấu bằng tại $x=-2,1$ .
Đặt $h(x)=x^3-3x+2$. Ta có $h'(x)=3(x-1)(x+1)$. Trên $[-2,-1]$, h tăng; trên $[-1,1]$, h giảm; trên $[1,infty)$, h tăng. Các giá trị cần so là $h(-2)=0$, $h(-1)=4$, $h(1)=0$. Do đó h không âm trên miền. Thực ra $h=(x-1)^2(x+2)$, xác nhận dấu bằng tại $x=-2,1$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không chỉ kiểm tra cực tiểu x=1 rồi quên đầu mút miền.
6
Giải thích vai trò của điểm biên x=-2.

Ví dụ mẫu thứ hai

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tham số để bất đẳng thức đúng mọi x

1
Tìm m để $x^2-2mx+1ge0$ với mọi số thực x.
Tìm m để $x^2-2mx+1ge0$ với mọi số thực x.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Xét giá trị nhỏ nhất của tam thức theo x.
4
Đặt $h_m(x)=x^2-2mx+1$ . Vì hệ số bậc hai dương, hàm đạt cực tiểu tại $x=m$ . Giá trị nhỏ nhất là $h_m(m)=1-m^2$ . Bất đẳng thức đúng với mọi x khi và chỉ khi $1-m^2ge0$ , tức $-1le mle1$ . Ở biên, tam thức là $(xmp1)^2$ .
Đặt $h_m(x)=x^2-2mx+1$. Vì hệ số bậc hai dương, hàm đạt cực tiểu tại $x=m$. Giá trị nhỏ nhất là $h_m(m)=1-m^2$. Bất đẳng thức đúng với mọi x khi và chỉ khi $1-m^2ge0$, tức $-1le mle1$. Ở biên, tam thức là $(xmp1)^2$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không yêu cầu giá trị nhỏ nhất dương nghiêm ngặt vì đề cho ≥0.
6
Kiểm tra lại bằng điều kiện biệt thức không dương.

Tự kiểm chứng lời giải

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Chứng minh giá trị nhỏ nhất của h không âm, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Chứng minh giá trị nhỏ nhất của h không âm vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Giải phương trình đạo hàm bằng 0 rồi kết luận ngay đó là cực trị

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt và nối bài

Điều cần giữ lại là: đặt hiệu, đoán điểm dấu bằng, khảo sát toàn miền và không bỏ điểm biên. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau khảo sát số cực trị của cả một họ hàm theo tham số.