Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Chọn hệ tọa độ cho tứ diện vuông
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em có thể biến ba cạnh vuông góc tại một đỉnh thành ba trục tọa độ. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.
Kiến thức cần có
Vectơ Oxyz, phương trình mặt phẳng–đường thẳng, tích có hướng, khoảng cách và góc.
Chuẩn HSG so với bài chuẩn
Bài chuẩn thường cho sẵn tọa độ rồi yêu cầu thế vào một công thức. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG phải tự chọn hệ trục cho hình học thuần túy, dựng tọa độ từ đối xứng và phối hợp pháp tuyến, tích hỗn tạp, mặt cầu. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.
Câu hỏi mở đầu
Tứ diện có AB, AC, AD đôi một vuông góc nên chọn gốc và ba trục ở đâu? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.
Công cụ và cách phát hiện
Đặt A làm gốc, AB, AC, AD theo Ox, Oy, Oz. Khi đó $B(a,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c)$. Mọi giả thiết vuông góc được mã hóa tự động, còn mặt phẳng BCD có dạng đoạn chắn. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Ba cạnh vuông góc thật của hình trở thành ba trục.
Ví dụ mẫu thứ nhất
Ví dụ
Ví dụ 1 — Khoảng cách đến mặt đối diện
1
Cho AB=a, AC=b, AD=c đôi một vuông góc. Tính $d(A,(BCD))$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Dùng phương trình đoạn chắn của mặt phẳng BCD.
4
Theo hệ trục đã chọn, $(BCD):x/a+y/b+z/c=1$, hay $bcx+acy+abz-abc=0$. Khoảng cách từ A(0,0,0) đến mặt phẳng bằng $abc/sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}=1/sqrt{a^{-2}+b^{-2}+c^{-2}}$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không dùng khoảng cách đến một cạnh thay cho mặt phẳng.
6
Đối chiếu bằng thể tích tính theo đáy BCD.
Ví dụ mẫu thứ hai
Ví dụ
Ví dụ 2 — Mặt cầu ngoại tiếp
1
Tìm tâm và bán kính mặt cầu qua A,B,C,D của tứ diện vuông trên.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Điểm cách đều bốn đỉnh là trung điểm của đường chéo hộp chứa tứ diện.
4
Đặt $O(a/2,b/2,c/2)$. Ta có $OA^2=OB^2=OC^2=OD^2=(a^2+b^2+c^2)/4$. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp và $R= rac12sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Việc kiểm tra bốn khoảng cách là chứng nhận tọa độ đầy đủ.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không mặc định tâm nằm trong tứ diện nếu chưa kiểm tra.
6
Viết phương trình mặt cầu.
Tự kiểm chứng lời giải
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Đỉnh chung của ba cạnh đôi một vuông góc, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Luyện tập có hướng dẫn
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Đỉnh chung của ba cạnh đôi một vuông góc vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.
Luyện tập độc lập
Lỗi thường gặp
Gán tọa độ trước khi đếm đủ bậc tự do và kiểm tra các quan hệ hình học
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt và nối bài
Điều cần giữ lại là: đặt gốc tại đỉnh vuông, kiểm tra tọa độ rồi dùng mặt phẳng đoạn chắn và bình phương khoảng cách. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau dùng tâm đối xứng của đáy để tọa độ hóa hình chóp đều.
Đặt A làm gốc, AB, AC, AD theo Ox, Oy, Oz. Khi đó B(a,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c). Mọi giả thiết vuông góc được mã hóa tự động, còn mặt phẳng BCD có dạng đoạn chắn. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Cho AB=a, AC=b, AD=c đôi một vuông góc. Tính d(A,(BCD)).
Theo hệ trục đã chọn, (BCD):x/a+y/b+z/c=1, hay bcx+acy+abz−abc=0. Khoảng cách từ A(0,0,0) đến mặt phẳng bằng abc/sqrtb2c2+a2c2+a2b2=1/sqrta−2+b−2+c−2.
Đặt O(a/2,b/2,c/2). Ta có OA2=OB2=OC2=OD2=(a2+b2+c2)/4. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp và R= rac12sqrt{a^2+b^2+c^2}. Việc kiểm tra bốn khoảng cách là chứng nhận tọa độ đầy đủ.
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Đỉnh chung của ba cạnh đôi một vuông góc, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.