Bài học

Nguyên lý bù trừ ba tập và song ánh

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em có thể viết đúng dấu của mọi giao và kiểm tra bằng phần bù. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.

Kiến thức cần có

Tổ hợp, xác suất có điều kiện, Bayes, biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng.

Chuẩn HSG so với bài chuẩn

Bài chuẩn thường có một không gian mẫu hữu hạn hoặc một cây xác suất hai tầng. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG dùng bù trừ nhiều tập, phân phối–phương sai, xấp xỉ Poisson, cây nhiều tầng và trạng thái Markov. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.

Câu hỏi mở đầu

Vì sao giao ba tập bị cộng lại sau khi đã cộng các giao đôi? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Công cụ và cách phát hiện

Với ba tập, $|Acup Bcup C|=sum|A|-sum|Acap B|+|Acap Bcap C|$ . Một phần tử thuộc cả ba bị cộng 3, trừ 3, nên phải cộng 1 lần cuối. Bảng số lần là cách chống lỗi dấu. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Với ba tập, $|Acup Bcup C|=sum|A|-sum|Acap B|+|Acap Bcap C|$. Một phần tử thuộc cả ba bị cộng 3, trừ 3, nên phải cộng 1 lần cuối. Bảng số lần là cách chống lỗi dấu. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.

Dấu xen kẽ bảo đảm mỗi phần tử của hợp được đếm đúng một lần.

Ví dụ mẫu thứ nhất

Ví dụ

Ví dụ 1 — Không chia hết cho 2,3,5

1
Có bao nhiêu số từ 1 đến 100 không chia hết cho 2, 3 hoặc 5?
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Đếm hợp ba tập chia hết rồi lấy phần bù.
4
Các tập có kích thước 50,33,20. Các giao đôi theo BCNN 6,10,15 có 16,10,6 phần tử; giao ba theo 30 có 3. Hợp có $50+33+20-16-10-6+3=74$ số. Vì vậy phần bù có $100-74=26$ số.
Các tập có kích thước 50,33,20. Các giao đôi theo BCNN 6,10,15 có 16,10,6 phần tử; giao ba theo 30 có 3. Hợp có $50+33+20-16-10-6+3=74$ số. Vì vậy phần bù có $100-74=26$ số.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không dùng 100/3 thay cho phần nguyên 33.
6
Kiểm tra bằng liệt kê các lớp dư modulo 30.

Ví dụ mẫu thứ hai

Ví dụ

Ví dụ 2 — Xếp hàng tránh ba vị trí

1
Xếp 5 người; đếm số hoán vị trong đó ba người A,B,C đều không đứng đúng vị trí đánh số của mình.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Bù trừ ba tập cố định vị trí; hai người còn lại không bị cấm.
4
Tổng có 120. Mỗi tập xấu có $4!=24$ ; mỗi giao đôi có $3!=6$ ; giao ba có $2!=2$ . Số hợp xấu là $3cdot24-3cdot6+2=56$ . Do đó số hoán vị thỏa là $120-56=64$ .
Tổng có 120. Mỗi tập xấu có $4!=24$; mỗi giao đôi có $3!=6$; giao ba có $2!=2$. Số hợp xấu là $3cdot24-3cdot6+2=56$. Do đó số hoán vị thỏa là $120-56=64$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không dùng công thức hoán vị không điểm cố định của cả năm vì chỉ ba người bị cấm.
6
Tổng quát khi cả năm người đều bị cấm vị trí.

Tự kiểm chứng lời giải

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Dấu cộng, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Dấu cộng vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Chọn công thức theo từ khóa mà không kiểm tra giả thiết của phân phối

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt và nối bài

Điều cần giữ lại là: lập bảng số lần cho từng vùng, dùng dấu xen kẽ và phân biệt rõ điều kiện cấm với điều kiện tự do. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau biến phép đếm thành phân phối nhị thức với kỳ vọng và phương sai.