Bài học

Bài 1: Tính nhanh tổng và hiệu của dãy số có quy luật

Bé Bống đang ngồi xếp những chiếc kẹo thành một hàng dài.
Chú vẹt Tí bay đến và hỏi: "Bống xếp gì mà nhiều thế?".
Bống đáp: "Tớ đang xếp kẹo theo thứ tự từ 1 đến 10. Nhưng mà làm sao để biết có tất cả bao nhiêu cái kẹo mà không cần đếm từng cái nhỉ?".

Cùng khám phá cách tính của Bống

Bống nảy ra một ý tưởng rất hay.
Bạn ấy ghép chiếc kẹo số 1 với chiếc kẹo số 10.
Ghép chiếc kẹo số 2 với chiếc kẹo số 9.

Mỗi cặp số đầu và số cuối đều có tổng là 11.

Bống nhận ra rằng, mỗi cặp số như vậy đều có tổng bằng nhau.
Đây chính là chìa khoá để tính tổng thật nhanh đấy em ạ.

Dãy số cách đềuLà một dãy các số mà khoảng cách giữa hai số liền kề nhau luôn không đổi. Ví dụ: 1, 2, 3, 4... là dãy số cách đều 1 đơn vị. Hoặc 2, 4, 6, 8... là dãy số cách đều 2 đơn vị.

Làm cùng Bống và Tí nhé

Ví dụ

Ví dụ 1: Tính tổng các số từ 1 đến 10

1
Tính tổng: $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$ .
Tính tổng: $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$.
2
Dãy số này có 10 số hạng.
Ta sẽ ghép các số thành từng cặp:
Cặp đầu tiên: số đầu (1) và số cuối (10). Ta có $1 + 10 = 11$ .
Cặp thứ hai: số thứ hai (2) và số kế cuối (9). Ta có $2 + 9 = 11$ .
Cứ tiếp tục như vậy, các cặp đều có tổng là 11.
Vì có 10 số hạng, ta sẽ có số cặp là: $10 : 2 = 5$ (cặp).
Tổng của dãy số là: $11 \times 5 = 55$ .
Dãy số này có 10 số hạng. Ta sẽ ghép các số thành từng cặp: Cặp đầu tiên: số đầu (1) và số cuối (10). Ta có $1 + 10 = 11$. Cặp thứ hai: số thứ hai (2) và số kế cuối (9). Ta có $2 + 9 = 11$. Cứ tiếp tục như vậy, các cặp đều có tổng là 11. Vì có 10 số hạng, ta sẽ có số cặp là: $10 : 2 = 5$ (cặp). Tổng của dãy số là: $11 \times 5 = 55$.
3
Ghép số đầu và số cuối của dãy để tạo ra các cặp có tổng bằng nhau.

Thử thách nhỏ đầu tiên

Làm tốt lắm em ơi.
Bây giờ, nếu dãy số không bắt đầu từ 1 thì sao nhỉ?
Ví dụ như dãy các số chẵn.

Ví dụ

Ví dụ 2: Tính tổng dãy số cách đều

1
Tính tổng các số chẵn từ 2 đến 20: $S = 2 + 4 + 6 + . + 18 + 20$ .
Tính tổng các số chẵn từ 2 đến 20: $S = 2 + 4 + 6 + . + 18 + 20$.
2
Đây là dãy số cách đều 2 đơn vị.
Đầu tiên, ta cần tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng.

Mở rộng dành cho HSG:
Để đếm số số hạng trong dãy cách đều, ta làm như sau:
Lấy (Số cuối - Số đầu), chia cho khoảng cách, rồi cộng thêm 1.

Áp dụng vào bài, số số hạng là: $(20 - 2) : 2 + 1 = 18 : 2 + 1 = 9 + 1 = 10$ (số hạng).
Dãy có 10 số hạng, ta sẽ có $10 : 2 = 5$ (cặp).
Tổng của mỗi cặp là: $2 + 20 = 22$ . Hoặc $4 + 18 = 22$ .
Tổng của cả dãy số là: $22 \times 5 = 110$ .
Đây là dãy số cách đều 2 đơn vị. Đầu tiên, ta cần tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng. > **Mở rộng dành cho HSG:** > Để đếm số số hạng trong dãy cách đều, ta làm như sau: > Lấy (Số cuối - Số đầu), chia cho khoảng cách, rồi cộng thêm 1. Áp dụng vào bài, số số hạng là: $(20 - 2) : 2 + 1 = 18 : 2 + 1 = 9 + 1 = 10$ (số hạng). Dãy có 10 số hạng, ta sẽ có $10 : 2 = 5$ (cặp). Tổng của mỗi cặp là: $2 + 20 = 22$. Hoặc $4 + 18 = 22$. Tổng của cả dãy số là: $22 \times 5 = 110$.
3
Với dãy số cách đều, hãy tìm số số hạng trước khi ghép cặp.

Bẫy vui của Tí

Nếu một dãy số có số lượng số hạng là số lẻ thì sao nhỉ? Ví dụ: $1 + 2 + 3 + . + 9$ . Dãy này có 9 số hạng. Tí vội vàng lấy $9 : 2$ nhưng không chia hết. Coi chừng nhé. Khi dãy có lẻ số hạng, sẽ có một số ở chính giữa không có cặp. Em phải cộng riêng số đó vào cuối cùng.

Nếu một dãy số có số lượng số hạng là số lẻ thì sao nhỉ? Ví dụ: $1 + 2 + 3 + . + 9$. Dãy này có 9 số hạng. Tí vội vàng lấy $9 : 2$ nhưng không chia hết. Coi chừng nhé. Khi dãy có lẻ số hạng, sẽ có một số ở chính giữa không có cặp. Em phải cộng riêng số đó vào cuối cùng.

Với dãy $1 + 2 + . + 9$ :
Ta có 4 cặp là (1+9), (2+8), (3+7), (4+6), đều có tổng là 10.
Số ở giữa không có cặp là số 5.
Vậy tổng sẽ là: $10 \times 4 + 5 = 45$ .

Với dãy $1 + 2 + . + 9$: Ta có 4 cặp là (1+9), (2+8), (3+7), (4+6), đều có tổng là 10. Số ở giữa không có cặp là số 5. Vậy tổng sẽ là: $10 \times 4 + 5 = 45$.

Chiến thắng!

Tuyệt vời. Em đã nắm được bí quyết tính tổng các dãy số cách đều rồi đấy.
Giờ thì không bài toán nào làm khó được em nữa.

Lần tới, Bống và Tí sẽ cùng em khám phá những bài toán về hiệu của các số. Hẹn gặp lại em nhé.