Bài học

Bài 1: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Bé Bống và vẹt Tí đang ngồi đếm số viên bi cả hai vừa được tặng. "Chúng mình có tất cả 30 viên bi, Tí ơi." - Bống nói. Tí gật gù: "Tớ biết Bống có nhiều bi hơn tớ, đúng là nhiều hơn 6 viên. Nhưng cụ thể mỗi chúng ta có bao nhiêu viên nhỉ?".

Cùng vẽ ra để tìm lời giải

Đây là một bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng đấy. Để dễ hình dung, chúng mình hãy dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn số bi của hai bạn nhé.

Sơ đồ bài toán: Tổng là 30 viên bi, hiệu là 6 viên bi.

Trong sơ đồ trên, em có thể thấy:

Tổng số bi của hai bạn là 30 viên.
Số bi của Bống nhiều hơn Tí là 6 viên. Đây chính là 'hiệu'. Ý tưởng chính để giải bài toán này là làm cho hai số bằng nhau.

Bé Bống mách nhỏ

Có hai cách để làm cho số bi của hai bạn bằng nhau:

Bớt đi phần hơn: Nếu Bống bớt đi 6 viên bi, số bi của hai bạn sẽ bằng nhau. Tổng số bi lúc này cũng sẽ giảm đi 6 viên.
Thêm vào cho bằng phần hơn: Nếu Tí được thêm 6 viên bi, số bi của hai bạn cũng sẽ bằng nhau. Tổng số bi lúc này sẽ tăng thêm 6 viên.

Có hai cách để làm cho số bi của hai bạn bằng nhau: 1. Bớt đi phần hơn: Nếu Bống bớt đi 6 viên bi, số bi của hai bạn sẽ bằng nhau. Tổng số bi lúc này cũng sẽ giảm đi 6 viên. 2. Thêm vào cho bằng phần hơn: Nếu Tí được thêm 6 viên bi, số bi của hai bạn cũng sẽ bằng nhau. Tổng số bi lúc này sẽ tăng thêm 6 viên.

Giải toán cùng Bống và Tí

Ví dụ

Bài toán về tuổi

1
Năm nay, tổng số tuổi của hai mẹ con là 42 tuổi. Mẹ hơn con 28 tuổi. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
2
Chúng mình có tổng là 42 và hiệu là 28. Tuổi của con là số bé, tuổi của mẹ là số lớn. Nếu bớt đi 28 tuổi của mẹ, tổng số tuổi sẽ giảm đi 28. Tổng mới là: $42 - 28 = 14$ (tuổi) Đây chính là 2 lần tuổi của con. Vậy, số tuổi của con là: $14 : 2 = 7$ (tuổi) Số tuổi của mẹ là: $7 + 28 = 35$ (tuổi) Em có thể tìm tuổi mẹ bằng cách khác: $42 - 7 = 35$ (tuổi).
Chúng mình có tổng là 42 và hiệu là 28. Tuổi của con là số bé, tuổi của mẹ là số lớn. Nếu bớt đi 28 tuổi của mẹ, tổng số tuổi sẽ giảm đi 28. Tổng mới là: $42 - 28 = 14$ (tuổi) Đây chính là 2 lần tuổi của con. Vậy, số tuổi của con là: $14 : 2 = 7$ (tuổi) Số tuổi của mẹ là: $7 + 28 = 35$ (tuổi) Em có thể tìm tuổi mẹ bằng cách khác: $42 - 7 = 35$ (tuổi).
3
Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2. Số lớn = Số bé + Hiệu.

Cẩn thận kẻo sập bẫy.

Có bạn sau khi lấy tổng trừ đi hiệu, ví dụ $80 - 16 = 64$ , liền vội vàng kết luận đó là đáp án. Tí kêu lên: 'Sao thùng dầu lại chứa nhiều thế?'. Bạn ấy đã quên mất một bước quan trọng là chia cho 2 đấy. Hãy luôn cẩn thận nhé.

Có bạn sau khi lấy tổng trừ đi hiệu, ví dụ $80 - 16 = 64$, liền vội vàng kết luận đó là đáp án. Tí kêu lên: 'Sao thùng dầu lại chứa nhiều thế?'. Bạn ấy đã quên mất một bước quan trọng là chia cho 2 đấy. Hãy luôn cẩn thận nhé.

Thử sức với bài toán cổ

Dạng toán tổng-hiệu còn có những bài toán rất thú vị, ví dụ như các bài toán cổ. Chúng có vẻ khác lạ nhưng thực chất vẫn có thể đưa về dạng quen thuộc.

Mở rộng dành cho HSG: Phương pháp Giả thiết tạm

Với những bài toán cho biết tổng của hai đối tượng và tổng của một đặc điểm nào đó (như tổng số chân, số bánh xe.), chúng ta có thể dùng một mẹo rất hay gọi là 'giả thiết tạm'. Ý tưởng là chúng ta giả sử tất cả các đối tượng đều thuộc cùng một loại. Từ đó, ta tìm ra sự chênh lệch so với đề bài và tìm được đáp án.

Ví dụ

Bài toán "Vừa gà vừa chó"

1
Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn, Ba mươi sáu con, Một trăm chân chẵn. Hỏi có mấy gà, mấy chó?
2
Ta có tổng số con là 36, tổng số chân là 100. Một con gà có 2 chân, một con chó có 4 chân. Bây giờ, chúng mình giả sử tất cả 36 con đều là gà nhé. Tổng số chân khi đó sẽ là: $36 \times 2 = 72$ (chân). So với thực tế, số chân bị hụt đi là: $100 - 72 = 28$ (chân). Số chân bị hụt đi này tại sao lại có? Đó là vì ta đã thay mỗi con chó (4 chân) bằng một con gà (2 chân). Mỗi lần thay như vậy, số chân giảm đi $4 - 2 = 2$ (chân). Vậy, số con chó là: $28 : 2 = 14$ (con). Số con gà là: $36 - 14 = 22$ (con).
Ta có tổng số con là 36, tổng số chân là 100. Một con gà có 2 chân, một con chó có 4 chân. Bây giờ, chúng mình giả sử tất cả 36 con đều là gà nhé. Tổng số chân khi đó sẽ là: $36 \times 2 = 72$ (chân). So với thực tế, số chân bị hụt đi là: $100 - 72 = 28$ (chân). Số chân bị hụt đi này tại sao lại có? Đó là vì ta đã thay mỗi con chó (4 chân) bằng một con gà (2 chân). Mỗi lần thay như vậy, số chân giảm đi $4 - 2 = 2$ (chân). Vậy, số con chó là: $28 : 2 = 14$ (con). Số con gà là: $36 - 14 = 22$ (con).
3
Giả sử tất cả là một loại, tìm sự chênh lệch tổng, rồi chia cho chênh lệch của mỗi đối tượng.

Chiến thắng

Hoan hô, em đã nắm vững cách giải bài toán tổng-hiệu và còn biết thêm một phương pháp rất hay để giải toán cổ nữa.

Vậy là Bống và Tí đã biết cách chia bi rồi. Nhưng lần tới, Tí lại giấu đi mất tổng số bi và chỉ cho Bống biết tỉ số giữa số bi của hai bạn. Hai bạn sẽ làm thế nào nhỉ?